In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung oder FlächenschlussHeinrich Heesch, Otto Kienzle: Flächenschluß. Springer, 1963.) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der (euklidischen) Ebene durch gleichförmige Teilflächen. Das Konzept kann auch auf höhere Dimensionen erweitert werden.
Bei praktischen Anwendungen und in der Theorie wird die Überdeckung mit Hilfe von einem oder mehreren möglichst einfachen Polygonen (Vielecken) bevorzugt, im Englischen wird dieses Vorgehen auch Tiling oder Tessellation (englisch für „Mosaik“) genannt. Wenn z. B. in einer technischen Anwendung ein großes Blech in Teilflächen (Werkstücke) aufzuteilen ist, wird versucht, diese so zu gestalten, dass eine Parkettierung durch verschiedene ungleiche Teilflächen vorliegt und kein Abfall entsteht.
Die „zyklische Aufteilung von Flächen“ mit ungleichförmigen Teilflächen (keine Polygone) kommt in der Kunst sehr ausgeprägt z. B. bei M. C. Escher vor.Bruno Ernst: Der Zauberspiegel des M. C. Escher, 7. Die Kunst der Alhambra. Taschen 1978/1992, ISBN 3-8228-0442-8.
Analog zur Parkettierung der Ebene (2D) kann auch der drei- oder höherdimensionale Raum unterteilt werden, siehe Raumfüllung.
Definitionen Eine Kachel (Parkettstein, Pflasterstein) ist eine abgeschlossene topologische Scheibe in der Ebene. Dadurch werden u. a. Steine mit Löchern und nicht-zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen, gelegentlich werden aber auch solche und allgemeinere Steine zugelassen.
Eine Parkettierung (Pflasterung, Kachelung, manchmal auch Mosaik) ist eine (abzählbare) Menge von Kacheln, die sowohl eine Packung (d. h., „kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln“, oder – anders ausgedrückt – „verschiedene Kacheln haben höchstens Randpunkte gemeinsam“)Eine Protokachel ist also nicht unbedingt ein Fundamentalbereich, bei dem es keine gemeinsamen Punkte (auch nicht Randpunkte) geben dürfte. als auch eine Überdeckung (d. h., „jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel“) ist.
Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z. B. fordert, dass alle Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend), oder aber, dass jede Kachel kongruent zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele verschiedene Kacheln auftreten.
Monohedrale Parkettierung Falls in einer Parkettierung alle Kacheln untereinander kongruent sind, nennt man die Zerlegung monohedral.O. Aichholzer et al.: A Note on Planar Monohedral Tilings. 34th European Workshop on Computational Geometry, Berlin, Germany, March 21–23, 2018. In einem solchen Fall kann man eine beliebige der Kacheln herausgreifen und als Protokachel bezeichnen. Gibt es zu einer Form (Protokachel) eine monohedrale Parkettierung der Ebene, sagt man auch kurz „die Protokachel parkettiert“.
Periodische Parkettierungen mini|Abb. 1: Bienenwaben bilden ein Sechseckgitter
Eine Kongruenzabbildung (euklidische Bewegung) der Ebene, die jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt Symmetriegruppe (der Parkettierung). Sie ist eine Untergruppe der Gruppe der euklidischen Bewegungen der Ebene. Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei linear unabhängige Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ebene kristallographische Gruppe, von denen es genau 17, die sogenannten Tapetenmustergruppen, gibt.
Wenn man gewisse Anforderungen an die in einer Parkettierung verwendeten Grundformen und ihre Anordnung stellt, ergeben sich Spezialfälle, für die man dann alle möglichen Parkettierungen angeben kann.
