mini|Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt (sprich „a mal b“) zweier Vektoren und nach der Formel
Dabei bezeichnen und jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels (phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren und als
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren und als
In der linearen Algebra wird dieses Konzept auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert mittels
Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.
Im euklidischen Raum Geometrische Definition und Notation Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch bzw. koordinatenfrei lässt es sich wie folgt definieren:
Bezeichnen und die Längen der Vektoren und und bezeichnet den von und eingeschlossenen Winkel, so ist
Hierbei muss vorausgesetzt werden, da ansonsten nicht erklärt ist. Ist oder , so ist .
Andere übliche Notationen sind und . Wie bei der normalen Multiplikation wird (wenn klar ist, was gemeint ist) das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen: . Statt schreibt man auch kurz .
Beispiele In allen vier Beispielen gilt und . Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte , , und :
Geometrische Deutung mini|Geometrische Deutung des Skalarprodukts als Länge der orthogonalen Projektion mal der Länge von Die Zahl ergibt sich geometrisch folgendermaßen: Projiziert man den Vektor auf die durch bestimmte Gerade, so erhält man einen Vektor . Schließen und einen Winkel ein, so ist nach der Definition des Kosinus die Länge von . Multipliziert man diese Länge mit dem Betrag von , so erhält man die Zahl . Schließen und hingegen einen Winkel ein, so entspricht der Länge von , jedoch mit einem negativen Vorzeichen versehen.
Insgesamt gilt also: Das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Länge von und der Länge der Projektion von auf die Richtung von . Es hat dabei positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem und die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Aus Symmetriegründen entspricht zugleich dem vorzeichenbehafteten Produkt der Länge von und der Länge der Projektion von auf die Richtung von .
Darstellung in kartesischen Koordinaten Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.
In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren und die Darstellung
mini|Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene
Für die kanonischen Einheitsvektoren und gilt nämlich und . Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes)
Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren und die Darstellung
Beispielrechnung Das Skalarprodukt der beiden Vektoren und berechnet sich als .
Eigenschaften Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt: Sind und parallel und gleichorientiert (), so gilt
Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:
Hieraus folgt und . Sind und parallel und entgegengesetzt orientiert (), so gilt
und sind genau dann orthogonal, wenn Ist ein spitzer Winkel, so gilt Ist ein stumpfer Winkel, so gilt Für Einheitsvektoren gilt . Für Vektoren einer Orthonormalbasis gilt , falls und , falls . (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) und sind linear abhängig. Als Funktion, die jedem geordneten Paar von Vektoren die reelle Zahl zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet: Es ist symmetrisch (Kommutativgesetz): für alle Vektoren und . Es ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz): für alle Vektoren und und alle Skalare . Es ist additiv in jedem Argument (gemischte Distributivgesetze): und für alle Vektoren und Die Eigenschaften 2 und 3 bedeuten, dass das Skalarprodukt linear in beiden Argumenten ist, also bilinear.
Die Bezeichnung gemischtes Assoziativgesetz für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz verschoben werden können. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors Hingegen stellt der Ausdruck ein Vielfaches von dar. Im Allgemeinen gilt also
Beziehung zum Kreuzprodukt Für die Verbindung vom Skalarprodukt mit dem Kreuzprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:
Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.
Anwendungen
Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man die Länge (den Betrag) eines Vektors und den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel aus den Koordinaten der Vektoren berechnen:
Für einen Vektor des zweidimensionalen Raumes gilt
Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt für entsprechend
Zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zwischen zwei Vektoren stellt man die Definitionsgleichung nach um:
Die einzelnen Bestandteile und kann man mit den entsprechenden Formeln für die kartesischen Koordinaten berechnen. Um den Winkel zu erhalten, muss man noch den Arkuskosinus auf das Ergebnis der Rechnung anwenden: .
Beispielrechnung Die Vektoren und haben die Länge und
Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich mit zu
Somit ist
Orthogonalität und orthogonale Projektion mini|Der Vektor ist die orthogonale Projektion von auf die Richtung von .
Mithilfe des Skalarprodukts lässt sich die orthogonale Projektion von auf die durch den Vektor gegebene Richtung ausdrücken:
Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von auf die durch bestimmte Ursprungsgerade ist. Der Vektor steht senkrecht auf Bei der Projektion von auf einen Einheitsvektor (d. h. ) vereinfacht sich die Formel zu
Folglich gibt die vorzeichenbehaftete Länge des orthogonal auf projizierten Vektors an.mini|Kosinussatz mit Vektoren
Hilfsmittel für elementargeometrische Beweise Mithilfe des Skalarprodukts lassen sich elementargeometrische Sätze, in denen von Winkeln die Rede ist, auf elegante Art beweisen. Dazu müssen zunächst die Voraussetzungen und die Behauptung des Satzes in die Vektorsprache übersetzt werden.
Behauptung: (Kosinussatz)
Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt (Die Richtung von ist unerheblich.) Quadrieren des Betrags ergibt
und damit
Beschreibung von Geraden und (Hyper-)Ebenen Mit Hilfe des Skalarprodukts, eines Stützvektors und eines Normalenvektors lassen sich Geraden in der Ebene, Ebenen im dreidimensionalen Raum oder allgemein Hyperebenen darstellen, und zwar in der sogenannten Normalenform:
Eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung erfüllen. Im Gegensatz zur Punktrichtungsform handelt es sich hierbei um eine Gleichung ohne Parameter.
In der Physik mini|hochkant=1.75|Beispiel schiefe Ebene
In der Physik sind viele Größen durch das Skalarprodukt definiert, wie zum Beispiel die Arbeit :
mit den vektoriellen Größen Kraft und Weg . Dabei bezeichnet den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.
Beispiel: Ein Wagen des Gewichts wird über eine schiefe Ebene von nach transportiert. Die Hubarbeit berechnet sich zu In der physikalischen Praxis wird für die Berechnung von Hubarbeit die Hubhöhe direkt benutzt (hier 3m * cos63° = 1,36m), anstatt ein Skalarprodukt aus den Vektoren für Kraft und schiefe Ebene zu bilden.
In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).
In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren und schreibt man also . Andere gebräuchliche Notationen sind (vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation), und .
Definition (Axiomatik) Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform das heißt, für und gelten die folgenden Bedingungen: linear in jedem der beiden Argumente:
symmetrisch: positiv definit:
genau dann, wenn
Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform das heißt für und gelten die folgenden Bedingungen: sesquilinear:
(semilinear im ersten Argument)
(linear im zweiten Argument)
hermitesch: positiv definit: (Dass reell ist, folgt aus Bedingung 2.) genau dann, wenn