mini|300px|Sowohl die Sprungtemperatur als auch das kritische Magnetfeld hängen bei Zinn von der Isotopenmasse ab (nach Lock et al.; Maxwell; Serin et al.). Die BCS-Theorie ist eine Vielteilchentheorie zur Erklärung der Supraleitung in Metallen, die 1957 von John Bardeen, Leon Neil Cooper und John Robert Schrieffer entwickelt wurde. Sie erhielten dafür 1972 den Nobelpreis für Physik.
Kurzfassung der BCS-Theorie Die Grundlage der BCS-Theorie war die experimentelle Beobachtung, dass die Supraleitung vieler Metalle, wie z. B. Zinn in Abbildung 1, eine relativ starke Abhängigkeit der Sprungtemperatur und dem kritischen Magnetfeld von der Masse des untersuchten Metallisotops zeigt:
Da die Kreisfrequenz der Schwingung einer Masse an einem Federpendel der Federkonstanten mit ebenfalls ist, deutet dies darauf hin, dass ein Mechanismus der Supraleitung die Wechselwirkung mit den masseabhängigen, quantisierten Gitterschwingungen (deren Quanten Phononen genannt werden) sein müsse.
Dies kann man sich folgendermaßen vorstellen: Ein erstes Elektron verändert das Gitter (respektive eine Gitterschwingung) durch Energieabgabe derart, dass ein zweites Elektron (z. B. durch Veränderung seiner Bahn oder Aufnahme eines Phonons) einen gleich großen Energiegewinn erzielt. Dies ist nur möglich, falls die Gitterbausteine und die Elektronen sich langsam genug (daher nur unterhalb einer kritischen Stromdichte) bewegen.
Die Idee der BCS-Schöpfer besteht darin, die Bildung von Cooper-Paaren aus je zwei Elektronen durch eine schwache anziehende Wechselwirkung zu postulieren. Elektronen sind aufgrund ihres Spins (se = 1/2) Fermionen und können als solche nicht den gleichen Zustand besetzen (Pauli-Prinzip). Im Gegensatz dazu sind die Cooper-Paare mit ganzzahligem Spin (Singulett-Zustand s=0 (antiparallele Anordnung der Elektronenspins) oder Triplett-Zustand s=1 (parallele Anordnung der Elektronenspins)) bei Prozessen, bei denen die Cooper-Paare ihre Identität behalten, Bosonen und können daher gleichzeitig den gleichen Zustand, und damit alle den Grundzustand annehmen. Sie behalten ihre Identität also nur im Kondensat. Sobald die Teilchen aus dem Verbund der Cooper-Paare gelöst werden, zerfallen sie in zwei Elektronen, also in zwei Fermionen. Bleiben die Cooper-Paare im Kondensat, wie z. B. bei Dauerstromexperimenten oder Josephson-Effekten, sind sie Bosonen. Bei allen Prozessen hingegen, bei denen Cooper-Paare angeregt werden, so dass sie in Elektronen zerfallen, z. B. bei der Wechselwirkung mit Strahlung, deren Quanten in der Lage sind, Cooper-Paare aufzuspalten, sind die entstehenden Elektronen Fermionen.
Bardeen, Cooper und Schrieffer erkannten, dass eine direkte Behandlung der Elektronenpaare als Bosonen nicht ausreicht, da ihre räumliche Ausdehnung groß ist und sie sich stark überlappen. Daher kann die Supraleitung nicht einfach als Bose-Einstein-Kondensation beschrieben werden. Die zentrale Herausforderung bestand darin, eine geeignete Vielteilchenwellenfunktion zu finden, die das kollektive Verhalten der Elektronenpaare erfasst. Schrieffer lieferte die entscheidende Lösung: Er beschrieb die supraleitende Phase als einen kohärenten Zustand, in dem eine große Zahl von Elektronenpaaren synchron denselben quantenmechanischen Zustand einnimmt. Dies ist nicht nur energetisch günstiger, sondern führt auch zu einer kohärenten makroskopischen BCS-Vielteilchenwellenfunktion, die sich über den gesamten Festkörper erstreckt.
Die BCS-Wellenfunktion kann durch lokale Hindernisse (Atomkerne und Gitterstörstellen im Allgemeinen) nicht mehr beeinflusst werden und gewährleistet somit einen widerstandsfreien Ladungstransport. Dies verhindert eine Wechselwirkung mit dem restlichen Metall und begründet die typischen Eigenschaften eines Supraleiters wie den verschwindenden elektrischen Widerstand.
