miniatur|hochkant=0.75|Bei einer idealisierten Abbildung durch eine einzelne Linse ist die Brennweite f′ gleich dem Abstand des Brennpunkts F′ von einer innerhalb der Linse liegenden, theoretisch gedachten Bezugsebene. Bei gewölbten Spiegeln ist es der Abstand vom Spiegelscheitel. In Wahrheit kommt es jedoch bei einem Einfall der Strahlen in derart großen Abständen zur optischen Achse, wie es hier gezeichnet ist, zu keiner Vereinigung in einem gemeinsamen Brennpunkt. mini|Anhand einer plankonvexen Sammellinse lässt sich anschaulich zeigen, dass es keine feste Bezugsebene für die Festlegung der Brennweite mehr gibt, wenn man Strahlen einbezieht, die nicht allein in unmittelbarer Nähe der optischen Achse verlaufen. Da bei einer solchen Linsenform die Strahlenablenkung nur an der bildseitigen Linsenfläche erfolgt, liegen die Schnittpunkte zwischen einfallendem und gebrochenem Strahl allesamt auf dieser Linsenfläche. Damit lassen sich die Hauptpunkte H' auf einfache Weise als Fußpunkte dieser Schnittpunkte auf der optischen Achse konstruieren. Deutlich ist nun eine Abhängigkeit dieser Lage der Hauptpunkte von der Einfallshöhe der Strahlen festzustellen. Zwischen einem Hauptpunkt für den Achsenstrahl (Nullstrahl) und einem für den Randstrahl liegen die Hauptpunkte für beliebig viele Zonenstrahlen. Man erkennt: Selbst wenn es durch Deformieren der brechenden Fläche (→Asphäre) gelänge, die Strahlen alle in einem gemeinsamen Brennpunkt zu fokussieren, so hätten diese dennoch nicht dieselbe Brennweite, da von einer gemeinsamen Hauptebene keine Rede sein kann. mini|Auf graphischem Wege ermittelte Lage und Form der bildseitigen Haupt-„Ebene“ H' im Zeiss Tessar 2,8/8 cm (Rechnung vom 27. Januar 1933). Es wird deutlich, weshalb einige Fachleute den Begriff Hauptfläche bevorzugen (zum Beispiel in Literaturstelle) Aus dieser Abbildung muss man folgende Schlussfolgerung ziehen: Ein lichtstarkes optisches System, das sphärisch korrigiert ist, bei dem also die in unterschiedlichen Abständen zur Achse einfallenden Strahlen dieselben Bildschnittweiten aufweisen, hat für diese in verschiedenen Höhen einfallenden Strahlen verschiedene Brennweiten, wenn man die Gauß'sche Definition zur Konstruktion der Hauptebenen zugrunde legt. Die Brennweite ist in der Optik diejenige Größe, die bestimmt, wie groß das Bild ist, das ein optisches System von einem Gegenstand entwirft (→Abbildungsmaßstab). Allein unter der Prämisse einer Beschränkung auf den „fadenförmigen Raum um die Achse herum“ kann die Brennweite als das angesehen werden, was man landläufig unter ihr versteht und was ihr Name suggeriert; nämlich einen Abstand zwischen dem optischen System und seinem Brennpunkt.
Brennweite im Rahmen der idealen Abbildung Die sogenannte ideale Abbildung geht davon aus, „dass sich ein optisches System beliebiger Komplexität hinsichtlich paraxialer Strahlen durch seine Kardinalpunkte, nämlich zwei Hauptpunkte und zwei Brennpunkte, ersetzen lässt“. Unter dieser Annahme ist die Brennweite, mit der ein aus Linsen aufgebautes optisches System ein Bild entwirft, der Abstand zwischen der bildseitigen Hauptebene dieses Systems und seinem bildseitigen Fokus (Brennpunkt). Zu diesen aus einer oder mehreren Linsen bestehenden optischen Systemen treten noch diejenigen aus gewölbten Spiegeln. Eine Sammellinse konzentriert ein parallel einfallendes Strahlenbündel im nach ihr liegenden Brennpunkt (Abbildung rechts, erstes Bild). mini|Erster Absatz in C. F. Gauß’ „Dioptrische Untersuchungen“ vom Dezember 1840, in dem er nach einem Problemaufriss zum Begriff der Brennweite die „Vergleichung der Größe des Bildes eines unendlich entfernten Gegenstandes mit der scheinbaren Größe des letztern“ als „in der That die einzig zweckmäßige“ bezeichnet.Bei Zerstreuungslinsen liegt der Fokus vor der Linse, und ein parallel einfallendes Strahlenbündel wird so zerstreut, als ob die Einzelstrahlen alle aus diesem Fokus stammten (zweites Bild). Bei einem Hohlspiegel läuft ein parallel einfallendes Strahlenbündel im vor dem Spiegel liegenden Brennpunkt zusammen (drittes Bild). Bei einem Konvexspiegel wird ein parallel einfallendes Strahlenbündel so zerstreut, als ob die Einzelstrahlen alle aus dem hinter dem Spiegel liegenden Fokus stammten (viertes Bild).
