Als Quantenlogik () werden Versuche bezeichnet, ein logisches System zu formulieren, das den Prinzipien der Quantenmechanik gerecht wird.
Im Kontext der mathematischen Strukturen der Schrödingergleichung und der Heisenbergschen Unschärferelation wurde eine Logik gesucht, die Deutungen der Quantenmechanik wie dem Komplementaritätsprinzip oder dem Korrespondenzprinzip nachempfunden ist. Dazu musste die herkömmliche Logik modifiziert werden.
Es gibt im Wesentlichen vier verschiedene Ansätze zur Quantenlogik: John von Neumann und Garrett Birkhoff entdeckten als erste in den mathematischen Strukturen der Quantenphysik (Hilbertraum, Hamiltonoperator) eine von der bis dahin üblichen Booleschen Algebra abweichende so genannte orthomodulare Logik. Hans Reichenbach und andere entwickelten aus einer Wahrscheinlichkeitslogik eine dreiwertige Quantenlogik mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbestimmt. Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow und Carl Friedrich von Weizsäcker entwickelten die dialogische Logik zu einer zeitlichen Logik der Quantenprozesse um. Gudrun Kalmbach stellte die Orthomodulare Logik für Hilberträume H auf und Maria Pia Solèr zeigte, dass dieses Gesetz für H gilt.
Hilary Putnam nahm 1968 die Quantenlogik zum Anlass, die a-priori-Geltung logischer Gesetze insgesamt in Frage zu stellen, was eine Debatte um den Status logischer und algebraischer Gesetzmäßigkeiten auslöste.
Überblick Ausgangsproblem Zusammen mit der Relativitätstheorie wirkte die etwa 1900 entstandene Quantenphysik wie eine Revolution der Physik. Das Doppelspaltexperiment warf etliche Fragen auf, insbesondere, ob Elektronen oder Lichtquanten Teilchen oder Wellen sind. Im Jahre 1926 erschienen sechs Arbeiten von Erwin Schrödinger, die schließlich zu einer komplexen Differentialgleichung führten, die man Schrödingergleichung nennt. 1927 wurde die Heisenbergsche Unschärferelation formuliert.Friedrich Hund: Geschichte der Quantentheorie. 3. Auflage 1984. Sie besagt, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Die Welt der Elementarteilchen schien ganz anders zu sein, als man es von der bisherigen Physik kannte.
Wenn man aus der Quantenmechanik eine Logik entwickeln will, wird das Distributivgesetz der Verknüpfung von und () und oder () verletzt.Klaus Mainzer: Quantentheorie. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, S. 538. Das geht aus der Unschärferelation hervor: Es sei p die Aussage: „Das Elektron ist schnell“ (Die Messung des Impulses ergibt eine Zahl in einem bestimmten Intervall.) q sei die Aussage: „Das Elektron ist in einem linken Intervall“ und r sei die Aussage: „Das Elektron ist in einem rechten Intervall“. q und r seien Aussagen über zwei benachbarte Ortsintervalle, die gemeinsam auch bei Unschärfe den Aufenthaltsort des Elektrons gewährleisten. Dann gilt zwar , aber gemäß der Unschärferelation nicht mehr unbedingt .Peter Forrest: Quantum logic. In: Edward Craig (Hrsg.): Routledge Encyclopedia of Philosophy. Vol. 7, 1998, S. 882ff. Das Distributivgesetz besagt dagegen, dass beide Ausdrücke identisch sind. Dies führt also zum Ablehnen der klassischen distributiven Logik, denn Impuls und Ort des Elektrons lassen sich nicht beide gleichzeitig genau bestimmen.
Fortgang John von Neumann schlug zunächst vor, Aussagen über beobachtbare physikalische Größen als Projektionen in einem Hilbert-Raum zu interpretieren. Einen geeigneten Kalkül entwickelten er und Birkhoff in ihrer Veröffentlichung aus dem Jahr 1936. Eine Axiomatisierung dieses Systems wurde von George Mackey unternommen. Die quantenlogischen Forschungen wurden 1963–1968 vornehmlich in der Schweiz durch Josef-Maria Jauch und Constantin Piron fortgesetzt. Saul Kripkes Übertragung in einen modallogischen Kalkül bildete die Grundlage für die Arbeiten von Bas van Fraassen und später Maria L. Dalla Chiara.
