Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer -Banachalgebra.
Formulierung des Satzes Seien eine -Banachalgebra mit Einselement und ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: , und ist multiplikativ, das heißt, für alle . , und besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen. für alle , das heißt, für jedes liegt im Spektrum von
Bemerkungen Die Schlüsse sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss . Für reelle Banachalgebren ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ist die Banachalgebra der stetigen Funktionen und ist definiert durch , so ist ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein mit , und liegt im Spektrum von , denn hat eine Nullstelle, nämlich , und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.
Quellen F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2. Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d’Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171–172. Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339–343.
Kategorie:Funktionalanalysis Gleason-Kahane-Zelazko, Satz von