Spline-Interpolation

mini|Beispiel eines Splines mit 8 Knoten

Bei der Spline-Interpolation versucht man, gegebene Stützstellen, auch Knoten genannt, mit Hilfe stückweiser Polynome niedrigen Grades zu interpolieren. Während das Ergebnis einer Polynominterpolation durch unvorteilhaft festgelegte Stützstellen oft bis zur Unkenntlichkeit oszilliert, liefert die Splineinterpolation brauchbare Kurvenverläufe und Approximationseigenschaften (Rungephänomen). Die Spline-Interpolation lässt sich mit geringem, linearem Aufwand berechnen, liefert aber im Vergleich zur Polynominterpolation eine geringere Konvergenzordnung.

Vorlage für die Splineinterpolation (dritten Grades) ist das traditionelle, biegsame Lineal der Schiffbauer, die Straklatte (englisch Spline). Diese wird an beliebig vielen, vom Konstrukteur vorgegebenen Punkten fixiert und verbindet die Punkte dann durch eine glatte und harmonische Biegelinie. Die Straklatte erzeugt so die Linie durch alle Punkte mit minimaler Biegeenergie und kleinsten Krümmungen. Während bei der Straklatte die Wendestellen (Orte maximaler Linearität und minimaler Biegeenergie) in der Regel zwischen den Stützstellen liegen und die Stützstellen selbst Orte maximaler Krümmung sind (Orte maximaler Kraft durch Fixierung), liegen die Wendestellen bei der Polynomeninterpolation nahe an den Stützstellen, bei der polynomialen Bestapproximation sogar in den Stützstellen.

Die Begriffe Splineinterpolation bzw. Splinefunktion ohne weitere Zusätze bezeichnen immer die Splineinterpolation bzw. Splinefunktion dritten Grades. Beide Begriffe werden zumeist synonym verwendet. Der Begriff Spline wird jedoch zunehmend als Abkürzung für B-Spline, seltener auch für andere splineartige Linien wie die Bézierkurven, benutzt.

Smoothing Splines sind Splines, die nicht durch jeden Datenpunkt verlaufen müssen und können zur Signalglättung benutzt werden.

Gegebenheiten Gegeben: eine natürliche Zahl und Stützstellen sowie Funktionswerte . Gesucht ist eine stückweise polynomiale Funktion, ein Spline,

mit für , bei der für die Einschränkungen

auf die Teilintervalle Polynome sind.

Linear (einfacher Streckenzug) Die einfachste Methode ist die Verwendung von Geraden zwischen jeweils zwei benachbarten Punkten, die Berechnung eines einfachen Splines als Streckenzug erfolgt auf dieselbe Weise, mit der man auch den Graphen zwischen zwei Punkten ermittelt:

oder auch

Konvergenz linearer Splines Seien Stützstellen gegeben und die Abstände der Stützstellen für und deren Maximum. Für die linear Splinefunktion , die die Funktion interpoliert, d. h. es gilt für , dann gilt die Fehlerabschätzung

Damit konvergieren lineare Splines quadratisch mit der Gitterweite gegen die eigentliche Funktion . Dies steht stark im Kontrast zur Polynominterpolation von auf dem Intervall , die im Allgemeinen nicht konvergiert mit zunehmenden Polynomgrad und stattdessen sogenannte Runge-Oszillationen aufweist.

Lineare Spline-Funktionen sind an den Stützstellen jedoch nicht differenzierbar. Dieses Problem lässt sich durch kubische Splines lösen, welche zweimal stetig differenzierbar sind.

Kubisch (Polynome 3. Grades) Bei der Verbindung von Punkten mit Polynomen höheren Grades müssen zusätzlich zu den Stützstellen Eigenschaften definiert werden, wie die Polynome ineinander übergehen. Für kubische Splines sind in einer Dimension 4 Koeffizienten zu bestimmen und zwei weitere Bedingungen sind zu definieren.

Der kubische C²-Spline C2 fordert, dass die zusammengesetzte Funktion aus allen Einschränkungen (Teilintervallen) zweimal stetig differenzierbar ist. Dafür wird gefordert, dass die erste und zweite Ableitung der Einschränkungen an den Stützstellen   und   für übereinstimmen.

Prinzipiell gilt, dass sich eine Änderung einer Stützstelle stets global auf den gesamten Spline auswirkt, jedoch wird der Einfluss der Änderung mit zunehmender Distanz zu – anders als bei Interpolationspolynomen – stark gedämpft. Kubische Splines neigen daher weniger zum Überschwingen.

