Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, gibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit bei der Drehung um eine gegebene Achse an (Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung, gleichbedeutend Drehimpuls geteilt durch Winkelgeschwindigkeit). Damit spielt es die gleiche Rolle wie die Masse im Verhältnis von Kraft und Beschleunigung (bzw. von Impuls und Geschwindigkeit); deswegen ist in der älteren Literatur auch die Bezeichnung Drehmasse gebräuchlich. Als physikalische Größe kommt es erstmals 1749 im Werk von Leonhard Euler vor.Das Trägheitsmoment wird erstmals dort in Band 1 (§165, S. 70) von Euler explizit definiert, um einen einfachen Ausdruck für die Momentenwirkung träger Massenelemente bei Drehungen um eine feste Achse zu erhalten. Die Vorstellung, dass Materie eine Momentenwirkung hat, die zum Produkt aus der Masse des jeweiligen Körperelementes und zu dem zur Drehachse senkrechten Abstandsquadrat proportional ist, geht allerdings weiter zurück. Sie ist sowohl in früheren Schriften Eulers als auch in denen seiner Vorgänger zu finden, die sich mit Problemen des Schwingungsmittelpunktes zusammengesetzter Körperelemente beschäftigten. Eine erste umfassende Theorie der starren Körper und ihrer Trägheitsmomente publizierte Euler 1765 in . Siehe dazu Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften

Das Trägheitsmoment hängt von der Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse ab. Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei; der Abstand geht quadratisch ein. Nimmt die Dichte des Körpers zur Drehachse hin zu, ist sein Trägheitsmoment kleiner, als wenn seine Masse im selben Volumen homogen verteilt wäre. Bei rasch rotierenden Planeten lässt sich deshalb aus der Abplattung auf den Dichteverlauf schließen.

Ist die Drehachse nicht fest vorgegeben, so reicht zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens eine einzelne Zahl nicht aus. Aus dem Trägheitstensor kann das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt berechnet werden.

Anschauliche Beispiele

Balancierhilfe mini|Hochseilartisten mit Balancierstangen Beim Seiltanz werden als Balancierhilfe bevorzugt lange Stangen quer zum Seil gehalten. Im Vergleich zu einem gleich schweren kompakten Körper, etwa einem Sandsack, den der Artist am Körper trägt, hat so eine Stange in Bezug zum Seil als Drehachse ein größeres Trägheitsmoment. Ein Zur-Seite-Kippen wird dadurch nicht verhindert, aber so verlangsamt, dass genügend Zeit für eine ausgleichende Bewegung bleibt.

Den Effekt kann man leicht selbst ausprobieren: Ein 30-cm-Lineal (kürzer ist schwieriger) lässt sich hochkant auf der Handfläche balancieren. Quer jedoch, auf eine seiner langen Kanten gestellt, fällt es komplett um, bevor man reagieren kann. Die Drehachse ist in beiden Fällen die aufliegende Kante, während das mittlere Abstandsquadrat von dieser Achse mit über 300 cm2 bzw. rund 5,3 cm2 stark verschieden ist.

Dass der Abstand quadratisch in das Trägheitsmoment eingeht, lässt sich leicht einsehen: Ein Massenelement in doppeltem Abstand muss bei einer bestimmten Winkelbeschleunigung doppelt so stark tangential beschleunigt werden. Das erforderliche Drehmoment (doppelte Kraft × doppelter Hebelarm) ist damit vierfach so groß.

Drehstuhl und Pirouette mini|Drehstuhl-Experiment im Film Mit einem weiteren einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments veranschaulichen. Man setzt sich möglichst mittig auf einen drehbaren Bürostuhl und lässt sich mit gestreckten Armen und Beinen in Drehung versetzen. Wenn man dann die Arme und Beine an den Körper heranzieht, nimmt das Trägheitsmoment ab. Weil der Drehimpuls, also das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit, sich nicht ändern kann (Drehimpulserhaltung), wird die Drehbewegung schneller. Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung wieder. Um den Effekt zu verstärken, kann man in jede Hand schwere Gegenstände nehmen, etwa Hanteln. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird der Effekt.