Die insgesamt 17 Möglichkeiten, dass regelmäßige Vielecke an einer Ecke, einem sogenannten Knotenpunkt zusammenstoßen und dabei zusammen einen Winkel von 360° bilden, ergeben sich aus folgender Überlegung:
Die Summe der Innenwinkel von an einer Ecke zusammenstoßenden Vielecken mit den Eckenanzahlen bis beträgt 360°, also:
Hieraus erhält man nach elementaren algebraischen Umformungen:
Man unterscheidet nun für verschiedene Fälle für die Lösungs-k-Tupel dieser Gleichung.
Fall 1: Drei Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen. hat die zehn Lösungen (3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (3, 12, 12), (4, 5, 20), (4, 6, 12), (4, 8, 8), (5, 5, 10), (6, 6, 6).
Fall 2: Vier Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen. hat die vier Lösungen (3, 3, 4, 12), (3, 3, 6, 6), (3, 4, 4, 6), (4, 4, 4, 4).
Fall 3: Fünf Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen. hat die beiden Lösungen (3, 3, 3, 3, 6), (3, 3, 3, 4, 4).
Fall 4: Sechs Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen. hat die Lösung (3, 3, 3, 3, 3, 3).Reimund Albers: Materialien zu regelmäßigen Vielecken und Parkettierungen. Fachbereich 3, Mathematik und Informatik, der Universität Bremen, abgerufen am 22. April 2023.B. Willimann: Willimann’s Portal - Skript über Parkettierungen, abgerufen am 22. April 2023.
Platonische Parkettierungen Ist nur ein regelmäßiges Polygon als Kachel zugelassen und wird weiter eingeschränkt, dass die Kacheln Kante an Kante angeordnet werden müssen, ergeben sich genau drei mögliche Parkettierungen der Ebene, die platonische oder reguläre Parkettierungen genannt werden:
Johannes Kepler war der erste, der diese Parkettierungen untersuchte und erkannte, dass sie ein Analogon zu den regulären Polyedern darstellen.David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, London 1991, ISBN 0-14-011813-6, S. 213.
Archimedische Parkettierungen Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so ergeben sich bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Kombination von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) zusammenstoßen muss, genau acht weitere mögliche Parkettierungen – die archimedischen, semiregulären oder 1-uniformen Parkettierungen der Ebene:
zwei Parkettierungen aus Dreiecken und Quadraten zwei Parkettierungen aus Dreiecken und Sechsecken eine Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken eine Parkettierung aus Dreiecken und Zwölfecken eine Parkettierung aus Achtecken und Quadraten eine Parkettierung aus Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken
Semireguläre Parkettierungen Parkettierungen, für die zwar als Grundform beliebige regelmäßige n-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden und die die Kante-an-Kante-Regel einhalten, bei denen aber an den Punkten, an denen die Ecken zusammenstoßen, eine von zwei möglichen Kombinationen von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) auftritt, nennt man semireguläre oder 2-uniforme Parkettierungen, zum Beispiel:
Parkettierung aus Dreiecken und Quadraten (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten) Parkettierung aus Dreiecken und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten) Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken (anderes Muster als bei den entsprechenden archimedischen Parketten) Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Zwölfecken Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken
Es gibt insgesamt 20 semireguläre Parkettierungen.
Duale Parkettierungen Jede platonische Parkettierung ist dual zu einer anderen platonischen Parkettierung. Jede archimedische Parkettierung ist dual zu einer dual-archimedischen Parkettierung, die aus kongruenten Polygonen besteht. Die Seitenlängen dieser Polygone sind die Summe der Inkreisradien der ursprünglichen benachbarten regelmäßigen Polygone. Die Ecken dieser Polygone sind die Mittelpunkte der ursprünglichen Polygone. Die Kanten verbinden benachbarte Mittelpunkte und halbieren daher die ursprünglichen Kanten und schneiden sie orthogonal. Die ursprünglichen Ecken sind die Mittelpunkte der Inkreise der Polygone. Der Inkreisradius ist die halbe Länge der ursprünglichen Kanten. Die Innenwinkel sind gleich 360°/n, wobei n die Anzahl der Ecken des ursprünglichen Polygons ist. In den hier aufgeführten Darstellungen bezieht sich die Farbe der Teilfläche auf die Eckenzahl (, , , , und ). Platonische oder archimedische ParkettierungDuale Parkettierungrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlosrahmenlos
Homogene Parkettierungen Definition Eine Parkettierung heißt homogen, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: Die Figuren sind regelmäßige Vielecke. Die Vielecke berühren sich an den Seiten. Die Vielecke haben gemeinsame Knotenpunkte. An jedem Knotenpunkt stößt dieselbe Anordnung von Vielecken zusammen. Man bezeichnet solche Knotenpunkte als kongruent. Damit sind sowohl die platonischen als auch die archimedischen Parkettierungen homogen.
Gegenbeispiele mini|219px|Nicht-homogene Parkettierung: keine kongruenten Knotenpunktemini|360px|Nicht-homogene Parkettierung: keine gemeinsamen Knotenpunkte Die abgebildete einer Ziegelsteinmauer ähnelnde Parkettierung ist nicht homogen, da es keine gemeinsamen Knotenpunkte gibt. Die abgebildete aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten und regelmäßigen Zwölfecken bestehende Parkettierung ist ebenfalls nicht homogen, da man um den Knoten A die Anordnung Dreieck-Dreieck-Quadrat-Zwölfeck findet, jedoch um den Knoten B sechs Dreiecke, also sind die Knotenpunkte A und B nicht kongruent.Jürgen Köller: Homogene Parkettierungen. In: Mathematische.Basteleien.de. 2004, abgerufen am 22. April 2023.
Parkettierungen mit Quadraten und Parallelogrammen Die Mittelpunkte der auf den Seiten eines Parallelogramms errichteten Quadrate sind Eckpunkte eines neuen Quadrats (Figur 1).Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 58.Stephen D. Abbott, Matt Richey: Take a Walk on the Boardwalk. In: The College Mathematics Journal. Band 28, Nr. 3, Mai 1997, S. 171.
Somit kann die Parkettierung der Ebene mit Quadraten und Parallelogrammen überdeckt werden mit einer Parkettierung aus diesen neuen Quadraten.
mini|200px|zentriert|Figur 1: Parkettierung mit Quadraten und Parallelogrammen mit überlagerter Quadrat-Parkettierung
Parkettierungen mit Rechtecken und Sehnenvierecken Errichtet man über jeder Seite eines Sehnenvierecks ein Rechteck so, dass die andere Rechtecksseite jeweils so lang ist wie die gegenüberliegende Seite des Sehnenvierecks, so sind die Diagonalenschnittpunkte dieser vier Rechtecke die Eckpunkte eines weiteren Rechtecks (Figur 2).Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 127–128.
Somit kann die Parkettierung der Ebene mit Rechtecken und Sehnenvierecken überdeckt werden mit einer Parkettierung aus diesen neuen Rechtecken.
mini|200px|zentriert|Figur 2: Parkettierung mit Rechtecken und Sehnenvierecken mit überlagerter Rechtecksparkettierung
Parkettierungen mit unregelmäßigen Vierecken mini|links|Figur 3: Parkettierung mit konvexen Vierecken mini|Figur 4: Parkettierung mit konkaven Vierecken Die Ebene kann mit kongruenten Vierecken jeder Form parkettiert werden. Überdeckt man eine solche Parkettierung mit einer Parkettierung aus geeigneten kongruenten Parallelogrammen, so lässt sich hieraus eine Beziehung zwischen den Flächenmaßzahlen eines einzelnen Vierecks und eines einzelnen Parallelogramms herleiten.
Figur 3 stellt eine Parkettierung mit konvexen und Figur 4 eine Parkettierung mit konkaven unregelmäßigen Vierecken dar, die jeweils mit einer Parkettierung aus kongruenten Parallelogrammen überdeckt sind.