Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.
Definition Seien eine Körpererweiterung und der Polynomring zu mit der Unbestimmten . Die Elemente seien algebraisch über , das heißt, es existieren mit .
Dann heißen und algebraisch konjugiert über , wenn und dasselbe Minimalpolynom über haben.
Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.
Eigenschaften und sind genau dann konjugiert über dem Körper , wenn für alle gilt, dass . Sei eine endliche Körpererweiterung mit für ein . Dann sind genau dann konjugiert über dem Körper , wenn es ein Element in der Galoisgruppe gibt mit .
Beispiele Die komplexen Zahlen und haben über beide das Minimalpolynom und sind daher algebraisch konjugiert über . Über haben sie natürlich die Minimalpolynome bzw. und sind nicht konjugiert. Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen und mit sind genau dann algebraisch konjugiert über , wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall . Die Goldene Zahl und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper . Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms . Die zu algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus , und ergibt sich das Minimalpolynom . Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung , die weiteren Nullstellen: ,,.
Literatur
Kategorie:Körpertheorie Kategorie:Algebraische Zahlentheorie