Symmetrische Matrix

mini|Symmetriemuster einer symmetrischen (5×5)-Matrix

Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. Eine symmetrische Matrix stimmt demnach mit ihrer transponierten Matrix überein.

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen und jedes skalare Vielfache einer symmetrischen Matrix ist wieder symmetrisch. Die Menge der symmetrischen Matrizen fester Größe bildet daher einen Untervektorraum des zugehörigen Matrizenraums. Jede quadratische Matrix lässt sich dabei eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben. Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist genau dann symmetrisch, wenn die beiden Matrizen kommutieren. Das Produkt einer beliebigen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt eine symmetrische Matrix.

Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen weisen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften auf. So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar. Für komplexe symmetrische Matrizen gelten diese Eigenschaften im Allgemeinen nicht; das entsprechende Gegenstück sind dort hermitesche Matrizen. Eine wichtige Klasse reeller symmetrischer Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind.

In der linearen Algebra werden symmetrische Matrizen zur Beschreibung symmetrischer Bilinearformen verwendet. Die Darstellungsmatrix einer selbstadjungierten Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis ist ebenfalls stets symmetrisch. Lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer Koeffizientenmatrix lassen sich effizient und numerisch stabil lösen. Weiterhin werden symmetrische Matrizen bei Orthogonalprojektionen und bei der Polarzerlegung von Matrizen verwendet.

Symmetrische Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Geometrie, der Analysis, der Graphentheorie und der Stochastik.

Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe, die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik sind, siehe #Symmetrische Tensoren.

Definition

Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt symmetrisch, wenn für ihre Einträge

für gilt. Eine symmetrische Matrix ist demnach spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonale, das heißt, es gilt

,

wobei die transponierte Matrix bezeichnet.

Beispiele

Beispiele für symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen sind

.

Allgemein haben symmetrische Matrizen der Größe , und die Struktur

.

Klassen symmetrischer Matrizen beliebiger Größe sind unter anderem

Diagonalmatrizen, insbesondere Einheitsmatrizen, konstante quadratische Matrizen, beispielsweise quadratische Nullmatrizen und Einsmatrizen, Hankel-Matrizen, bei denen alle Gegendiagonalen konstante Einträge aufweisen, beispielsweise Hilbert-Matrizen, bisymmetrische Matrizen, die sowohl bezüglich der Hauptdiagonale als auch der Gegendiagonale symmetrisch sind.

Eigenschaften

Einträge

mini|Bei einer symmetrischen Matrix müssen nur die Einträge auf und unterhalb der Diagonalen gespeichert werden

Aufgrund der Symmetrie wird eine symmetrische Matrix bereits durch ihre Diagonaleinträge und die Einträge unterhalb (oder oberhalb) der Diagonalen eindeutig charakterisiert. Eine symmetrische Matrix weist demnach höchstens

verschiedene Einträge auf. Im Vergleich dazu kann eine nichtsymmetrische -Matrix bis zu unterschiedliche Einträge besitzen, also bei großen Matrizen fast doppelt so viele. Zur Speicherung symmetrischer Matrizen im Computer gibt es daher spezielle Speicherformate, die diese Symmetrie ausnutzen.

Summe

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen ist stets wieder symmetrisch, denn

.

Ebenso ist auch das Produkt einer symmetrischen Matrix mit einem Skalar wieder symmetrisch. Nachdem auch die Nullmatrix symmetrisch ist, bildet die Menge der symmetrischen -Matrizen einen Untervektorraum

des Matrizenraums . Dieser Untervektorraum besitzt die Dimension , wobei die Standardmatrizen , , und , darin eine Basis bilden.

Zerlegung

Falls die Charakteristik des Körpers ungleich 2 ist, lässt sich jede beliebige quadratische Matrix eindeutig als Summe einer symmetrischen Matrix und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben, indem

  und  

gewählt werden. Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden dann ebenfalls einen Untervektorraum des Matrizenraums mit Dimension . Der gesamte -dimensionale Raum lässt sich folglich als direkte Summe

der Räume der symmetrischen und der schiefsymmetrischen Matrizen schreiben.

Produkt

Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist im Allgemeinen nicht wieder symmetrisch. Das Produkt symmetrischer Matrizen ist genau dann symmetrisch, wenn und kommutieren, also wenn gilt, denn dann ergibt sich

.

Insbesondere sind damit für eine symmetrische Matrix auch alle ihre Potenzen mit und daher auch ihr Matrixexponential wieder symmetrisch. Für eine beliebige Matrix sind sowohl die -Matrix als auch die -Matrix stets symmetrisch.

Kongruenz

Jede Matrix , die kongruent zu einer symmetrischen Matrix ist, ist ebenfalls symmetrisch, denn es gilt

,

wobei die zugehörige Transformationsmatrix ist. Matrizen, die ähnlich zu einer symmetrischen Matrix sind, müssen jedoch nicht notwendigerweise ebenfalls symmetrisch sein.

Inverse

Ist eine symmetrische Matrix invertierbar, dann ist auch ihre Inverse wieder symmetrisch, denn es gilt

.

Für eine reguläre symmetrische Matrix sind demnach auch alle Potenzen mit wieder symmetrisch.

Reelle symmetrische Matrizen

Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen besitzen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften.

Normalität

Eine reelle symmetrische Matrix ist stets normal, denn es gilt

.

Jede reelle symmetrische Matrix kommutiert also mit ihrer Transponierten. Es gibt allerdings auch normale Matrizen, die nicht symmetrisch sind, beispielsweise schiefsymmetrische Matrizen.