Geschichte 1911: Heike Kamerlingh Onnes entdeckt die Supraleitung in Quecksilber (Hg) bei 4,2 K. 1933: Walther Meißner & Robert Ochsenfeld entdecken den Meißner-Ochsenfeld-Effekt: Supraleiter verdrängen Magnetfelder bis auf eine dünne Oberflächenschicht, was auf ein fundamentaleres Phänomen als bloße perfekte Leitfähigkeit hindeutet: idealer Diamagnetismus mit magnetischer Suszeptibilität . 1940er – 50er Jahre: Trotz verschiedener makroskopischer Theorien (z. B. Zweiflüssigkeits-Modell, London-Gleichungen, Ginzburg-Landau-Theorie) bleibt der mikroskopische Mechanismus der Supraleitung ungeklärt.
Erste Hinweise auf einen Mechanismus (1950–1956) 1950: Lock et al., Maxwell und Serin et al. entdecken den Isotopeneffekt: Die kritische Temperatur Tc und das kritische Magnetfeld Hc hängt von der Kernmasse des Supraleitermaterials ab, was die Phonon-Hypothese der Wechselwirkung stützt. 1950: Herbert Fröhlich schlägt vor, dass die Supraleitung durch eine Wechselwirkung zwischen Elektronen und Gitterschwingungen (Phononen) vermittelt wird. 1950: Unabhängig von Herbert Fröhlich beschreibt John Bardeen eine Anziehungswechselwirkung zwischen Elektronen, vermittelt durch das Kristallgitter. 1955: John Bardeen und David Pines untersuchen die Bewegung von Ionen, um die Elektron-Phonon-Wechselwirkungen in Metallen zu verstehen. Sie bestimmen langreichweitige Elektron-Ion-Korrelationen und gekoppelte Elektron-Ion-Wellen (Plasmawellen) sowie longitudinale Schallwellen. Sie stellen fest, dass die Vernachlässigung der Coulomb-Wechselwirkung gerechtfertigt ist.
Die BCS-Theorie wird entwickelt (1956–1957) 1956: Leon Cooper konnte zeigen, dass bei beliebig kleiner anziehender Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen der Grundzustand des Fermigases instabil wird und die Paarenergie abnimmt. Es bilden sich Elektronenpaare im gebundenen Zustand, selbst bei tiefsten Temperaturen: Cooper-Paare. 1957: John Bardeen, Leon Cooper und Robert Schrieffer entwickeln eine Theorie, die auf der Tatsache beruht, dass die Phononenwechselwirkung negativ ist. Sie stellen fest, dass das Kriterium für Supraleitung im Wesentlichen darin besteht, dass diese negative Wechselwirkung das Matrixelement der Coulomb-Wechselwirkung dominiert. 1957: John Bardeen, Leon Cooper und Robert Schrieffer formulieren die BCS-Theorie, die auf der Cooper-Paarbildung und einer kollektiven Wellenfunktion für alle Elektronenpaare basiert. Die Theorie zeigt, dass ein Fermi-System mit anziehender Wechselwirkung eine Energielücke entwickelt, wodurch ein makroskopisch kohärenter Zustand entsteht. Der Artikel Theory of Superconductivity wird in Physical Review veröffentlicht und erhielt große Anerkennung.
Folgen & Erweiterungen (1960er–1980er) 1962: Brian Josephson berechnete die Tunnelströme zwischen zwei Metallen für den Fall, dass beide Metalle supraleitend sind. Er sagte das Tunneln von Elektronenpaaren durch die Barriere voraus: Josephson-Effekt. 1963: Philip Warren Anderson und John Rowell beobachten den supraleitenden Josephson-Effekt und bestätigen die Vorhersage von Brian Josephson. 1964: Robert Jaklevic, John J. Lambe, James Mercereau und Arnold Silver realisieren in den Ford Research Labs erfolgreich das erste supraleitende Quanteninterferenzgerät zur hochpräzisen Messung von Magnetfeldern: SQUID (Superconducting Quantum Interference Device). 1972: Bardeen, Cooper und Schrieffer erhalten den Nobelpreis für Physik für ihre Theorie.Press release: Nobel Prize in Physics 1972 1960er–1980er: Yakov Eliashberg erweiterte die BCS-Theorie um die starke Kopplung, die für einige Supraleiter erforderlich ist. Dabei muss sowohl der Einfluss der Phononen auf die Elektronen als auch der Einfluss der Elektronen auf die Phononen berücksichtigt werden.
