Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Maß dafür, welche elektrische Spannung erforderlich ist, um eine bestimmte elektrische Stromstärke durch einen elektrischen Leiter (Bauelement, Stromkreis) fließen zu lassen. Dabei sind Gleichgrößen zu verwenden oder Augenblickswerte bei mit der Zeit veränderlichen Größen.EN 80000-6, Größen und Einheiten – Teil 6: Elektromagnetismus, 2008; Eintrag 6-46.
Wenn die Spannung von einem Anschlusspunkt A zu einem Anschlusspunkt B gezählt wird, wird die Stromstärke in dem Leiter positiv gezählt, wenn er von A nach B fließt; der Widerstand kann nicht negativ sein.IEC 60050, deutschsprachige Ausgabe bei DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch, IEV-Nummer 131-12-04.
Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel – abgeleitet vom Lateinischen resistere für „widerstehen“ – verwendet. Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, ihr Einheitenzeichen ist das Ω (großes Omega).
mini|Schaltzeichen gemäß EN 60617;Spannung und Stromstärke haben bei diesen Zählrichtungen dasselbe Vorzeichen Auf historische Zusammenhänge wird im Artikel ohmsches Gesetz eingegangen.
Auf die Widerstandsmessung wird in einem eigenen Artikel eingegangen.
Ohmscher Widerstand
Grundlegende Zusammenhänge Ein elektrischer Widerstand ist dann ein ohmscher Widerstand, wenn sein Wert unabhängig von der Spannung, der Stärke des Stromes und jeglichen Parametern ist. An einem solchen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Wird in einem Liniendiagramm die Spannung über der Stromstärke aufgetragen, entsteht bei einem ohmschen Widerstand eine Ursprungsgerade; die an einem Bauteil mit ohmschem Widerstand abfallende Spannung ist proportional zur Stromstärke im Widerstand mit dem Proportionalitätsfaktor ; dieser ist zugleich der Anstieg der Geraden:
Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden. Dieses wird üblicherweise ebenfalls als Widerstand – siehe Widerstand (Bauelement) – bezeichnet.
Wenn durch den Strom im Widerstand ein Spannungsabfall entsteht, wird elektrische Energie in thermische Energie umgesetzt.
Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt elektrischer Leitwert eines Leiters. Es gilt also:
Berechnung des Widerstands eines Leiters Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer Material-Konstante, dem spezifischen Widerstand , berechnen. rahmenlos|hochkant=0.6|rechts
Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche und der Länge gilt:
Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.
Einflussfaktoren Der ohmsche Widerstand ist eine Idealisierung für viele theoretische und mathematische Behandlungen, mit der sich in der Praxis oft gut arbeiten lässt. Aber zusätzlich zu den schon erwähnten Einschränkungen hat das Modell seine Grenzen durch äußere Einwirkungen. Ein Einfluss der Spannung auf den elektrischen Widerstand ist bei hohen Spannungen und hohen Widerstandswerten zu beachten in der Größenordnung ,Wolfgang Gruhle: Elektronisches Messen: Analoge und digitale Signalbehandlung. Springer, 1987, S. 95. in neuen Entwicklungen von Messwiderständen bis zwei Zehnerpotenzen weniger.Datenblatt für Hochspannungswiderstände Vielfach ist er bei nichtlinearen Widerständen, z. B. Halbleitern, zu beobachten; siehe unten. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand des Glühfadens einer Glühlampe ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss. Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt, aber selbst bei 50 Hz kommt der Einfluss in dicken Leiterseilen von Hochspannungs-Freileitungen zum Tragen. Bei Wechselstromwiderständen kann ein Frequenz-Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein; siehe unten. Zur Abgrenzung wird der frequenzunabhängige Anteil am Widerstand auch als Gleichstromwiderstand bezeichnet. Ein Einfluss der Temperatur ist häufig zu beachten, wie nachfolgend beschrieben: Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters wird dann beispielsweise ersetzt durch
Beispiele für spezifischen Widerstandund Temperaturkoeffizient bei 20 °C Material in Ω·mm2/m in 1/°C Silber KupferDatenblatt für Cu 99,9 % NickelDatenblatt für Ni 99,98 % Nickel-ChromDatenblatt einer für Präzisionswiderstände geeigneten Legierung bis
wobei der Index die Celsius-Temperatur kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung; deshalb sind die Tabellenwerte nur als Richtwerte zu verstehen.
Der Einfluss der Temperatur auf den Widerstand lässt sich in einfachen Fällen mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten und dem Temperaturunterschied darstellen. Dann wird der Zusammenhang durch eine lineare Gleichung beschrieben
Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnung in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer.)
Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, wird unterschieden zwischen Heißleitern oder NTC (engl. ; Widerstandswert sinkt) und Kaltleitern oder PTC (engl. ; Widerstandswert steigt). Generell sind alle Metalle Kaltleiter.
In der Mess- und Regelungstechnik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes als Messeffekt ausgenutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern, weiteren Temperatursensoren, thermischen Anemometern oder Einschaltstrombegrenzern.
Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen Messwiderstand erforderlich ist.