Selbstadjungiertheit

Eine reelle symmetrische Matrix ist stets selbstadjungiert, denn es gilt mit dem reellen Standardskalarprodukt

für alle Vektoren . Es gilt auch die Umkehrung und jede reelle selbstadjungierte Matrix ist symmetrisch. Aufgefasst als komplexe Matrix ist eine reelle symmetrische Matrix stets hermitesch, denn es gilt

,

wobei die adjungierte Matrix zu und die konjugierte Matrix zu ist. Damit sind reelle symmetrische Matrizen auch selbstadjungiert bezüglich des komplexen Standardskalarprodukts.

Eigenwerte

mini|Durch eine reelle symmetrische (2×2)-Matrix wird der Einheitskreis (blau) in eine Ellipse (grün) transformiert. Die Halbachsen der Ellipse (rot) entsprechen den Beträgen der Eigenwerte der Matrix.

Die Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix , das heißt die Lösungen der Eigenwertgleichung , sind stets reell. Ist nämlich ein komplexer Eigenwert von mit zugehörigem Eigenvektor , , dann gilt mit der komplexen Selbstadjungiertheit von

.

Nachdem für ist, muss gelten und der Eigenwert damit reell sein. Daraus folgt dann auch, dass der zugehörige Eigenvektor reell gewählt werden kann.

Vielfachheiten

Bei jeder reellen symmetrischen Matrix stimmen die algebraischen und die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte überein. Ist nämlich ein Eigenwert von mit geometrischer Vielfachheit , dann existiert eine Orthonormalbasis des Eigenraums von , welche durch zu einer Orthonormalbasis des Gesamtraums ergänzt werden kann. Mit der orthogonalen Basistransformationsmatrix ergibt sich damit die transformierte Matrix

als Blockdiagonalmatrix mit den Blöcken und . Für die Einträge von mit (also die ersten Spalten von ) gilt nämlich mit der Orthonormalität der Basisvektoren

, wobei das Kronecker-Delta darstellt.

Für die Einträge von mit (also die Blockmatrix rechts oben) gilt weiter mit der Selbstadjungiertheit von und wieder der Orthonormalität der Basisvektoren

,

wobei im letzten Schritt hier verwendet wurde. Da nach Voraussetzung keine Eigenvektoren zum Eigenwert von sind, kann kein Eigenwert von sein. Die Matrix besitzt daher nach der Determinantenformel für Blockmatrizen den Eigenwert genau mit algebraischer Vielfachheit und aufgrund der Ähnlichkeit der beiden Matrizen damit auch .

Diagonalisierbarkeit

Da bei einer reellen symmetrischen Matrix algebraische und geometrische Vielfachheiten aller Eigenwerte übereinstimmen und da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig sind, kann aus Eigenvektoren von eine Basis des gebildet werden. Daher ist eine reelle symmetrische Matrix stets diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine reguläre Matrix und eine Diagonalmatrix , sodass

gilt. Die Matrix hat dabei die Eigenvektoren als Spalten und die Matrix hat die zu diesen Eigenvektoren jeweils zugehörigen Eigenwerte auf der Diagonalen. Durch eine Permutation der Eigenvektoren kann dabei die Reihenfolge der Diagonaleinträge von beliebig gewählt werden. Daher sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte besitzen. Weiterhin sind zwei reelle symmetrische Matrizen genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie kommutieren.

Orthogonale Diagonalisierbarkeit mini|Bei einer symmetrischen Matrix stehen die Eigenvektoren (blau und violett) zu verschiedenen Eigenwerten (hier 3 und 1) senkrecht aufeinander. Durch Anwendung der Matrix werden blaue Vektoren um den Faktor drei gestreckt, während violette Vektoren ihre Länge beibehalten.

Die Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten einer reellen symmetrischen Matrix sind stets orthogonal. Es gilt nämlich wiederum mit der Selbstadjungiertheit von

.

Da und als verschieden angenommen wurden, folgt daraus dann . Daher kann aus Eigenvektoren von eine Orthonormalbasis des gebildet werden. Damit ist eine reelle symmetrische Matrix sogar orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix , mit der

gilt. Diese Darstellung bildet die Grundlage für die Hauptachsentransformation und ist die einfachste Version des Spektralsatzes.

Kenngrößen

Aufgrund der Diagonalisierbarkeit einer reellen symmetrischen Matrix gilt für ihre Spur

und für ihre Determinante entsprechend

.

Der Rang einer reellen symmetrischen Matrix ist gleich der Anzahl der Eigenwerte ungleich Null, also mit dem Kronecker-Delta

.

Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann invertierbar wenn keiner ihrer Eigenwerte Null ist. Die Spektralnorm einer reellen symmetrischen Matrix ist

und damit gleich dem Spektralradius der Matrix. Die Frobeniusnorm ergibt sich aufgrund der Normalität entsprechend zu

.

Definitheit

Ist eine reelle symmetrische Matrix, dann wird der Ausdruck

mit quadratische Form von genannt. Je nachdem ob größer als, größer gleich, kleiner als oder kleiner gleich null für alle ist, heißt die Matrix positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit. Kann sowohl positive als auch negative Vorzeichen annehmen, so heißt indefinit. Die Definitheit einer reellen symmetrischen Matrix kann anhand der Vorzeichen ihrer Eigenwerte ermittelt werden. Sind alle Eigenwerte positiv, ist die Matrix positiv definit, sind sie alle negativ, ist die Matrix negativ definit und so weiter. Das Tripel bestehend aus den Anzahlen der positiven, negativen und Null-Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix wird Signatur der Matrix genannt. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester bleibt die Signatur einer reellen symmetrischen Matrix unter Kongruenztransformationen erhalten.

Abschätzungen

Nach dem Satz von Courant-Fischer liefert der Rayleigh-Quotient Abschätzungen für den kleinsten und den größten Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix der Form