Diese Definition der Brennweite als Abstand zwischen bildseitiger Hauptebene und Brennpunkt ist nur gültig innerhalb des Konzeptes der paraxialen Optik.Eugene Hecht: Optik. Oldenbourg Verlag, Kapitel 5 Geometrische Optik. Abschnitt 2 Linsen. Dabei wird stark vereinfachend angenommen, dass
das optische System nur von Lichtstrahlen durchdrungen wird, die sich in unmittelbarer Nachbarschaft zur optischen Achse befinden, die Dicke der Linse(n) vernachlässigbar ist und die in die Optik einfallenden Strahlen keine nennenswerten Winkel zur optischen Achse bilden.
Diese streng auf die Achse bezogene und damit modellhafte Vereinfachung wird vorgenommen, um in Anbetracht der in der Realität vorhandenen, massiven Abbildungsfehler trotzdem Aussagen über die Brechungswirkung einer Linse bzw. Linsenfolge treffen zu können. Nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der dieses Konzept im 19. Jahrhundert eingeführt hat, wird sie in der Literatur Gauß’sche oder Gaußische Abbildung genannt.
Dieses Verständnis von der Brennweite als ein bestimmter Abstand zwischen der Linse und dem von ihr erzeugten Bild erscheint uns so plausibel, da dies nicht zuletzt unserem Erfahrungsschatz entspricht. Auch der Begriff der Brennweite selbst suggeriert, dass es sich um eine Distanz handeln müsse und zwar – wie es Ernst Wandersleb formuliert hat – „aus Gründen, die sich aus dem historischen Entwicklungsgange der geometrischen Optik ergaben, mit dem Wesen der Sache aber nicht sehr nahe zusammenhängen“. Hinter diesem „Wesen der Sache“ verbergen sich die realen Umstände, denen optische Systeme in der Praxis unterworfen sind und die eine Definition der Brennweite erzwingen, welche sich fundamental von der gerade gegebenen unterscheidet.
Brennweite in realen optischen Systemen Ein optisches System, das nur von Strahlen durchdrungen werden kann, die in unmittelbarer Nähe zur optischen Achse verlaufen, ist in der Praxis unbrauchbar. Damit überhaupt Energie übertragen werden und ein Bild entstehen kann, benötigt die Optik eine Öffnung; das heißt, die Strahlen passieren die Linse(n) entsprechend dem Öffnungsverhältnis in merklichen Abständen von der optischen Achse. Zweitens können die Linsen in realen optischen Systemen keinesfalls als vernachlässigbar dünn angesehen werden, sondern sie weisen in Wahrheit ganz erhebliche Dicken auf. So übertrifft die Summe der Dicken der in handelsüblichen Fotoobjektiven enthaltenen Glas- und Luftlinsen nicht selten den Wert der Brennweite. Und drittens benötigen reale optische Systeme einen gewissen Feldwinkel, das heißt, die Strahlenbüschel fallen nicht nur parallel zur optischen Achse ein, sondern auch schräg zu ihr aus den seitlichen Bereichen des Dingraumes. Während es sich beispielsweise bei Fernrohren nur um Feldwinkel im Bereich weniger Grad handeln mag, muss ein fotografisches Normalobjektiv bereits einen Bildwinkel von etwa 45…50 Grad auszeichnen. Aus diesen genannten Gründen ist die innerhalb des Konzeptes der paraxialen Optik vorgeschlagene Definition der Brennweite als Abstände von Bezugspunkten auf der optischen Achse bei praktisch verwirklichten dioptrischen Systemen kaum verwendbar. Die Ursache dafür liegt darin, dass die Lage des bildseitigen Hauptpunktes, von dem ab sich die Strecke bis zum Brennpunkt bemisst, von Aberrationen überprägt ist. So sorgt der Kugelgestaltsfehler (die sphärische Aberration) dafür, dass sich je nach Einfallshöhe der achsenparallelen Strahlen Hauptpunkte mit unterschiedlichen Positionen auf der optischen Achse ergeben (siehe nebenstehende Abbildung) und selbst in sphärisch korrigierten Optiken ist die sogenannte