Der kubische C2-Spline erfüllt eine Minimalitätseigenschaft der zweiten Ableitung, was ihn gegenüber anderen Interpolationen besonders interessant macht.

Konstruktion Es ist ersichtlich, dass die zweite Ableitung von ein linearer Spline ist. Diese kann daher wie oben beschrieben durch folgende Form beschrieben werden:   mit   für . sind die sogenannten Momente,Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt, 4. Auflage, Seite 27, Bemerkung 2.11 welche den Werten von an den Stützstellen entsprechen und im Folgenden zu berechnen sind. Durch zweifache Integration und geschickte Umformung entstehen aus diesen Gleichungen Polynome dritten Grades mit zwei weiteren Parametern und der Form: . Um die Stetigkeitsbedingungen und zu erfüllen, wählen wirJosef Stoer: Numerische Mathematik 1, 9. Auflage, Abschnitt 2.4.2, Seite 109 und . Mit diesem Ansatz stimmen bereits die nullten und die zweiten Ableitungen der Einschränkungen an den Stützstellen überein. Die Momente sind so zu wählen, dass auch die ersten Ableitungen an den Stützstellen gleich sind. Mit und lassen sich folgende Gleichungen aufstellen: für . Für und fehlen hier zwei Gleichungen, welche sich aus den Randbedingungen ergeben.

Dieses lineare Gleichungssystem kann auch durch folgende, tridiagonale, streng diagonaldominante Matrix ausgedrückt werden:

Die Werte für die hängen von den Randbedingungen ab.

Zur Lösung kann hier auf den komplizierten Gauss-Algorithmus verzichtet werden und z. B. ein einfacher Vorwärts-Durchlauf zur Elimination der Elemente unter der Hauptdiagonalen mit anschließender Rückwärtssubstitution verwendet werden (Thomas-Algorithmus).

Randbedingungen Prinzipiell gibt es ein Interpolationsintervall weniger als Stützstellen (Zaunpfahlproblem). Das heißt, dass zwei Gleichungen zur Bestimmung aller Koeffizienten fehlen. Diese ergeben sich aus den Randbedingungen. Typische Randbedingungen sind: Natürliche Randbedingungen (auch freier Rand) Bedingung: , Bedeutung: Der Spline schließt mit Wendepunkten ab. Berechnung: und Hermite Randbedingungen (auch eingespannter Rand) Bedingung: , Bedeutung: und sind vorgegeben, normalerweise entweder durch die Ableitung einer zu interpolierenden Funktion oder durch eine Approximation derselben. Berechnung:

periodische Randbedingungen Bedingung: Intervall , , , Bedeutung: Nullte, erste und zweite Ableitung von am Anfang und am Ende des Intervalls sind gleich. Berechnung: Es wird eine zusätzliche Stützstelle eingeführt, welche das Intervall begrenzt. Die Anzahl der Gleichungen zur Berechnung der Momente und die Größe der Matrix bleibt jedoch gleich, da bereits gegeben ist, damit die zweiten Ableitungen übereinstimmen. Für die erste und letzte Zeile der Matrix gilt:

Außerdem sind die Ecken der Matrix abseits der Hauptdiagonalen hier nicht Null:

Die Lösung dieses Systems ist daher komplizierter. Im Falle äquidistanter Stützstellen lässt sich für diesen Fall eine Transformation anwenden. not-a-knot Randbedingungen Bedingung: , Bedeutung: Die äußeren drei Punkte werden je durch ein gemeinsames Polynom interpoliert, was zum Beispiel durch Gleichsetzen der dritten Ableitungen erfolgen kann. Für Splines bis einschließlich vier Stützstellen geht der not-a-knot Spline daher in ein gewöhnliches Interpolationspolynom über. Verwendet wird der not-a-knot-Spline zum Beispiel vom Programm Matlab. Berechnung: Es gelte . Für die Vorwärtssubstitution wird zunächst die Randbedingung an betrachtet. Hierfür können folgende Werte verwendet werden:

Falls entsteht hier eine Division durch Null und es muss eine Grenzwertbildung bis in die dritte Zeile der Matrix (Null ist hier der Index der ersten Zeile/Spalte) erfolgen:

Gelöst wird nun lediglich die Untermatrix beginnend bei und das Randpolynom auf dem Intervall wird durch eine zusätzliche Polynominterpolation bestimmt, sodass , , , . ist dadurch bereits erfüllt. Nach dem Vorwärtsdurchlauf zur Elimination der Elemente unter der Diagonalen wird nun die Randbedingung an betrachtet:

Weitere Randbedingungen sind gebräuchlich, wie etwa integrale RandbedingungenLebesgue und Birkhoff: Handbook of Splines, Abschnitt 1.9, Seite 56 oder die im Folgenden vorgestellte, symmetrische Verlängerung.

