mini|Konfidenzintervalle zum Niveau 95 % für 100 Stichproben vom Umfang 30 aus einer normalverteilten Grundgesamtheit. Davon überdecken 94 Intervalle den exakten Erwartungswert μ = 5; die übrigen 6 tun das nicht. Ein Konfidenzintervall, kurz KI, auch Vertrauensintervall, Konfidenzbereich, Vertrauensbereich oder Erwartungsbereich genannt, ist in der frequentistischen Statistik ein Intervall, das die Präzision der Lageschätzung eines Parameters (z. B. eines Mittelwerts) angeben soll. Das Konfidenzintervall gibt den Wertebereich an, der mit einer gewissen – typischerweise hohen – Wahrscheinlichkeit den Parameter der Verteilung einer Zufallsvariablen überdeckt. Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das Konfidenzniveau, auch Konfidenzkoeffizient genannt, festgelegt und entspricht der nominalen Überdeckungswahrscheinlichkeit. Ein häufig verwendetes Konfidenzniveau ist 95 %.
Die häufig anzutreffende Formulierung, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit im für die vorliegende Stichprobe berechneten Konfidenzintervall liegt, ist streng genommen nicht korrekt,Significance Test Controversy (englisch)What is the Real Result in the Target Population? In: Statistics in Brief: Confidence Intervals. (englisch) da der wahre Wert keine Zufallsgröße, d. h. nicht stochastisch ist. Stochastisch sind vielmehr die obere und untere Grenze des Konfidenzintervalls. Folglich lautet die korrekte Formulierung: Bei der Berechnung eines Konfidenzintervalls mit einem bestimmten Schätzverfahren überdeckt das Intervall den wahren Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit. Es handelt sich nicht um eine Eigenschaft des Intervalls, sondern des Verfahrens. Wird es für viele Stichproben aus derselben Grundgesamtheit wiederholt, so sollte es in ungefähr 95 % aller Fälle Konfidenzintervalle liefern, die den wahren Wert des betrachteten Parameters überdecken.
Das Schätzen von Parametern mit Hilfe von Konfidenzintervallen wird Intervallschätzung genannt, die entsprechende Schätzfunktion ein Bereichsschätzer oder Intervallschätzer. Ein Vorteil gegenüber Punktschätzern ist, dass man an einem Konfidenzintervall direkt die Signifikanz ablesen kann: Ein für ein vorgegebenes Konfidenzniveau breites Intervall weist auf einen geringen Stichprobenumfang oder auf eine starke Variabilität in der Grundgesamtheit hin.
Konfidenzintervalle sind vom ähnlichen Bayesschen Konzept des Glaubwürdigkeitsintervalls abzugrenzen sowie vom Prognoseintervall und dem Toleranzintervall für einzelne mögliche Beobachtungswerte.
Definition Für ein fest vorgegebenes ist ein -Konfidenzintervall für zum Konfidenzniveau (auch -Konfidenzintervall) durch die beiden – auf einer Zufallsstichprobe basierenden – Statistiken und definiert, welcheLeonhard Held und Daniel Sabanés Bové: Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes. Springer, Heidelberg u. a. 2014, ISBN 978-3-642-37886-7, S. 56.
erfüllen. Die Statistiken und sind die Grenzen des Konfidenzintervalls, für die stets angenommen wird.
Die Realisierungen und von bzw. bilden das Schätzintervall .
Die Grenzen des Konfidenzintervalls sind Funktionen der Zufallsstichprobe und daher ebenfalls zufällig. Im Gegensatz dazu ist der unbekannte Parameter fest. Wenn man das Zufallsexperiment auf identische Art und Weise wiederholt, dann wird ein -Konfidenzintervall den unbekannten Parameter in aller Fälle überdecken. Da der unbekannte Parameter keine Zufallsvariable ist, kann man allerdings nicht sagen, dass in einem realisierten -Konfidenzintervall mit Wahrscheinlichkeit liegt. Solch eine Interpretation ist dem bayesschen Pendant von Konfidenzintervall, den sogenannten Glaubwürdigkeitsintervallen vorbehalten.Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes. Springer, Heidelberg u. a. 2014, ISBN 978-3-642-37886-7, S. 57. Oft setzt man . Die Wahrscheinlichkeit lässt sich als relative Häufigkeit interpretieren: Verwendet man für eine große Anzahl von Konfidenzschätzungen Intervalle, die jeweils das Niveau besitzen, so nähert sich die relative Häufigkeit, mit denen die konkreten Intervalle den Parameter überdecken, dem Wert .Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 214.
