thumb|right|Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine spezielle Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit bezeichnet wird. Ihre Integraldarstellung lautet:

wobei und einen positiven Realteil haben müssen. Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf und ist eng mit der Eulerschen Gammafunktion verwandt. Es gilt folgende Identität:

Transformationen Mithilfe von Koordinatentransformationen lässt sich die Integraldarstellung verändern und die Identität nachweisen. So gilt mit den Substitutionen und :

Zum Nachweis der Identität kann das Produkt umgeformt werden:

Mit und folgt aus dem Transformationssatz:

Somit gilt:

Darstellungen Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen. Bei den Integraldarstellungen muss der Realteil von und positiv sein:

für positiv reelles ,

, wobei ein Pochhammer-Symbol bezeichnet.

Die Betafunktion kann zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

Mithilfe der Gammafunktion ergibt sich für positive ganzzahlige und :

Eigenschaften Bei festem (bzw. ) ist eine meromorphe Funktion von (bzw. ), und es gilt die Symmetrierelation .

Die analytische Fortsetzung der Betafunktion hat Polstellen genau bei und für ganze Zahlen .

Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl für alle positiven rationalen, nicht ganzzahligen und transzendent ist.Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: )

Die Ableitung lässt sich mithilfe der Digamma-Funktion wie folgt darstellen:

Funktionswerte Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich für folgende Formel:

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar:

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

Weblinks

Einzelnachweise

Kategorie:Analytische Funktion Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber