Ein harmonischer Oszillator ist ein schwingungsfähiges System, das sich durch eine lineare Rückstellgröße auszeichnet. Für ein mechanisches System bedeutet dies, dass es eine Kraft gibt, die einer zunehmenden Auslenkung mit proportional anwachsender Stärke entgegenwirkt. Nach einem Anstoß von außen schwingt ein harmonischer Oszillator sinusförmig (= harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Größe der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und Stimmgabeln.
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter vollständig beschrieben, die Eigenfrequenz und die Dämpfung. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren, z. B. das Fadenpendel. Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.
Die Bezeichnung harmonischer Oszillator wird auch für gedämpfte harmonische Oszillatoren verwendet, auch wenn diese streng genommen keine harmonische Schwingung vollziehen, sondern eine gedämpfte Schwingung.
Differentialgleichung des harmonischen Oszillators Mathematisch lässt sich jeder freie harmonische Oszillator durch die folgende Differentialgleichung beschreiben. Ausnahmen sind Oszillatoren in der Quantenmechanik und verwandten Theorien, bei denen Unschärferelationen berücksichtigt werden müssen.
Dabei sind die Auslenkung des Systems und die Eigenkreisfrequenz. Es handelt sich um eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, die sich daher einfach analytisch lösen lässt. Die Lösung einer solchen Gleichung ist eine sinusförmige Funktion.
Potential des harmonischen Oszillators mini|Das Potential V eines eindimensionalen harmonischen Oszillators Der ungedämpfte harmonische Oszillator ist ein konservatives System. Dies bedeutet, dass die Energie der Schwingung erhalten bleibt. Es existiert daher für jedes Oszillator-Kraftfeld ein Potential.
Eindimensionaler Oszillator Die graphische Darstellung des Potentials eines harmonischen Oszillators ist eine Parabel. Man nennt es auch harmonisches Potential.
mit der Richtgröße
In der Mechanik ist die Kraft auf ein Teilchen in einem solchen Potential durch die negative Ableitung des Potentials gegeben.
Mehrdimensionaler Oszillator mini|Das Potential eines zweidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators Dieses Konzept lässt sich auf mehrere Dimensionen übertragen. Das Potential hat hier die Form eines elliptischen Paraboloids. In n Dimensionen lässt es sich bei geeigneter Wahl der Koordinaten wie folgt schreiben:
Bei Rotationssymmetrie ergibt sich also unabhängig von der Anzahl der Dimensionen
In der Mechanik ist die Kraft auf ein Teilchen in einem solchen Potential durch den negativen Gradienten des Potentials gegeben.
Weil in den einzelnen Summanden keine Mischterme zwischen unterschiedlichen Richtungen vorkommen, lässt sich das Problem eines n-dimensionalen harmonischen Oszillators auf n eindimensionale Oszillatoren zurückführen. In der Quantenmechanik wird eine solche Eigenschaft Separabilität genannt. Es lässt sich folgern, dass bei einem harmonischen Oszillator nicht nur die Gesamtenergie, sondern auch die Energien für die Komponenten jeder einzelnen Richtung Erhaltungsgrößen sind.
Hängt der Wert des Potentials nur von der Entfernung zum Nullpunkt, nicht aber von der Richtung ab, so nennt man den Oszillator isotrop, andernfalls anisotrop. Bei einem isotropen Oszillator haben also alle Konstanten den gleichen Wert:
und Schwingungen in jeder Richtung sind harmonisch und haben dieselbe Frequenz.
Bei einem anisotropen Oszillator sind die Schwingungen in jeweils einer einzigen Koordinate harmonisch und haben eine von abhängige Frequenz (Normalschwingungen). Sind mehrere Normalschwingungen mit unterschiedlichen angeregt, ergeben sich kompliziertere, möglicherweise auch nichtperiodische Bewegungen.
Minimum des Potentials Das Minimum dieses Potentials ist ein stabiler Fixpunkt des Systems. In der Mechanik nennt man diesen Punkt auch Ruhelage und die Kraft, die das Teilchen erfährt, Rückstell- oder Rückholkraft. Insbesondere erfährt ein in der Ruhelage liegendes Teilchen keinerlei Kraft, woraus sich auch der Name „Ruhelage“ ableitet.