Ein ähnliches Beispiel ist der Pirouetteneffekt, der aus dem Eiskunstlaufen bekannt ist. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse relativ zur Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an, dreht er sich schneller – ein erneutes Schwungholen ist nicht nötig.

Formelzeichen und Einheit Die geläufigsten Formelzeichen für das Trägheitsmoment sind und , zurückgehend auf das lateinische Wort , das untätig und träge bedeutet. Um Verwechselung mit der elektrischen Stromstärke zu vermeiden, ist auch ein (großes Theta) gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend verwendet.

Die SI-Einheit des Trägheitsmoments ist kg·m2.

Allgemeine Definition Das Massenträgheitsmoment lässt sich wie folgt berechnen: . Dabei ist die Funktion der Dichte des Körpers und der senkrechte Vektor von der Rotationsachse zum Volumenelement (siehe untenstehende Abbildung, Rotationsachse vorgegeben durch die Winkelgeschwindigkeit ).

Motivation der Definition mini|400px|Gezeigt ist eine beliebig geformte Massen­verteilung der Dichte , die um die Achse rotiert. Ein Massen­element hat den Abstand von der Drehachse und die Bahn­geschwindigkeit . Starrer Körper bestehend aus N Massenpunkten mini|150px|Werden Massen­elemente parallel zur Rotations­achse ver­schoben, ändert sich das Trägheits­moment nicht. Ein Stab, der den Winkel mit der Rotations­achse ein­schließt, wird zer­schnitten und die ent­standenen Einzel­teile parallel zur Rotations­achse so ver­schoben und zusammen­gefügt, dass sich ein horizontal gelagerter, kürzerer Stab ergibt. Die Masse, die Massen­verteilung und folglich das Trägheits­moment bezüglich der -Achse bleiben dadurch gleich. Rotiert ein starrer Körper, der aus Massenpunkten besteht, mit Winkelgeschwindigkeit um die dadurch vorgegebene Rotationsachse, ohne sich dabei translatorisch zu bewegen, ergibt sich seine gesamte Rotationsenergie aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte mit Massen und Bahngeschwindigkeiten : . Da sich dabei jeder Massepunkt auf einer Kreisbahn mit der Winkelgeschwindigkeit um die Rotationsachse dreht, gilt mit seinem senkrechten Abstand zu dieser Achse: . Daraus folgt: . Analog zur Definition der Bewegungsenergie

eines translatorisch bewegten starren Körpers aus Massenpunkten mit der Gesamtmasse , definiert man das Trägheitsmoment eines rotierenden starren Körpers aus Massenpunkten als . da damit gilt . In Analogie zur Translationsbewegung von starren Körpern lässt sich so sagen: Die Masse eines rotierenden Körpers entspricht dem Trägheitsmoment . Die Geschwindigkeit eines rotierenden Körpers entspricht der Winkelgeschwindigkeit . Oftmals beschreibt man den Körper in Kartesischen Koordinaten und legt die -Achse des Koordinatensystems durch die Rotationsachse. Sind dann die Koordinaten des -ten Massenpunktes, gilt und somit: .

Starrer Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung Die Formel für das Massenträgheitsmoment eines starren Körpers mit einer kontinuierlichen Massenverteilung erhält man, indem man den Körper gedanklich in viele kleine Teilvolumina zerlegt. Ist die Masse des -ten Teilvolumens und der Abstand eines Punktes im -ten Teilvolumens zur Drehachse, so beträgt die Rotationsenergie näherungsweise

. Wählt man nun eine immer feinere Zerlegung und lässt schließlich die Größe der Teilvolumina gegen null und damit einhergehend deren Anzahl gegen unendlich gehen , so geht auch jeweils die Masse in jedem der Teilvolumina gegen null , und die Gleichung wird exakt: . Wenn man die Massen durch die Größe des Volumenelements am Ort und die dort herrschende Massendichte ausdrückt, folgt:

