Menge (Mathematik)

mini|Symbolische Darstellung einer Menge von Vielecken mini|Die Menge von ebenen Vielecken mit weniger als drei Ecken enthält keine Elemente: sie ist leer.

Der Begriff der Menge (, , ) ist ein grundlegender Begriff der Mathematik. Damit eng verwandt ist der Begriff der Klasse. Das mathematische Gebiet, welches sich mit der Untersuchung von Mengen und Klassen befasst, ist die Mengenlehre.

Eine Menge ist ein abstraktes Objekt, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Die Anzahl der Elemente einer Menge kann von Null über ein oder mehrere Elemente bis hin zu unendlich vielen reichen. Die erste Abbildung symbolisiert eine Menge mit neun Elementen. Die vorhandenen Elemente bestimmen vollständig, um was für eine Menge es sich handelt; hierbei ist jedoch die Menge selbst ein eigener Gegenstand und nicht dasselbe wie ihre Elemente. Dies sieht man deutlich an einigen besonderen Grenzfällen: Eine Menge kann null Elemente enthalten, diese heißt „leere Menge“. Im Gegensatz zu der Vielzahl sonstiger Mengen gibt es nur genau eine leere Menge. Es ist auch möglich, dass eine Menge genau ein einziges Element enthält; wenn z. B. ein Apfel auf dem Tisch liegt, kann man die Menge bilden, die nur diesen Apfel als Element hat. Der Apfel und die Menge, die nur diesen Apfel enthält, sind aber zwei verschiedene Gegenstände – zum Beispiel: einen Apfel kann man essen, eine Menge nicht.

Bei der Bildung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es muss für jedes Objekt zweifelsfrei feststehen, ob es zur betrachteten Menge gehört oder nicht (wird diese Bedingung aufgeweicht, gelangt man zu den nicht klassischen Fuzzy-Mengen).

Beim Begriff der Menge bleibt außer Betracht, ob es unter den Elementen zusätzlich irgendeine Ordnung geben könnte, Mengen sind zunächst ungeordnete Gebilde. Ist eine Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man stattdessen von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen, da in der Hauptsache eine Anzahl von Plätzen vergeben wird, die zu besetzen sind. In einer Menge ist dies nicht der Fall, hier geht es nur darum, ob ein bestimmter Gegenstand enthalten oder nicht enthalten ist. Daher gibt es keine Möglichkeit, dass eine Menge ein Element „mehrmals enthalten“ könnte (Wenn ein Konstrukt gewünscht ist, das wie eine Menge Elemente enthält und zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Exemplaren jedes Elements vorsieht, so heißt dies eine Multimenge).

In der Mathematik werden häufig Mengen betrachtet, deren Elemente Zahlen oder Punkte eines Raumes sind. Das Konzept ist aber auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten. Sogar Mengen können als Elemente einer anderen Menge dienen. Die Elemente einer Menge müssen auch nicht von gleichartiger Sorte sein: Möglich ist z. B. auch die Menge, die aus einem Apfel, der Zahl Fünf, dem Patienten Maier und der leeren Menge besteht. Diese Menge enthält 4 Elemente. Wie in diesem Beispiel kann eine Menge durch reine Aufzählung ihrer Elemente definiert sein; sie kann aber auch durch eine Beschreibung definiert sein, die die Bedingungen nennt, die von Objekten erfüllt werden müssen, um Element der Menge zu sein. In einem solchen Fall gehören die Elemente einer einheitlichen Sorte an.

Begriff und Notation von Mengen mini|375px|Menge als gedankliche Zusammenfassung von Objekten

Der Mengenbegriff und die Bezeichnung „Menge“ gehen auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 und 1848 heißt es: .

Georg Cantor beschrieb eine Menge in einer Art und Weise, die man heute als „naiv“ bezeichnet. (Vgl. Cantors Mengenaxiome!) Nach dieser Beschreibung ist eine Menge die „Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“.Siehe Textstelle mit der Mengendefinition von Georg Cantor.png für die entsprechende Textstelle im Artikel . Hierbei werden die Objekte der Menge als Elemente bezeichnet. Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden dabei in einer (nach moderner Auffassung) axiomatischen Weise verknüpft.