Bedeutung in der Physik mini|400px|Quadratische Approximation des Lennard-Jones-(12,6)-Potentials. Der Variablen x entspricht die Entfernung u.
Ein idealer harmonischer Oszillator, bei dem die Rückstellkraft für beliebig große Auslenkungen linear mit der Auslenkung ansteigt, existiert in der Natur nicht. Dennoch ist das Konzept für die Physik von fundamentaler Bedeutung, da es durch viele Systeme sehr gut angenähert wird, vor allem, wenn nur kleine Auslenkungen aus der Ruhelage betrachtet werden. Beschränkt man sich darauf, so können Potentiale, die ein lokales Minimum besitzen, in guter Näherung durch ein harmonisches Potential ersetzt und das gesamte Problem als harmonischer Oszillator beschrieben werden. Der Vorteil einer solchen harmonischen Näherung besteht darin, dass das Problem mit Standardmethoden der theoretischen Physik handhabbar wird und einfach zu interpretierende, analytische Lösungen liefert. In der nebenstehenden Abbildung wurde dies für ein Lennard-Jones-(12,6)-Potential (blaue Kurve) durchgeführt. Das Ergebnis (rote Kurve) ist wie ersichtlich nur für kleine Abstände vom Minimum eine brauchbare Näherung.
Ihre mathematische Begründung findet die harmonische Näherung in der Tatsache, dass die Potentiale in einer Taylorreihe entwickelt werden können. Ist ein Potential gegeben und ist dieses hinreichend oft differenzierbar, so gilt nach dem Satz von Taylor:
wobei , das sogenannte Restglied, nur Terme ab dritter Ordnung enthält. Für kleine Abstände ist es daher vernachlässigbar. Als Entwicklungspunkt wählen wir ein Minimum des Potentials, sodass gilt . Somit entfällt auch der Term erster Ordnung. Zur besseren mathematischen Handhabung kann durch eine geeignete Koordinatentransformation der Scheitelpunkt in den Koordinatenursprung gelegt werden, damit gilt: . Weiterhin ist es stets möglich zu setzen. Man erhält dann näherungsweise das harmonische Potential:
mit
Das heißt, bei genügend kleiner Auslenkung verhält sich der Oszillator harmonisch. Beispiele für Oszillatoren, die bereits bei mittleren Amplituden anharmonisch werden, sind das Fadenpendel und die transversal schwingende Saite.
Ein approximatives Lösungsverfahren, bei dem ein kompliziertes Problem zunächst auf ein analytisch lösbares zurückgeführt wird, um dann der Lösung zuvor ignorierte Einflüsse in Form von Störungen wieder hinzuzufügen, wird als Störungstheorie bezeichnet.
Der harmonische Oszillator der klassischen Mechanik
Eindimensionaler ungedämpfter Oszillator Ein mechanischer Oszillator besteht aus einem Körper der Masse und aus einer Kraft, die diesen zurücktreibt, wenn man ihn aus seiner Ruhelage auslenkt. Damit ein Oszillator ein harmonischer ist, muss die rücktreibende Kraft proportional zu dieser Auslenkung, also der Entfernung des Körpers von seiner Ruhelage, sein. In der Praxis wird eine solche Kraft meist durch Federn, wie bei einem Federpendel realisiert, oder durch die Gewichtskraft des Körpers, wie es beispielsweise bei einem Wasserpendel der Fall ist.
Beschreibung des Schwingvorgangs mini|Darstellung der Schwingung eines harmonischen Oszillators am Beispiel eines Federpendels. Die Ruhelage des Oszillators ist mit einer gestrichelten Linie markiert. Die Geschwindigkeit ist jeweils als roter Pfeil gekennzeichnet Ein harmonischer Oszillator wird aus seiner Ruhelage bewegt. Je weiter man ihn entfernt, desto größer wird die Kraft, die versucht ihn zurückzubewegen. Durch das Auslenken wird dem Oszillator potentielle Energie hinzugefügt. Potentiell bedeutet, dass die Energie verwendet wird, um beispielsweise eine Feder zu spannen und somit diese Energie in der Position des Oszillators gespeichert ist.
Wird der Oszillator dann freigelassen, so wird er auf Grund der Zugkraft der Feder beschleunigt. Er bewegt sich daher mit zunehmender Geschwindigkeit zur Ruhelage zurück. Wenn er dort angelangt ist, so hat der Oszillator seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Die Feder ist entspannt und es wirkt keine Kraft mehr auf den Oszillator. Die potentielle Energie, die ihm zugeführt wurde, ist nun vollständig in kinetische Energie umgewandelt worden. Dies bedeutet, sie ist jetzt nicht mehr in der Position, sondern in der Geschwindigkeit des Oszillators gespeichert.
Aufgrund der Trägheit bewegt sich der Oszillator jedoch weiter. Dies führt dazu, dass die Feder, diesmal in anderer Richtung, wieder gespannt wird. Für das Spannen dieser Feder muss der Oszillator seine kinetische Energie aufwenden, um sich gegen die Kraft der Feder bewegen zu können. Er wird dadurch langsamer, bis er den Punkt erreicht, an dem er sich nicht mehr bewegt und die gesamte Energie wieder in Form von potentieller Energie vorliegt. Der Bewegungsablauf beginnt dann wieder von vorne. ZeitpunktZeitpunktangaben beziehen sich auf obenstehende Grafik; der Abstand zweier Zeitpunkte beträgt eine viertel Periode, also .Auslenkungpotentielle EnergieGeschwindigkeitkinetische Energie1 2 3 4 unveränderlich: Gesamtenergie , Masse und Federkonstante
Herleitung der Schwingungsgleichung mini|150px|Illustration der physikalischen Größen bei einem Federpendel. Die Kraft ist als grüner Pfeil eingezeichnet
Wir nehmen wie oben als Beispiel ein Federpendel. Die Masse des Körpers ist . Die Ruhelage nehmen wir als Nullpunkt und bezeichnen die Auslenkung mit . Die Kraft , die auf den Körper wirkt, wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben:
Die Konstante ist die Federkonstante, die sich nach der Stärke der rücktreibenden Kraft bei einer festen Auslenkung richtet. Außerdem ist bekannt, dass die Beschleunigung eines Körpers proportional zu der auf ihn einwirkenden Kraft ist. Die Beschleunigung lässt sich als zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit schreiben. Eine zeitliche Ableitung wird in der Physik häufig als Punkt über der Variablen gekennzeichnet:
Setzt man nun diese beiden Ausdrücke für die Kraft gleich, erhält man eine Differenzialgleichung:
Um die folgenden Rechnungen zu vereinfachen, substituiert man und schreibt die Gleichung um zu:
Diese Gleichung lässt sich beispielsweise mittels eines Exponentialansatzes lösen. Als Ergebnis erhält man eine sinusförmige Funktion, auch harmonische Schwingung genannt:
.
Die Lösung enthält zwei Konstanten, die Amplitude und den Phasenverschiebungswinkel . Man erhält sie entsprechend den Anfangsbedingungen. Die Amplitude steht für die maximale Auslenkung des Oszillators und damit die Energie der Schwingung. Der Phasenverschiebungswinkel bestimmt die Position und gleichzeitig damit die Geschwindigkeit, welche der Körper zum Zeitpunkt hat.
Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion, da ihre Werte sich in regelmäßigen Abständen wiederholen (). Daher führt der Oszillator eine periodische Bewegung aus. bezeichnet die Eigenkreisfrequenz und Resonanzfrequenz des Oszillators. Sie bestimmt die Frequenz , mit der der Oszillator schwingt. Bei einem harmonischen Oszillator ist diese Frequenz unabhängig von der Schwingungsamplitude.
Energie Beim freien ungedämpften Oszillator bleibt die Energie erhalten, weil es sich um ein abgeschlossenes System handelt und nur konservative Kräfte auftreten. In der Gleichgewichtslage verschwindet die potenzielle Energie. Deshalb ist die Gesamtenergie gleich der maximalen kinetischen Energie:
Zu demselben Ergebnis kommt man, wenn man die Gesamtenergie über den Maximalwert der potenziellen Energie berechnet:
.
steht hier jeweils für den Maximalwert der Auslenkung, also für die Amplitude. Wird mit komplexen Zahlen gerechnet, so tritt an die Stelle von das Betragsquadrat der gegebenenfalls komplexwertigen Amplitude.