Die eingeklammerte Summe ist das Volumenintegral der Funktion über das Volumen des aus den infinitesimalen Massenelementen zusammengesetzten Körpers.Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 2008, S. 145. Damit ist:

Mit

ergibt sich obige allgemeine Definition des Massenträgheitsmomentes:

Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und Drehimpuls Der Gesamtdrehimpuls des starren Körpers zeigt i. d. R. nicht in dieselbe Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit . Die achsenparallele Komponente jedoch ist durch gegeben. Dies lässt sich wie folgt einsehen. Der Ortsvektor eines einzelnen Massenelementes wird nach in einen zu parallelen und einen dazu senkrechten Anteil aufgeteilt. Zur achsenparallelen Komponente des Drehimpulses dieses Massenelements trägt der parallele Anteil des Ortsvektors nichts bei, es bleibt: . Die achsenparallele Komponente des Gesamtdrehimpulses ergibt sich dann zu . Außerdem folgt daraus sofort .

Vergleich mit der Masse bei linearer Bewegung Das Trägheitsmoment bei einer rotierenden Bewegung ist vergleichbar mit der Masse einer linearen (geradlinigen) Bewegung (ausführlich siehe Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung). Man vergleiche folgende Gleichungen:

Rotationsbewegung Translationsbewegung Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung Kraft = Masse mal Beschleunigung (Zweites Newtonsches Gesetz) Drehimpuls = Trägheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit Impuls = Masse mal Geschwindigkeit Energie = Trägheitsmoment mal Quadrat der Winkelgeschwindigkeit durch 2 Energie = Masse mal Quadrat der Geschwindigkeit durch 2

Formeln für wichtige Spezialfälle

Trägheitsmoment eines homogenen rotationssymmetrischen Körpers Das Trägheitsmoment eines rotationssymmetrischen Körpers, der um seine Symmetrieachse (-Achse) rotiert, kann mit Hilfe von Zylinderkoordinaten berechnet werden.

Ist der Radius des Körpers bei der Höhe , dann ist das Volumenelement durch eine Kreisscheibe der Dicke gegeben: . Daher gilt für einen Körper, der von bis reicht: .

Ist die Oberfläche des Körpers stattdessen (wie z. B. bei einem Kegel möglich) durch die beim Radius erreichte Höhe gegeben, kann man das Volumenelement als Mantel eines Zylinders mit Radius so wählen: . Zu integrieren ist dann über alle Radien von bis zum maximalen Radius

.

Trägheitsmomente für zwei zueinander parallele Achsen (Steinerscher Satz) mini|Illustration der Steiner-Regel. Drehachse 1 geht durch den Schwerpunkt des Körpers der Masse m. Drehachse 2 ist um den Abstand d verschoben.

Ist das Trägheitsmoment für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so ist das Trägheitsmoment für eine beliebige parallel verschobene Drehachse . Dabei gibt den Abstand des Schwerpunkts von der parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann den Steinerschen Satz für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss der Satz zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort. .

Satz über zueinander senkrechte Achsen mini|Dünne Kreisscheibe mit Radius Der Satz über senkrechte Achsen behandelt den Sonderfall einer beliebig geformten Scheibe, deren Dicke im Vergleich zu ihrer Ausdehnung vernachlässigt werden kann. Dann ist das Trägheitsmoment um eine beliebige Drehachse senkrecht zur Scheibenebene gleich der Summe der Trägheitsmomente um zwei beliebige Drehachsen in der Scheibenebene, die zueinander senkrecht sind und deren Schnittpunkt auf der erstgenannten Drehachse liegt. Für einen Körper in der xy-Ebene bei wie im Bild heißt das:

.

Denn dann berechnet sich

.

Verallgemeinerung durch Trägheitstensor