Festkörperphysikalische Details mini|300px|Abb. 2: Deformationsspur als Verdichtung der positiv geladenen Rümpfe (Netzebenen) Die Supraleitung kann als eine neue Phase des Elektronengases in einem Metall betrachtet werden. Der Grundzustand des Elektronengases bei wird instabil, sobald auch nur eine schwache attraktive Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen existiert. Cooper zeigte in seiner Theorie, dass ein Elektron beim Durchqueren des Festkörpers aufgrund seiner negativen Ladung eine lokale Deformation der Ionenrümpfe verursacht. Diese Ansammlung positiver Ionenrümpfe übt eine anziehende Kraft auf ein zweites Elektron aus. Dadurch entsteht eine indirekte Wechselwirkung zwischen den Elektronen über die Gitterverzerrung – ähnlich wie zwei Kugeln in einem Trichter.
Die anziehende Wechselwirkung zwischen den Elektronen entsteht durch einen Zeitverzögerungseffekt, da die Ionen im Gitter wesentlich träger sind als die Elektronen. Wenn sich ein Elektron durch das Gitter bewegt, übt es eine Kraft auf die Ionen aus, die aber erst nach dem Durchgang des Elektrons eine Bewegung auslösen und so eine Polarisierung des Gitters bewirken (siehe Abbildung).
Da sich die Elektronen z. B. in Zinn mit einer Fermi-Geschwindigkeit von etwa
bewegen, kann das Gitter nicht sofort folgen. Die größte Gitterverzerrung tritt erst bei einem Abstand
hinter dem Elektron auf, wobei die Debye-Frequenz der Gitterphononen ist. Diese ist proportional zur Debye-Temperatur und beträgt für graues Zinn . Mit der reduzierten Planck-Konstante und der Boltzmann-Konstante lautet die Debye-Frequenz für Zinn: und die charakteristische Zeit für diese Verzögerung beträgt etwa
Damit erstreckt sich die indirekte Kopplung der Elektronen über eine Distanz von mehr als 340 nm. Dadurch wird die sonst stark abstoßende Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen fast vollständig abgeschirmt.
Quantenmechanische Interpretation 200px|mini|Abb. 3: Feynman-Diagramm der Wechselwirkung zweier Elektronen mit den Wellenvektoren k1 und k2 respektive via ein Phonon des Wellenvektors q zur Cooper-Paar-Bildung im Rahmen der BCS-Theorie
Das Verhalten des Elektrons kann auch quantenmechanisch interpretiert werden, indem die vom Elektron verursachte Gitterdeformation als Überlagerung von Phononen aufgefasst wird. Diese Phononen entstehen durch die Wechselwirkung des Elektrons mit dem Gitter und werden kontinuierlich emittiert und absorbiert.
Betrachtet man zunächst ein ideales Fermi-Gas der Elektronen, das keiner Wechselwirkung unterliegt (siehe Fermi-Dirac-Statistik). In diesem Zustand sind bei absoluter Nulltemperatur () alle möglichen Einteilchenzustände mit Wellenvektoren bis zur Fermi-Kante besetzt. Die höchste besetzte Energie, die so genannte Fermi-Energie, wird durch
gegeben. Zustände mit Energien bleiben unbesetzt.
Cooper modifizierte dieses System, indem er zwei zusätzliche Elektronen einführte, die sich oberhalb der Fermi-Energie befinden. Diese besitzen die Wellenvektoren und sowie die zugehörigen Energien und . Entscheidend ist nun, dass sich diese beiden Elektronen nicht unabhängig voneinander verhalten, sondern durch eine attraktive Wechselwirkung gekoppelt sind – eben jene Wechselwirkung, die durch die Wechselwirkung mit dem Kristallgitter vermittelt wird.
Alle anderen Elektronen im Fermi-See bleiben ungeordnet verteilt und beeinflussen diesen Kopplungsmechanismus nicht. Da das Pauli-Prinzip verbietet, bereits besetzte Zustände innerhalb der Fermi-Kugel erneut einzunehmen, können sich die zusätzlichen Elektronen nur in höheren Energiebereichen aufhalten.
Ein wesentlicher Effekt dieser Wechselwirkung ist, dass die beiden Elektronen durch den Austausch von Phononen ständig ihre Wellenvektoren ändern. Dabei bleibt aber immer eine Erhaltungsgröße erhalten:
Diese Bedingung stellt sicher, dass die Gesamtimpulsbilanz innerhalb des Systems erhalten bleibt.
Die Wechselwirkung im -Raum ist nicht uneingeschränkt, sondern auf einen schalenförmigen Bereich um mit einer Energiebreite von begrenzt. Dieser Bereich liegt oberhalb der Fermi-Energie .
Die zugehörige graphische Darstellung zeigt, dass sich alle Elektronenpaare, die die obige Erhaltungsbedingung erfüllen, in einem rotationssymmetrischen Volumen um die Achse befinden. Dieses Volumen ist in der Abbildung dunkelgrau schattiert.