Formale Definition Rahmenbedingungen Gegeben sei ein statistisches Modell sowie eine Funktion ,
die im parametrischen Fall auch Parameterfunktion genannt wird. Die Menge enthält die Werte, die Ergebnis einer Schätzung sein können. Meist ist .
Konfidenzbereich Eine Abbildung
heißt ein Konfidenzbereich, Vertrauensbereich, Bereichsschätzfunktion oder ein Bereichsschätzer, wenn sie die folgende Bedingung erfüllt: Für alle ist die Menge in enthalten. (M) Ein Konfidenzbereich ist also eine Abbildung, die jeder Beobachtung eine vorerst beliebige Teilmenge von zuordnet ( ist hier die Potenzmenge der Menge , also die Menge aller Teilmengen von )
Die Bedingung (M) stellt sicher, dass allen Mengen eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Dies wird zur Definition des Konfidenzniveaus benötigt.
Konfidenzintervall Ist und ist für jedes immer ein Intervall, so heißt auch ein Konfidenzintervall.
Werden Konfidenzintervalle in der Form ,
definiert, so nennt man auch die obere Konfidenzschranke und die untere Konfidenzschranke.
Konfidenzniveau und Irrtumsniveau Gegeben sei ein Konfidenzbereich . Dann heißt ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau oder Sicherheitsniveau , wenn
.
Der Wert wird dann auch das Irrtumsniveau genannt. Eine allgemeinere Formulierung ist mit Formhypothesen möglich (siehe Formhypothesen#Konfidenzbereiche zu Formhypothesen).
Für die oben genannten Spezialfälle bei Konfidenzbereichen mit oberer und unterer Konfidenzschranke ergibt sich somit
bzw.
und
Konstruktion von Konfidenzintervallen
Konstruktion des Wald-Konfidenzintervalls Wald-Konfidenzintervalle können mittels der sogenannten Wald-Statistik berechnet werden. Beispielsweise gilt für das asymptotische Wald-Konfidenzintervall, dass es mittels der Fisher-Information, der negativen zweiten Ableitung der Log-Likelihood-Funktion, konstruiert werden kann. So umschließen die Intervallgrenzen des folgenden Konfidenzintervalls in 95 % der Fälle den wahren Parameter (asymptotisch für große Stichprobenumfänge)
,
wobei die Log-Likelihood-Funktion und die beobachtete Fisher-Information darstellt (die Fisher-Information an der Stelle des ML-Schätzers ).
Der Ausdruck wird auch als Standardfehler des Maximum-Likelihood-Schätzers bezeichnet. Häufig wird statt der beobachteten Fisher-Information auch die erwartete Fisher-Information verwendet.
Beispiel Wird die Likelihood zum Beispiel mithilfe einer angenommenen Normalverteilung und einer Stichprobe (deren Variablen unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen sind) mit Größe berechnet, so ist und somit also der bekannte Standardfehler des Mittelwertes.
Konstruktion anderer Konfidenzintervalle Konfidenzintervalle lassen sich auch mithilfe von alternativen Parametrisierungen der Log-Likelihood-Funktion finden: zum Beispiel kann die Logit-Transformation oder der Logarithmus verwendet werden. Dies ist vorteilhaft, wenn die Log-Likelihood-Funktion sehr schief ist. Auch mithilfe des Likelihood-Quotienten können Konfidenzintervalle konstruiert werden.
Eine nichtparametrische Art Konfidenzintervalle zu schätzen sind Bootstrap-Konfidenzintervalle, bei denen man keine Verteilung annehmen muss, sondern Bootstrapping benutzt.
Beschreibung des Verfahrens Man interessiert sich für den unbekannten Parameter einer Grundgesamtheit. Dieser wird durch eine Schätzfunktion aus einer Stichprobe vom Umfang geschätzt. Es wird davon ausgegangen, dass die Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist, in etwa die Grundgesamtheit widerspiegelt und dass deshalb die Schätzung in der Nähe des wahren Parameters liegen müsste. Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable mit einer Verteilung, die den Parameter enthält.
Man kann zunächst mit Hilfe der Verteilung ein Intervall angeben, das den unbekannten wahren Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit überdeckt. Ermitteln wir z. B. das 95-%-Konfidenzintervall für den wahren Erwartungswert einer Grundgesamtheit, dann bedeutet dies, dass wir ein Konfidenzintervall ermitteln, das bei durchschnittlich 95 von 100 gleich großen Zufallsstichproben den Erwartungswert enthält.
Beispiel Das Verfahren kann anhand eines normalverteilten Merkmals mit dem unbekannten Erwartungswert und der bekannten Varianz demonstriert werden: Es soll der Erwartungswert dieser Normalverteilung geschätzt werden. Verwendet wird die erwartungstreue Schätzfunktion: der Stichprobenmittelwert . mini|hochkant=1.7|Zentrales Schwankungsintervall von
Der Erwartungswert der Grundgesamtheit wird anhand unserer Stichprobe geschätzt
Schätzfunktion:
Punktschätzung:
wobei die Zufallsvariable für die i-te Beobachtung (vor der Ziehung der Stichprobe) steht. Der Stichprobenmittelwert besitzt als Stichprobenverteilung eine Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz (siehe Stichprobenmittel#Eigenschaften)
.
Die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls
,
das mit der Wahrscheinlichkeit überdeckt, bestimmen sich aus der Beziehung
.
Man standardisiert zur Standardnormalverteilung und erhält für die standardisierte Zufallsvariable
die Wahrscheinlichkeit
,
wobei das -Quantil der Standardnormalverteilung ist. Löst man nach dem unbekannten Parameter auf, so ergibt sich aus
das -Konfidenzintervall für mini|hochkant=1.37775|Mögliche Lage des unbekannten Parameter im Schätzintervall um das beobachtete .
Das Schätzintervall, die Realisierung eines Konfidenzintervalles anhand einer konkreten Stichprobe, ergibt sich dann als
Die Grenzen des Schätzintervalles hängen jedoch von ab und ändern sich damit von Stichprobe zu Stichprobe. Ist die Stichprobe aber extrem ausgefallen, überdeckt das Intervall den Parameter nicht. Dies ist in α × 100 % aller Stichproben der Fall, d. h., das durch bestimmte Intervall überdeckt den wahren Parameter also mit einer Wahrscheinlichkeit von .
Von besonderem Interesse ist die Breite des Konfidenzintervalls. Diese bestimmt sich durch die Standardabweichung der Schätzfunktion und das gewählte Konfidenzniveau. Durch Erhöhung des Stichprobenumfangs kann die Breite verringert werden. Erwünscht ist in der Regel ein möglichst schmales Konfidenzintervall, denn dies weist bei konstantem Konfidenzniveau auf eine genaue Schätzung hin.
Als absoluter Fehler wird die halbe Breite des Konfidenzintervalls bezeichnet. Im obigen Fall gilt also
Der absolute Fehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung (Breite des Konfidenzintervalls: ).
Der absolute Fehler ist von Bedeutung, wenn bei einem gegebenen Konfidenzintervall und einer gegebenen Konfidenzintervalllänge der benötigte Stichprobenumfang ermittelt werden soll. Die Frage lautet also: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (z. B. arithmetisches Mittel) mit vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?
Enthält die zugrundeliegende Stichprobe korrelierte Daten, so ist dies in der Schätzung der Standardabweichung zu berücksichtigen. Wird dies nicht berücksichtigt, so stößt man auf das Problem der Pseudoreplikation. mini|Pseudoreplikation wegen korrelierter Daten: ohne Berücksichtigung der Korrelation ist das 90 % Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwertes zu klein. Blocking kann für eine bessere Schätzung von verwendet werden.
Ausgewählte Schätzintervalle Übersicht für stetige Verteilungen Eine Übersicht über alle Fälle bei normalverteilten Merkmalen findet sich unter Normalverteilungsmodell.
Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit bekannter Varianz : ist das -Quantil der Standardnormalverteilung. Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit unbekannter Varianz: Die Varianz der Grundgesamtheit wird durch die korrigierte Stichprobenvarianz
geschätzt.
ist das -Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden.