rahmenlos|rechts|hochkant=1.3 Mit dem Begriff Winkel am Kreis (kurz Kreiswinkel) bezeichnet man drei Winkel, die zwischen Radien und Sehnen in einem Kreis und Tangenten an diesen gebildet werden, nämlich Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) und Sehnentangentenwinkel.

Definitionen mini|zentriert|hochkant=3|Mittelpunkts- (), Umfangs- () und Sehnentangentenwinkel ()

In den folgenden Definitionen wird ein Kreisbogen (im Bild oben blau gezeichnet) mit den Endpunkten und vorausgesetzt. Auf dem Kreisbogen (schwarz), der den gegebenen Kreisbogen zum vollständigen Kreis ergänzt, befindet sich an beliebiger Stelle ein Punkt . Der Kreismittelpunkt wird mit bezeichnet. Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel (): Der Winkel ist der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) des gegebenen Kreisbogens. Umfangswinkel, Peripheriewinkel oder Sehnenwinkel (): Der Winkel ist der Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) des gegebenen Kreisbogens. Sehnentangentenwinkel (): Ein Sehnentangentenwinkel des gegebenen Kreisbogens wird begrenzt von der Sehne und der Kreistangente im Punkt bzw. .

Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Mittelpunktswinkeln, Umfangswinkeln und Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf den gegebenen Kreisbogen, sondern auf die Kreissehne . Es muss aber klar sein, welcher der beiden Bögen, in die die Sehne den Kreis unterteilt, gemeint ist.Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 2. «Wenn klar ist, welcher Bogen mit den Endpunkten , gemeint ist, sprechen wir bisweilen auch vom Umfangswinkel über der Sehne .»

Kreiswinkelsatz (Mittelpunktswinkelsatz, Zentriwinkelsatz)

Aussage: Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel.

Beweis 1 mini|hochkant=1.2|Kreiswinkelsatz 1. Fall: ist der Mittelpunktswinkel, der Umfangswinkel bei P.

Es wird die Verbindungsstrecke eingezeichnet. Der Winkel zwischen und ist mit bezeichnet, der Winkel zwischen und mit . Die Dreiecke und sind gleichschenklig (Basiswinkel bzw. , siehe Zeichnung). Für die eingezeichneten Winkel (zwischen und ) und (zwischen und ) folgt mithilfe der Winkelsumme:

Zu unterscheiden sind drei Fälle: mini|hochkant=1.2|Kreiswinkelsatz 2. Fall: auf , mini|hochkant=1.2|Kreiswinkelsatz 3. Fall: näher bei

1. Fall zwischen und In diesem Fall ist das Viereck nicht überschlagen. Es kann jedoch konvex (für ), konkav (für ) oder zu einem Dreieck ausgeartet sein (für ). Die drei Winkel bei , nämlich , und , bilden einen 360°-Winkel (Vollwinkel).

Wegen folgt daraus die Behauptung .

2. Fall auf oder In diesem Fall artet das Viereck zu einem Dreieck aus. Die Argumentation ist wie im 1. Fall, allerdings gilt jetzt (falls auf ) bzw. (falls auf ).

3. Fall außerhalb von und

In diesem Fall ist das Viereck überschlagen (siehe nebenstehende Bild: Der Punkt befindet sich nahe seinen Endlagen bei oder bei ). Es kann ähnlich wie im 1. Fall argumentiert werden, allerdings gilt statt und jetzt entweder

und (falls näher bei )

oder und (falls näher bei ).

Zusammenfassung In allen drei Fällen lautet das Ergebnis .

Für folgt aus dem Kreiswinkelsatz . Daher kann der Satz des Thales als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes aufgefasst werden. mini|links|hochkant=1.2|Kreiswinkelsatz, Verdeutlichung am Beispiel des Mittelpunktswinkels und des Umfangswinkels . Die Animation berücksichtigt alle drei Fälle.

Beweis 2

Fall 1: Einer der Schenkel zum Umfangswinkel verläuft durch den Mittelpunkt Die beiden Winkel und sind beide gleich . Der Winkel beträgt entsprechend und demnach dessen Nebenwinkel .

Fall 2: Der Mittelpunktswinkel beträgt 180° Hier kann man von aus eine Hilfslinie durch den Mittelpunkt ziehen und sieht sich dann zweimal dem Fall 1 gegenüber. Es gilt:

weil nach dem Satz des Thales

Fall 3: AMBP bildet ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck Die Argumentation ist dieselbe wie in Fall 2.Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15. «Einen einfachen Beweis [ohne Rechnung] bietet die Abb. 2.1»

Fall 4: AMBP bildet ein überschlagenes Viereck Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Winkel und beide gleich groß, hier: . Nun ist auch das Dreieck gleichschenklig, somit muss gelten. Da die Scheitelwinkel bei gleich groß sind, müssen sich die beiden anderen Winkel der Dreiecke und zur selben Summe addieren: . Setzen wir die bekannten Werte ein, so erhalten wir: , und es folgt auch in diesem Fall: .

Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz, Sehnenwinkelsatz) Aussage: Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß (siehe Animation).

Beweis: Der Umfangswinkelsatz folgt unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz. Nach diesem Satz ist jeder Umfangswinkel halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel. Also müssen alle Umfangswinkel gleich groß sein.

Auch ein direkter Beweis des Umfangswinkelsatzes ist möglich, und zwar durch einen weiteren Punkt P' auf dem gegebenen Kreisbogen, sodass ein Sehnenviereck AP'BP entsteht. Dieser Beweis verwendet die Tatsache, dass sich in einem Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel zu ergänzen. (Zur Vermeidung eines Zirkelschlusses ist es allerdings nötig, diese Eigenschaft ohne Rückgriff auf Umfangswinkel zu begründen, nämlich mit Basiswinkeln in gleichschenkligen Dreiecken.) Auf diese Weise sind durch den Winkel bei P' alle Umfangswinkel festgelegt.

Der Kreisbogen, der den gegebenen Kreisbogen ergänzt, also der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, wird – vor allem bei Konstruktionsaufgaben – als Fasskreisbogen bezeichnet. mini|links|hochkant=1.2|Umfangswinkelsatz, Verdeutlichung der Eigenschaft des Umfangswinkels am Scheitelpunkt , Animation

Sehnentangentenwinkelsatz Aussage: Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Beweis: Zu zeigen ist .

Da gleichschenklig ist, gilt . Zusammen mit folgt . Aus dem Kreiswinkelsatz ergibt sich der Zusammenhang mit dem Mittelpunktswinkel. mini|links|hochkant=1.2|Sehnentangentenwinkelsatz: Der Sehnentangentenwinkel bei A ist mit bezeichnet, der Umfangswinkel bei C mit und der zugehörige Mittelpunktswinkel mit .

Anwendung bei Begründungs- und Konstruktionsaufgaben Umfangswinkelsatz Insbesondere der Umfangswinkelsatz lässt sich nicht selten für geometrische Konstruktionen verwenden. In vielen Fällen sucht man die Menge (den geometrischen Ort) aller Punkte , von denen aus eine gegebene Strecke (hier ) unter einem bestimmten Winkel erscheint. Die gesuchte Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisbögen, den sogenannten Fasskreisbögen (Bild 1).

Bekanntlich ist bei einem Dreieck der anliegende Außenwinkel stets so groß, wie sie Summe seiner nicht anliegenden Innenwinkel. Auf Grund dessen gilt: Liegt der Punkt des Dreiecks innerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel gleich (Bild 2 mit Beispiel ). Liegt dagegen der Punkt des Dreiecks außerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel gleich (Bild 3 mit Beispiel ).

Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes (Bild 4):

Gegeben seien drei Geraden , und , die sich im Punkt schneiden. Von einem Punkt werden jeweils die Lote auf , und gefällt. Dann stimmen die Innenwinkelweiten des entstandenen Dreiecks mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden überein. Beweis: Betrachtet wird der Thaleskreis über der Strecke mit verschiedenen Peripheriewinkeln. Die Winkel und sind Umfangswinkel über dem zur Sehne gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite . Die Winkel und sind Umfangswinkel über dem zur Sehne gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite . Die Winkel und haben wegen dieselbe Weite . Damit ist die Aussage bewiesen.

Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt unter einem Winkel von jeweils schneiden, ergibt sich mit als unmittelbare Folgerung (Bild 5):

Gegeben seien drei Geraden , und , die sich im Punkt unter einem Winkel von jeweils schneiden. Von einem Punkt werden jeweils die Lote auf , und gefällt. Dann ist das Dreieck gleichseitig.Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie, 2. Auflage, Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/219

Dreieckskonstruktion mittels Fasskreisbogen mini|hochkant=1.5|Dreieckskonstruktion mittels Fasskreisbogen

Von einem Dreieck sind die Seite , die Höhe und der Winkel gegeben. Für das Bestimmen des fehlenden Eckpunktes wird der Fasskreisbogen genutzt. Dieser basiert auf der Eigenschaft, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich groß sind (Umfangswinkelsatz). Da der Umfangswinkel genau halb so groß ist wie der zugehörige Mittelpunktswinkel, lässt sich über den Hilfswinkel der exakte Mittelpunkt des Fasskreisbogens bestimmen.

Konstruktion Die Konstruktion beginnt mit dem Zeichnen der Seite als Strecke und Errichten der Mittelsenkrechten (Schnittpunkt ). Im Eckpunkt wird nun der ermittelte Winkel an die Strecke angetragen. Dabei schneidet der Winkelschenkel die Mittelsenkrechte und liefert somit den Mittelpunkt des Fasskreisbogens, der nun mit dem Radius eingezeichnet wird. Abschließend zieht man im Abstand der Höhe eine Parallele zur Seite . Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Fasskreisbogen ergeben den gesuchten Dreieckspunkt bzw. , wodurch sich zwei mögliche, zueinander spiegelbildliche Dreiecke fertigstellen lassen.

Kreiswinkelsatz Der Kreiswinkelsatz eignet sich, um etwa den Satz von Cardano zu begründen, aber auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z. B. folgender Aufgaben: Zeichne ein Vierzigeck, bei dem die Seitenlänge gegeben ist. Hierfür wird zuerst der Umkreis eines Zehnecks mit nur einer Seitenlänge konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet. Die Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel; bereits im 4. Jhdt. nutzte Pappos für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 1). Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ein Polygon zu konstruieren, das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 2). Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge ein Polygon zu konstruieren, das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 3).

mini|307px|Bild 1: KreiswinkelsatzAnsatz für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels. Durch den Punkt verläuft später der rechte Ast der Hyperbel mini|300px|Bild 2: KreiswinkelsatzKonstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge , das die doppelte Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat.Beispiel:Die Seitenlänge des gesuchten Zwanzigecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zehnecks. mini|300px|Bild 3: KreiswinkelsatzKonstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge , das die halbe Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat. Darin ist die Mittelsenkrechte von Beispiel:Die Seitenlänge des gesuchten Zehnecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zwanzigecks.

Literatur Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 161–162 Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417 Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15–18

Weblinks

Alternativbeweis des Umfangswinkelsatzes, Landesbildungsserver Baden-Württemberg Der hier vorgeführte Beweis besticht durch seine Einfachheit und führt auf natürliche Weise auf die Zusammenhänge zwischen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel sowie auf die Besonderheit von Sehnenvierecken.

Einzelnachweise

Kategorie:Kreisgeometrie