In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung als ihre Position, wenn alle Beobachtungswerte der Größe nach geordnet und durchnummeriert werden.
Es ist möglich, dass mindestens zwei Beobachtungen den gleichen Wert haben. Man spricht dann von Bindungen oder Verbundwerten (engl. Ties). Der Rang ist daher nicht wohldefiniert.
In der Stochastik ist der Rang aber fast sicher eindeutig erklärt, falls die einzelnen Beobachtungen unabhängig und stetig verteilt sind. Auf der Auswertung der Ränge innerhalb von Stichproben basiert eine Reihe von statistischen Tests in der nichtparametrischen Statistik. Die nach ihrem Rang geordneten Beobachtungswerte heißen Ordnungsstatistiken.
Definition Die Beobachtungswerte werden der Größe nach sortiert. Im Fall, dass kein Wert mehrfach auftritt, bekommt der kleinste Wert meistens den Rang 1, der nächstgrößere (also zweitkleinste) den Rang 2 usw. Mögliche Vorgehensweisen bei mehrfach auftretenden Werten (sogenannten Bindungen) sind unten aufgeführt.
Die übliche Schreibweise ist für den Beobachtungswert mit dem Rang .
Beispiel Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:
Beobachtungsnummer1234Beobachtungswert220240220180Rang2 oder 342 oder 31
Also: , d. h. ist der Beobachtungswert mit dem Rang und der zweite Beobachtungswert in der Datenreihe.
Die Beobachtungen können zu einer Rangliste geordnet werden:
ListenrangBeobachtungsnummerBeobachtungswert1.41802.–3. 1 220"3"4. 2 240
Bindungen
In der Praxis kann es vorkommen, dass Beobachtungswerte mehrfach auftreten. Man spricht davon, dass Bindungen in den Beobachtungswerten auftreten. Da Beobachtungen mit gleichen Werten nicht unterschiedliche Ränge haben sollten, müssen diese behandelt werden. Da in der Statistik oft Rangsummen betrachtet werden, ist eine oft gestellte Anforderung an Verfahren, die Bindungen behandeln, dass die Summe der Ränge von Beobachtungen gerade ist.
Verschiedene Verfahren können benutzt werden, um eine eindeutige Rangzuordnung zu finden:
Mittelwert Den ranggleichen Beobachtungen wird das arithmetische Mittel der auf sie fallenden Ränge zugeordnet.
Beispiel: Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:
Beobachtungsnummer12345678910Beobachtungswert125315215105200170170220220220Rang2106153,53,5888
Den Beobachtungswerten 170 müssten die Ränge 3 und 4 zugeordnet werden. Das arithmetische Mittel ergibt sich zu . Den Beobachtungswerten 220 müssten die Ränge 7, 8 und 9 zugeordnet werden. Das arithmetische Mittel ergibt sich zu .
Randomisierung Den ranggleichen Beobachtungswerten wird zufällig einer der Ränge derselben zugeordnet.
A-fortiori-Methode Im Falle der Durchführung eines Tests wird die Rangfolge so festgelegt, dass die Nullhypothese begünstigt wird.
Alle möglichen Rangzuordnungen untersuchen
Berechne die Teststatistik für alle möglichen Rangzuordnungen, d. h. führe den Test für alle möglichen Zuordnungen durch. Wird unabhängig von den Zuordnungen immer angenommen oder verworfen, dann endet die Methode hier.
Eliminierung
Entferne solange Beobachtungen aus der Stichprobe, bis alle Bindungen verschwinden. Insofern der Stichprobenumfang groß genug ist, ist der Informationsverlust unerheblich, ansonsten ist von dieser Methode abzuraten, da sie bei vielen Tests die Teststärke verringert.
Verteilung der Ränge Der Rang einer Zufallsvariablen ist eine diskret gleichverteilte Zufallsvariable auf .
Eigenschaften
Die Summe der Ränge einer Datenreihe ist
(Gaußsche Summenformel). Auch bei Bildung des arithmetischen Mittels zur Berechnung der Ränge bei Bindungen bleibt diese Eigenschaft erhalten.
Einzelnachweise
Siehe auch Median
Kategorie:Deskriptive Statistik