Parallel hatte Reichenbach begonnen, dreiwertige Logiken zur Beschreibung der Quantenmechanik einzusetzen. V. Weizsäckers Vorschlag zur Entwicklung eines dialogischen Kalküls wurde seit 1970 vor allem in Köln (Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow) umgesetzt. Weitere Zentren der Forschung waren seit den 1970ern Genua (Enrico Beltrametti) und Amherst (Charles H. Randall, David J. Foulis). 1976 fand ein erstes internationales Treffen von Quantenlogikern in Bad Homburg statt; es folgten Kolloquien in Erice/Sizilien 1979 und in Köln 1984, bei denen die große Bandbreite der philosophischen, logischen, linguistischen, algebraischen, geometrischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Forschungen zum Thema Quantenlogik sichtbar wurden, die heute in verschiedenen Sektionen der IQSA vertreten sind.
Mittelstaedt führte Erweiterungen der Quantenlogik zu einer Relativistischen Quantenlogik durchPeter Mittelstaedt: Relativistic Quantum Logic. In: Int. Journal of Theor. Physics 22, 1983, S. 293–314. und erarbeitete eine Quantenontologie. Von Weizsäcker suchte nach einer Quantentheorie der Ur-Alternativen, in der iteriert die Quantenlogik auf Ur-Alternativen angewandt wird.Carl Friedrich von Weizsäcker: Aufbau der Physik. Carl Hanser Verlag, 1985, Achtes Kapitel Rekonstruktion der abstrakten Quantentheorie.
Debatte um die Empirizität der Logik Die Forschungen zur Quantenlogik brachten Fragen zum Status der Logik überhaupt auf. Ihre Abweichungen von der klassischen Logik stellen infrage, ob diese den physikalischen Zusammenhängen entspricht.Peter Schroeder-Heister: Logik, mehrwertige. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 5, Metzler 2013, S. 62. Damit ist die Geltung der klassischen Logik infrage gestellt. Es lässt sich sogar bezweifeln, ob überhaupt ein einzelnes logisches System den Anspruch erheben kann, ein korrektes und adäquates Gerüst für eine wahrheitserhaltende Beschreibung naturwissenschaftlicher Prozesse und Zustände zu liefern. Prominent ist das Postulat Hilary Putnams, dass nur eine Quantenlogik korrekt sein kann, deren Gültigkeit sich uns jedoch nicht analytisch erschließt. Damit wird die Frage, welche Logik korrekt ist, letztlich zu einer empirischen Frage. Eine Erwiderung erfolgt vor allem durch Michael Dummett, der das Problem an die moderne Realismusdebatte anschloss. Putnams Forderung nach der Infragestellung der Logik setzt ihm zufolge eine realistische Position voraus, die jedoch ihrerseits sowohl die Distributivität als auch das Bivalenzprinzip der klassischen Logik voraussetzt. Die Frage nach einer Geltung der Logik für die Welt setzt voraus, dass die Aussagen, in der die Welt grundlegend beschrieben werden kann, wahr oder falsch sind.
Herangehensweisen im Einzelnen Aussagenlogischer Kalkül nach Birkhoff und von Neumann In einem ArbeitspapierJohn von Neumann, Garrett Birkhoff: The logic of quantum mechanics. In: Annals of Mathematics 37, 1936, S. 823–843. schlugen John von Neumann und Garrett Birkhoff 1936 vor, die Operatoren der Schrödingergleichung als Aussagen über das Quantensystem zu interpretieren: Den Projektionsoperatoren entsprechen die elementaren Aussagen der Logik. Den Eigenwerten 1 und 0 entsprechen die Wahrheitswerte dieser Logik.Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. Studien, Hanser, München 1971, 2. Auflage 1981, S. 242. Damit war die Quantenlogik geboren. Sie wich allerdings in einigen Punkten von der herkömmlichen Logik ab. Das algebraisch formulierte Logiksystem der Booleschen Algebra musste überarbeitet werden.
Den algebraischen Beziehungen entsprechend gibt es Beziehungen zwischen den Aussagen, die einen Kalkül bilden, in dem – entgegen der klassischen Aussagenlogik – das Distributivgesetz durch die so genannte Orthomodularität ersetzt wird und das Tertium non datur nur noch eingeschränkt gilt.Peter Mittelstaedt: Quantum Logic. S. 6–26. Zum Tertium non datur in der Quantenlogik ausführlich Peter Mittelstaedt und Ernst-Walther Stachow: The principle of excluded middle. In: Journal of Philosophical Logic, 7, 1978, S. 181–208.