Hauptebene nicht im mathematischen Sinne eben, sondern vor allem bei mehrgliedrigen Systemen mit hoher Öffnung teils auf komplexe Weise gekrümmt. Diese Zusammenhänge verkomplizieren sich noch, wenn man weit geöffnete Strahlenbüschel schräg durch die Optik fallen lässt, weshalb dieser paraxiale Ansatz einer Brennweitendefinition für den rechnenden Optiker insgesamt unbrauchbar ist. Jener sieht in der Brennweite vielmehr das Größenverhältnis zwischen dem Gegenstand und dem Bild, das von diesem Gegenstand erzeugt wird. Schon Carl Friedrich Gauß hatte diese Definition im Jahre 1840 als „in der That die einzig zweckmäßige“ bezeichnet. In Bezugnahme auf eine grundlegende Abhandlung zu diesem Thema des Astronomen Johannes Hartmann aus dem Jahre 1904 definierte die Wirtschaftsgruppe Feinmechanik und Optik des Deutschen Reiches ab dem 1. Januar 1938 die Brennweite daher wie folgt:
„Die Brennweite ist das Verhältnis der linearen Größe des Bildes eines unendlich fernen Objekts zu dessen scheinbarer Größe, und zwar der Grenzwert, dem sich dieses Verhältnis mit abnehmender scheinbarer Größe des Objekts nähert.“
Diese auf Hartmann zurückgehende, die Umstände in realen optischen Systemen berücksichtigende Definition der Brennweite, fand dann später auch Eingang in das Normblatt DIN 4521:
„Die Brennweite f ist das Verhältnis der linearen Größe l' des auf der optischen Achse stehenden Bildes eines unendlich fernen Objekts zu dessen scheinbarer Größe w, und zwar der Grenzwert, dem sich dieses Verhältnis mit abnehmender scheinbarer Größe des Objektes nähert. Es ist also:
oder
Bei Objektiven, die mit Verzeichnung behaftet sind, empfiehlt sich im allgemeinen, auf Grund einer Reihe gemessener Wertepaare l' und w den Ausdruck graphisch oder numerisch als Funktion von darzustellen und aus dieser Darstellung den Grenzwert f zu entnehmen. Die Schärfeneinstellung wird bei voller Öffnung des Objektivs vorgenommen. Die Angabe der Brennweite bezieht sich auf eine mittlere Wellenlänge des sichtbaren Spektrums von λ = 5,5 ⋅ 10−5 cm, sofern nicht etwas anderes bemerkt ist.“ zentriert|2000x2000px|Definition der Brennweite aus der Größe des Bildes
Da also die Brennweite das Maß dafür darstellt, wie groß das Bild ist, das vom optischen System erzeugt wird, kann über den Weg der Bestimmung dieser Bildgröße der Wert der Brennweite ermittelt werden. Platziert man einen Gegenstand der Größe in einer Entfernung zum optischen System, die den Wert der Brennweite um ein vielfaches übertrifft (womit der Strahlengang dingseitig parallel wird), so entsteht dessen Bild in der Ebene des bildseitigen Brennpunktes. Ein von der Spitze dieses Gegenstandes ausgehender Strahl fällt unter dem Neigungswinkel [kleines Omega] in die Optik ein. Unter der Annahme, dass beide Seiten des Objektives an Luft grenzen und damit die ding- und die bildseitige Brennweite gleiche Werte haben, kommt ein Bild zustande, das auf der optischen Achse mit der Höhe steht. Diese Bildgröße errechnet sich nach der Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck aus:
das heißt für die Brennweite gilt:
Durch Einführung dieser scheinbaren Bildgröße, die durch den Einfallswinkel repräsentiert wird, befreit man sich vom Einfluss, der von der Einfallshöhe der Strahlen gegenüber der optischen Achse auf die Festlegung der bildseitigen Hauptebene ausgeht. Unter der Voraussetzung, dass in der Brennebene überhaupt ein ausreichend ausgedehntes und scharfes Bild entsteht, lässt sich auf diese Weise die Brennweite eines optischen Systems ermitteln aus der Größe des Bildes, das von einem Objekt von bekannter Winkelausdehnung entworfen wird.