Optimierung des Rechenaufwands Bei äquidistanten Stützstellen mit konstantem Abstand vereinfacht sich das Gleichungssystem zu für .

Mit der symmetrischen Verlängerung und entsteht daraus eine sogenannte Tridiagonal-Toeplitz-Matrix, welche besonders effizient, auch parallel gelöst werden kann. Für die rechte Seite kann hier und angesetzt werden. Mit lässt sich schreiben:

Diese hat die Inverse

mit Koeffizienten , die den Gleichungen , , der Rekursion und explizit der Formel

genügen.

Minimalitätseigenschaft der zweiten Ableitung Unter allen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die alle Stützstellen innerhalb eines Intervalls miteinander verbinden, hat unter Verwendung natürlicher, periodischer oder Hermite-Randbedingungen der kubische Spline die geringste Krümmung: , wobei hier eine beliebige Funktion auf aus C2 ist, die alle Stützstellen schneidet. Anschaulich folgt daraus, dass ein zu volles Glas Wasser, das während einer Zugfahrt auf dem Tisch steht, „am wenigsten überschwappt“, wenn der Streckenzug der Schienenführung mithilfe kubischer Splines parametrisiert wurde.

Diese sogenannte Identität von Holladay wurde im Jahr 1957 von Holladay bewiesen. Sei mit der Raum der zweimal differenzierbaren Funktionen bezeichnet, für welche die nullte und erste Ableitung absolutstetig sind und die zweite Ableitung in liegt. Sei nun eine interpolierende Splinefunktion zu einer beliebigen Funktion und die -Norm, so gilt: mit .

Erfüllt die Splinefunktion die natürlichen, periodischen oder vollständigen Randbedingungen, so ist , also:

Damit gilt nun:

Hieraus folgt auch die Eindeutigkeit der Splineinterpolation für gegebene Randbedingungen. Insbesondere hat das lineare Gleichungssystem oben dadurch eine eindeutige Lösung.

Konvergenz Kubische Splines und zumindest die ersten beiden Ableitungen konvergieren für . Die Konvergenzordnung bzgl. hängt sowohl von der gewählten Norm, als auch der Differenzierbarkeit von ab. Man erhält folgende Fehlerschätzungen

bzgl. der Normen und . Höhere Differenzierbarkeit von erhöht also die Konvergenzrate der Splines. Für erhält man analoge Formeln.

Bikubischer C2-Spline Der bikubische C2-Spline ist die Verallgemeinerung des einfachen, kubischen C2-Splines auf zwei Dimensionen, man spricht hierbei auch von multivariater Interpolation. Dafür müssen die zu interpolierenden Punkte zij in einem rechteckigen Gitter angeordnet sein.Lebesgue und Birkhoff: Handbook of Splines, Abschnitt 2.2, Seite 82 Jede zwischen vier Punkten aufgespannte Fläche Aij wird durch ein zweidimensionales Polynom von 16 Koeffizienten charakterisiert:

Für einen zweidimensionalen C2-Spline müssen die Koeffizienten so gewählt werden, dass die aus allen Flächen zusammengesetzte Funktion zweimal stetig in x- und y-Richtung differenzierbar ist. Das heißt, neben S selbst sind die folgenden Ableitungen stetig auf ganz :

Konstruktion

400px|mini|rechts|Veranschaulichung zur Konstruktion eines bikubischen Splines

Es ist ersichtlich, dass jeder Schnitt durch eine Teilfläche parallel zur - oder -Achse eine eindimensionale Kurve liefert, welche durch ein kubisches Polynom von vier Koeffizienten beschrieben werden kann. Daraus folgt, dass die vier Ränder jeder Teilfläche solche Polynome sind. Um die geforderte zweifach stetige Differenzierbarkeit zu erhalten, können zunächst alle Punkte entlang der Gitterlinien eindimensional interpoliert werden. Der bikubische Spline erbt dabei die verwendeten Randbedingungen der eindimensionalen Splines.

Nun stehen zu jedem zweidimensionalen Polynom mit 16 Koeffizienten vier eindimensionale Randpolynome , , , mit je 4 Koeffizienten zur Verfügung. Hierbei kennzeichnet der erste Index der s, zu welcher Achse sie parallel verlaufen.