Die Quantenlogik lässt sich in der mathematischen Sprache analog zum modularen Verband formalisieren. Hier werden zunächst neun GrundregelnAndré Fuhrmann: Quantenlogik. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, ISBN 978-3-476-02105-2, S. 532. wiedergegeben, man nennt das Regelpaket die Orthologik OL.Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics. Florenz 2008, S. 36; . Der Querstrich ist ein Folgerungsstrich, also die Regel besagt jeweils, dass man von den oben stehenden Aussagen zu den unten stehenden übergehen darf: Nr. Regel Bezeichnung 1 Aus A folgt A: reflexiver Schluss 2 -Beseitigung 1 3 -Beseitigung 2 4 Duplex negatio affirmat 5 Doppelte-Negations-Einführung 6 Ex contradictione sequitur quodlibet 7 transitiver Kettenschluss 8 Einführung mit Prämissen A 9 Kontraposition 10 Orthomodularität
Die 10. axiomatische Regel, die Orthomodularität, ist hier nach André Fuhrmann wie die anderen neun Regeln von OL in junktorenlogischer Schreibweise notiert. Sie setzt sich zusammen aus dem Modularitätsgesetz ( impliziert ) einerseits und Spiegelungen andererseits. Dies sind so genannte Orthokomplemente, die die Funktion der Negation übernehmen.
Logiker untersuchen Logiken unter anderem daraufhin, ob sie entscheidbar sind; so wurde auch dieses Logiksystem ausgiebig untersucht. Die Regel der Orthomodularität entspricht keiner in der ersten Stufe der Logik formulierbaren Rahmen-Bedingung, weshalb ihre Entscheidbarkeit bislang noch nicht bewiesen ist.
SchreibweiseSprechweiseEs ist möglich, dass pEs ist notwendig, dass pp ist kontingent
1963 konnte Saul Kripke ein Modell (Kripke-Rahmen K: ) für die Vielzahl der bis dahin vorgeschlagenen modallogischen Systeme entwickeln.Saul A. Kripke: Semantical Analysis of Logic I. Normal propositional Calculi. In: Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 9, 1963, S. 67–96. Die oben genannte Orthologik OL lässt sich in die intuitionistische Modallogik abbilden und durch eine Klasse von Kripke-Rahmen vollständig charakterisieren. Auf dieser axiomatischen Grundlage verwendeten seit den 1970er Jahren Bas van Fraassen (Toronto) und Maria L. Dalla Chiara (Florenz) Modalitäten im Rahmen der Quantenlogik.Bas van Fraassen: Meaning Relations and Modalities. In: Nous. 3, 1969, S. 155–167. M. L. Dalla Chiara: Quantum Logic and Physical Modalities. In: Journal of Philosophical Logic. 6, 1977, S. 391–404. Franz Josef Burghardt entwickelte die Modallogik der Quanten weiter.Franz Josef Burghardt: Modalities and Quantum Mechanics. In: Int. Journal of Theor. Physics 23, 1984, S. 1171–1196, mit weiterer Literatur.
Dreiwertige Logik
mini|Die Statue Quantum Man (2006) von Julian Voss-Andreae zeigt die in der Quantenlogik versuchte verschiedene Ansicht von ein und demselben Realen. Da in der Quantenmechanik die klassisch vorausgesetzte Kommensurabilitätsbedingung nicht erfüllt zu sein braucht, haben einige Wissenschaftler wie z. B. Paulette Destouches-Février, Hans Reichenbach und Bas van FraassenBas van Fraassen: The Labyrinth of Quantum Logics. In: Cohen, Wartofsky: The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics (= The University of Western Ontario Series in Philosophy of Science. Vol. 5a). S. 577–607. versucht, eine dreiwertige Logik als Quantenlogik einzuführen. Damit wird das Prinzip der Zweiwertigkeit allerdings verlassen.
Van Fraassen entwickelte eine Ausschlussnegation. Wenn eine physikalische Größe m nicht einen bestimmten Wert – beispielsweise 7 – annimmt, so kann dies im Sinne der Ausschlussnegation nicht nur bedeuten, dass m nicht 7 ist, sondern auch, dass sich das System in keinem Zustand befindet, zu dem ein Wert von m gehört.Bas van Fraassen: The Labyrinth of Quantum Logics. S. 577–607.