Wechselstromwiderstand Darstellung Merkmale bei zeitabhängigen Größen Bei Wechselgrößen muss beachtet werden, dass sich die Augenblickswerte der Spannung und der Stromstärke periodisch ändern. Am ohmschen Widerstand besteht die Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke nicht nur für Gleichgrößen, sondern auch für Augenblickswerte zum jeweils betrachteten Zeitpunkt. Bei allen weiteren elektrischen Bauelementen, selbst bei den als lineare Widerstände zusammengefassten, sind die Zusammenhänge zwischen den Augenblickswerten von Spannung und Stromstärke hingegen zeitabhängig. So ist bei einem idealen elektrischen Kondensator die Stromstärke aufgrund seiner Kapazität proportional zur Änderungsrate der Spannung. Die dem Kondensator von einem Erzeuger gelieferte Energie wird zum Aufbau eines elektrischen Feldes verwendet. Die Energie wird darin zunächst gespeichert. Später, nach dem Wechsel des Vorzeichens der Stromstärke, wird das Feld wieder abgebaut und die Energie zurückgespeist. – Entsprechend ist bei einer idealen Spule die Spannung aufgrund ihrer Induktivität proportional zur Änderungsrate der Stromstärke.
In den Rechnungen mit Wechselgrößen mit der Frequenz oder der Kreisfrequenz ergibt sich bei diesen Bauelementen:
Eine sinusförmige Stromstärke
hat eine zeitlich verzögerte, ebenfalls sinusförmige Spannung
mit derselben Kreisfrequenz zur Folge – oder umgekehrt. Das beschreibt einen zeitabhängigen Zusammenhang, in dem aber die Amplituden und die Frequenz zeitunabhängig sind. Das Beibehalten der Sinusform im zeitlichen Verlauf ist mit ein Grund, das Verhalten der genannten Bauelemente als linear zu bezeichnen. Allerdings stellt sich durch die Verzögerung ein Phasenverschiebungswinkel ein:
Er ist nur beim ohmschen Widerstand gleich null. Außer bei diesem ist das Verhältnis zeitabhängig, ohne Proportionalität und zur Beschreibung in der Wechselstromtechnik ungeeignet.Wilhelm Walcher: Praktikum der Physik. 6. Auflage, Teubner, 1989, Seite 243. Sinnvoll angeben lässt sich jedoch der Quotient der Amplituden (oder gleichwertig der Quotient der Effektivwerte), der als Scheinwiderstand
bezeichnet wird. Beim idealen Kondensator und bei der idealen Spule ist der Scheinwiderstand so groß wie der Betrag des Blindwiderstands . Beide Widerstände werden wie der ohmsche Widerstand als unabhängig von Spannung, Stromstärke und Zeit angesehen. Aber beide sind abhängig von einem Parameter, der Frequenz.
Bei einer realen Spule ist meistens der ohmsche Drahtwiderstand gegenüber dem Blindwiderstand nicht zu vernachlässigen. Da er Energie nach außen abgeben kann, wird er als Wirkwiderstand bezeichnet. Der Gesamtwiderstand ergibt sich allerdings wegen der unterschiedlichen Phasenverschiebungen im Wirkanteil und im Blindanteil des Spulenwiderstands nicht wie gewohnt durch arithmetische Addition. Der Phasenverschiebungswinkel beträgt bei der Induktivität +90°, bei der Kapazität −90°. Damit ist eine Pythagoreische Addition erforderlich: mini|hochkant=1.7|Links: Zwei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Zeiger.Rechts: Deren Projektionen auf die senkrechte Ursprungsgerade ergeben die Augenblickswerte, sie haben über dem Phasenwinkel oder der Zeit aufgetragen einen Sinusverlauf.(Mit der Projektion auf eine andere Ursprungsgerade ändert sich die Aussage nicht, nur die Nullphasenwinkel ändern sich damit.)Die blau gezeichnete Schwingung läuft der rot gezeichneten um 60° vor. , wobei stets < 90° ist.
Mathematische Darstellung Die mathematische Behandlung mit den Gleichungen für und ist wegen trigonometrischer Umformungen sehr aufwändig. Deshalb ist für Berechnungen die komplexe Wechselstromrechnung entwickelt worden, in der reelle physikalische Größen formal durch komplexe Größen ersetzt werden; und werden durch in der komplexen Ebene rotierende Zeiger abgebildet.Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. Vieweg, 1991, Seite 5 ff.Ekbert Hering, Karl-Heinz Modler (Hrsg.): Grundwissen des Ingenieurs. 14. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 2007, Seite 167 ff. Sie drehen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Koordinatenursprung. Ihre Längen repräsentieren die Amplituden; die Abstände der Pfeilspitzen von der reellen Achse stehen für die Augenblickswerte; sie ändern sich mit der Zeit sinusförmig.
Formelzeichen komplexer Größen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet.DIN 5483–3: Zeitabhängige Größen – Teil 3: Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen. Sept. 1994. Für die rotierenden Zeiger gilt: mini|Impedanz als Zeiger in der komplexen Ebene mit ihren Komponenten.Auf der waagerechten Achse wird der Realteil der Impedanz aufgetragen, auf der senkrechten Achse der Imaginärteil.Der Winkel in der Zeichnung entspricht dem Winkel im Text. und mit der imaginären Einheit , die durch definiert wird.
Ferner wird der komplexe Wechselstromwiderstand eingeführt, der auch Impedanz genannt wird:
Anders als beim Bruch kürzt sich beim Bruch die im Faktor enthaltene Zeitabhängigkeit heraus. Somit rotiert der zugehörige Zeiger nicht.
Der komplexe Widerstand ermöglicht die Zusammenfassung von Wirk- und Blindwiderstand zu
und die Zusammenfassung von Scheinwiderstand und Phasenverschiebungswinkel zu
Davon wird nachfolgend Gebrauch gemacht.
Ursachen der komplexen Widerstände Bei einer Spule mit der Induktivität gilt
Aufgrund einer Spannung wächst die Stromstärke mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert. Mit dem Ansatz mit den komplexen Größen und ergibt sich nach der Differenziation
Das wird hier als induktiver Blindwiderstand bezeichnet
Zusammen mit dem Faktor bedeutet das Ergebnis, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Mit ergibt sich