Die moderne axiomatische Behandlung des Themas geschah erst im Rahmen der Mengenlehre auf Basis der Axiomensysteme von Zermelo-Fraenkel (ZF, ZFC), Neumann-Bernays-Gödel (NBG) und anderer. Dies diente nicht zuletzt dazu, Antinomien wie etwa die Russell’sche zu vermeiden.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen. Diese Vorstellung hat aber ihre Grenzen. Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt. Insofern ist es besser, wenn man sich die Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ vorstellt.

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa , wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Das heißt, es gilt beispielsweise . Statt Kommata werden häufig als Trennzeichen für die Elemente Semikola benutzt, um eine mögliche Verwechslung mit Dezimalzahlen zu verhindern.

Oft ist es praktisch oder prinzipiell (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. Es gibt aber eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel . (Sprich: „M ist die Menge aller x, für die gilt: ‚x ist eine Grundfarbe‘.“)

Daneben prägte Dedekind das Synonym des Systems, zu welchem er Elemente zusammenfasste. Diese Bezeichnung ist heute noch teilweise üblich, so nennt man eine „Menge von Vektoren“ auch kurz ein Vektorsystem.

Andere Schreibweisen Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden: Die aufzählende Schreibweise kann als eine Abkürzung für die umständliche Schreibweise verstanden werden. Bei der Schreibweise mit Auslassungspunkten werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: . Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die größer sind als 2. Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie aus und die Schnittmenge . Diese kann intensional geschrieben werden als . Ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen, bei welcher mindestens ein Grundelement explizit angegeben wird und dann mindestens eine Regel, wie aus einem Element ein weiteres Element abgeleitet werden kann. So kann die obige Menge ebenfalls beschrieben werden durch i) ist in und ii) für jedes in ist auch in und iii) nur Elemente, die durch i) und (keine, einmalige oder wiederholte) Anwendung von ii) erhalten werden, sind in .

Mächtigkeit

Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit (oder Kardinalität) gleich der Anzahl der Elemente der Menge; das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Der Begriff lässt sich auch auf unendliche Mengen verallgemeinern; es stellt sich heraus, dass zwei unendliche Mengen nicht gleichmächtig sein müssen. Die Mächtigkeit einer Menge wird im Allgemeinen mit , gelegentlich auch mit notiert.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt Element einer Menge , so schreibt man dafür formal: . Die Verneinung ( ist kein Element von ) schreibt man als: . Historisch geht das Elementzeichen zurück auf den griechischen Buchstaben ε als Anfangsbuchstabe von εστί (estí, es ist)So erklärt in und bereits früher bei Peano. und wurde 1889 von Giuseppe Peano zum ersten Mal verwendet.

Gleichheit von Mengen und Extensionalität Gleichheit Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

Tatsächlich wird eine Menge aber meist intensional beschrieben. Das heißt: Es wird eine Aussageform angegeben (mit einer Objektvariablen aus der wohlbestimmten Definitionsmenge von ), sodass genau dann gilt, wenn zutrifft. Dafür schreibt man dann:

oder auch kürzer .

Zu jeder Menge gibt es viele verschiedene Aussageformen , die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen und dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind und die gleiche Menge?“

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz .

Extensionalität

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen: beispielsweise , gelesen „sei die Menge aller , für die gilt: ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“ oder kürzer: „sei die Menge aller geraden natürlichen Zahlen “.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit oder auch bezeichnet und hat die Mächtigkeit . Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. Folglich sind und verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält.

Nichtleere Menge Eine nichtleere Menge ist eine Menge, die nicht die leere Menge ist. Eine nichtleere Menge enthält daher mindestens ein Element. Die Mächtigkeit einer nichtleeren Menge ist größer als 0.

Allklasse

Gewissermaßen das Gegenstück zur Leeren Menge ist die Allklasse. Sie umfasst alle Elemente des betrachteten Grundbereichs einer mathematischen Theorie; in der Mengenlehre ist das die Klasse aller Mengen. Die Allklasse ist unter den üblichen Voraussetzungen keine Menge, sondern eine echte Klasse.

Bewohnte Menge