mini|Dichtefunktionen der Laplace-Verteilung für unterschiedliche Parameter
Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung oder zweiseitige Exponentialverteilung Georgii: Stochastik. 2009, S. 225. bezeichnet.
Definition Eine stetige Zufallsgröße unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter und dem Skalenparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Ihre Verteilungsfunktion lautet
Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als .
Eigenschaften Symmetrie Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt .
Erwartungswert, Median, Modalwert Der Parameter ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.
Varianz Die Varianz wird durch den Parameter bestimmt.
Schiefe Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist .
Kurtosis Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).
Kumulanten Alle Kumulante mit ungeradem Grad sind gleich Null. Für gerade gilt
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern und lautet , für
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument durch ersetzt, man erhält: .
Entropie Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt .
Zufallszahlen
Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.
Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei .
Zu einer Folge von Standardzufallszahlen lässt sich daher eine Folge
doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Normalverteilung Sind unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist standardlaplaceverteilt ().
Beziehung zur Exponentialverteilung Eine Zufallsvariable , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen und mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930
Beziehung zur Rademacher-Verteilung Ist Rademacher-Verteilt, und ist Exponentialverteilt zum Parameter , so ist Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern .
Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung
Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel).
Quellen
Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber