mini|Graph der differenzierbaren Funktion Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur für reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, für komplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe.
Die Frage nach der Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis.
Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen Definitionen mini|Schwarz: Graph der Funktion fRot: Graph der linearen Funktion g, die f in der Nähe der Stelle x0 approximiert mini|Zur 2. Definition der Differenzierbarkeit mini|Differenzierbare Funktionen sind genau diejenigen Funktionen, die lokal durch genau eine lineare Funktion approximierbar sind. Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. Eine solche Funktion ist differenzierbar an einer Stelle aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von an dieser Stelle existiert. Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung:
1. Definition Eine Funktion ist genau dann differenzierbar an der Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn der beidseitige Grenzwert der Differenzenquotienten
existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von an der Stelle , geschrieben .
2. Definition Eine Funktion ist genau dann differenzierbar an der Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl (die von abhängen darf) und eine (ebenfalls von abhängige) Funktion (Fehler der Approximation) mit folgenden Eigenschaften existieren:
Für geht schneller als linear gegen 0, das heißt: für Die Funktion lässt sich also in der Nähe von durch eine lineare Funktion mit
bis auf den Fehler approximieren. Den Wert bezeichnet man als die Ableitung von an der Stelle . Differenzierbare Funktionen sind damit genau diejenigen Funktionen, die sich lokal durch lineare Funktionen approximieren lassen (siehe Abbildung). Diese Definition geht auf Karl Weierstraß zurück und wird Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.
Eine Funktion heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Die Funktion heißt dann Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung von .
Erläuterungen Grafisch lässt sich die Eigenschaft Differenzierbarkeit so deuten, dass eine Funktion genau dann an der Stelle differenzierbar ist, wenn im zugehörigen Punkt des Graphen von genau eine Tangente existiert, die nicht senkrecht verläuft. Die Tangente ist der Graph der in der 2. Definition genannten linearen Funktion .
Die Ableitung von an der Stelle ist die Steigung dieser Tangente. Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt und einen anderen Kurvenpunkt . Die Funktion ist also an der Stelle differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang gegen die Steigung der Tangente konvergieren.
Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit: Jede an einer Stelle differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Jede auf ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion ist stetig. Die Umkehrung gilt nicht. Die unten angeführten nicht differenzierbaren Funktionen sind alle stetig.
Beispiele für differenzierbare Funktionen Aus den Ableitungsregeln folgt: Jede Funktion, die sich durch ein Polynom darstellen lässt, ist differenzierbar. Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. Die Umkehrfunktion einer bijektiven differenzierbaren Funktion ist genau dann an der Stelle differenzierbar, wenn ist. die Parabelfunktion ist für alle differenzierbar. Sei dann ist
und ihre Ableitung ist . Aus den Grenzwertsätzen für Potenzreihen folgt: Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar.
Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen mini|Die Heaviside-Funktion ist an der Stelle 0 nicht stetig und deshalb auch nicht differenzierbar. Im Sinne von Distributionen wird die Dirac-Distribution als Ableitung der Heaviside-Funktion betrachtet. Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist umgekehrt jede unstetige Funktion (zum Beispiel eine Treppenfunktion oder die Dirichlet-Funktion) ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar.
Wurzelfunktion mini|Graph der Wurzelfunktion Die Wurzelfunktion , ist an der Stelle nicht differenzierbar. Der Differenzenquotient
strebt für gegen unendlich, konvergiert also nicht. Der Graph der Funktion hat an der Stelle zwar eine Tangente, diese verläuft aber vertikal und besitzt deshalb keine Steigung.
Betragsfunktion
mini|Funktionsgraph und Graph der Ableitung von Die Betragsfunktion ist an der Stelle nicht differenzierbar.
Für ist und damit
.
Für ist dagegen und folglich
.
Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert nicht. Die Funktion ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar.
Es existieren an der Stelle jedoch die rechtsseitige Ableitung
und die linksseitige Ableitung
.
Der Funktionsgraph hat an der Stelle einen Knick. Es gibt sozusagen eine linksseitige Tangente mit Steigung und eine rechtsseitige mit Steigung . Zu jeder Steigung zwischen und gibt es eine Gerade, die den Funktionsgraph im Punkt „berührt“, aber sich nicht „anschmiegt“.
Dies ist ein typisches Verhalten für abschnittsweise definierte Funktionen, wo an den Nahtstellen zwar die Funktionswerte zusammenpassen, aber nicht die Ableitungen. Die Graphen von differenzierbaren Funktionen haben demgegenüber keine Knicke.
Ein drittes Beispiel mini|Graph der Funktion mit für und . Die Funktion
ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar (aber überall sonst). Für den Differenzenquotient an der Stelle 0 gilt
Der Limes für existiert nicht. Es existieren auch keine einseitigen Grenzwerte. Vielmehr pendelt der Differenzenquotient, wenn gegen 0 geht, unendlich oft zwischen den Werten −1 und 1 und nimmt dabei jeden Zwischenwert unendlich oft an.
Weierstraß-Funktion mini|Graph einer reellen Weierstraß-Funktion im Intervall . Sie ist stetig, aber nirgends differenzierbar. Die nach ihrem Entdecker benannte Weierstraß-Funktion
ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.
Wiener-Prozess mini|Pfad eines Wienerprozesses Weitere Beispiele liefert die mathematische Brownsche Bewegung: Fast jeder Pfad eines Wiener-Prozesses ist als Funktion stetig, aber nirgends differenzierbar.
Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen mini|Beispiel einer nicht stetig differenzierbaren Funktion mini|Die Funktion mit für und ist differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion
an jeder Stelle, inklusive , differenzierbar, weil
Die Ableitung
ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.
Eine Funktion heißt zweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion differenzierbar ist. Entsprechend wird dreimal, viermal, …, -mal differenzierbar definiert. Die höheren Ableitungen werden mit , , , …, bezeichnet.
Da aus der Differenzierbarkeit einer Funktion die Stetigkeit folgt, sind bei einer zweimal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und die erste Ableitung automatisch stetig. Die zweite Ableitung braucht jedoch nicht stetig zu sein. Entsprechend sind bei einer -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen , , … bis zur -ten Ableitung stetig. Für die -te Ableitung braucht dies jedoch nicht zu gelten. Ist diese auch stetig, so nennt man -mal stetig differenzierbar. Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt.
Die Menge aller -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge bezeichnet man als . Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt . Eine -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse , kurz: Funktion der Klasse oder -Funktion. Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse oder -Funktion.
Die Funktion
ist differenzierbar, ihre Ableitung ist die Funktion , die stetig, aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist. Die Funktion ist also stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht zweimal differenzierbar. Entsprechend ist die Funktion
-mal stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht -mal differenzierbar.
Komplexe Funktionen
Für komplexe Funktionen, also komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen, definiert man Differenzierbarkeit ganz analog zu reellen Funktionen. Es sei eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion heißt komplex differenzierbar im Punkt , falls der Grenzwert
existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als .
Eine Funktion heißt holomorph im Punkt , falls eine Umgebung von existiert, in der komplex differenzierbar ist. Holomorphe Funktionen sind automatisch unendlich oft komplex differenzierbar und sogar analytisch.
Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen Für Funktionen mehrerer Veränderlicher, also Funktionen, die auf offenen Teilmengen des euklidischen Raums definiert sind, gibt es mehrere verschieden starke Begriffe der Differenzierbarkeit. Im Folgenden sei eine offene Menge. Die Elemente des können als -Tupel geschrieben werden. Weiter sei eine Funktion gegeben. Wir betrachten einen festen Punkt und betrachten Differenzierbarkeit im Punkt .
Partielle Differenzierbarkeit
Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. Die Funktion heißt partiell differenzierbar am Punkt in Richtung , falls die partielle Ableitung
existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.
Die Funktion heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt die partiellen Ableitungen in allen Richtungen existieren. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von nach sind.
Aus partieller Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der Funktion, sondern nur die Stetigkeit der Funktion in Richtung der Koordinatenachsen.
Richtungsableitung
Ist ein Einheitsvektor, so ist die (beidseitige) Richtungsableitung von in Richtung an der Stelle definiert als . Betrachtet man nur positive , so erhält man die einseitige Richtungsableitung . Die Funktion heißt (einseitig) differenzierbar in Richtung von , falls die (einseitige) Richtungsableitung von in Richtung existiert. Die Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren der Standardbasis sind gerade die partiellen Ableitungen .
Totale Differenzierbarkeit
Die Funktion heißt total differenzierbar im Punkt , falls eine lineare Abbildung und eine Funktion existieren, so dass sich bis auf den Fehler durch approximieren lässt,
und von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht, das heißt für .
Die lineare Abbildung heißt totale Ableitung von im Punkt .