Die Bellsche Ungleichung ist eine Ungleichung zwischen Korrelationen von Messergebnissen. Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Experimente nachweisen, dass es keine physikalische Theorie geben kann, die alle quantenphysikalischen Beobachtungen beschreibt und gleichzeitig lokal und realistisch ist. „Lokal“ bedeutet hier, dass keine Information oder Wirkung schneller übertragen werden kann als mit Lichtgeschwindigkeit. Mit „realistisch“ ist gemeint, dass die momentanen Werte der an einem physikalischen System messbaren Größen unabhängig davon existieren, ob sie gemessen werden oder nicht. Sie sind also reale Eigenschaften des Systems. Diese beiden Annahmen entsprechen dem Alltagsverständnis physikalischer Vorgänge und gehören zu den Grundvoraussetzungen der klassischen Physik. Dennoch muss mindestens eine von ihnen falsch sein.
Gemäß der Originalarbeit von John Stewart Bell aus dem Jahr 1964 gilt für die statistischen Korrelationen wiederholt erhobener Messwerte bestimmter Größen eine universelle Ungleichung, wenn für das beobachtete System die beiden Annahmen der Lokalität und des Realismus zutreffen und die Messungen sich physikalisch nicht gegenseitig beeinflusst haben. Die Quantenmechanik sagt hingegen bei Messungen an einem verschränkten System, z. B. Messungen der Polarisationsrichtungen zweier gleichzeitig erzeugter Photonen, stärkere Korrelationen voraus, als diese Ungleichung erlaubt.
In der Folge wurden weitere Ungleichungen ähnlicher Art aufgestellt und insgesamt als Bellsche Ungleichungen bezeichnet. Entsprechende Experimente, sog. Bell-Tests, wurden mit zunehmender Präzision ab den 1970er Jahren durchgeführt. Dabei wurden die Möglichkeiten einer gegenseitigen physikalischen Beeinflussung der Messungen mit zunehmender Sicherheit ausgeschlossen. Die Ergebnisse lagen außerhalb des Bereichs, der nach der Bellschen Ungleichung durch eine lokal-realistische Theorie erklärt werden kann, und bestätigten darüber hinaus ausnahmslos quantitativ die Vorhersagen der Quantenmechanik. Dies wurde 2022 mit dem Physiknobelpreis für Alain Aspect, John Clauser und Anton Zeilinger gewürdigt.
Realismus und Lokalität Die Bellsche Ungleichung zeigte zunächst, dass die Vorhersagen der Quantenmechanik in Widerspruch stehen zur gleichzeitigen Annahme von Realismus und Lokalität.Sheldon Goldstein u. a.: Bell’s theorem. In: scholarpedia.org.2011, abgerufen am 16. Juni 2024 (englisch).
Eine physikalische Theorie ist realistisch, wenn sie davon ausgeht, dass Messungen nur Eigenschaften ablesen, die unabhängig von der Messung vorliegen. Das heißt, das Ergebnis jeder denkbaren Messung steht schon fest, bevor es durch die Messung bekannt wird. Eine physikalische Theorie ist nicht lokal, wenn die Messergebnisse an zwei Teilchen korreliert sind, indem sie eine dem Zufall widersprechende Beziehung zeigen, ohne dass dies mit objektiv vorliegenden Eigenschaften der Teilchen oder durch einen Einfluss der Messung an einem Teilchen auf das andere erklärt werden könnte. So ein Einfluss ist durch die spezielle Relativitätstheorie ausgeschlossen, wenn die beiden Messungen in raumartiger Relation zueinander stehen, so dass eine etwaige Signalübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit erfolgen müsste.
Die Verwendung dieser beiden Begriffe in der Analyse der Quantenmechanik stammt aus dem Aufsatz, mit dem Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen 1935 das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (kurz EPR-Paradoxon) vorstellten.
„Klassische“ Theorien wie die klassische Mechanik, die spezielle Relativitätstheorie oder die Maxwellsche Elektrodynamik sind lokal-realistisch. Die Bellsche Ungleichung ist eine direkte Folge aus dem lokalen Realismus und gilt daher in der klassischen Physik ohne Einschränkung. Die Quantenmechanik ist keine lokal-realistische Theorie. In bestimmten Fällen verletzen quantenmechanisch berechnete Mittelwerte die Bellsche Ungleichung. Da diese Verletzungen durch geeignete Experimente nachgewiesen werden konnten, kann die Quantenmechanik nicht zu einer lokalen und realistischen Theorie vervollständigt werden, auch nicht – im Gegensatz zu einer Annahme von Einstein und anderen – durch Hinzufügen von verborgenen Variablen.
Bei zahlreichen verschränkten Quantensystemen, darunter verschränkten Photonenpaaren, ist bei den Korrelationen zwischen den Teilchen die Verletzung der Bellschen Ungleichung in Messungen bestätigt worden. Die Korrelationen sind daher nicht mit der Annahme der gleichzeitigen Gültigkeit von Realität und Lokalität verträglich. Sie stimmen in allen Fällen mit der Quantenmechanik überein. Dies bedeutet, dass nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen können oder dass die Werte aus verschiedenen Messungen nichtlokal korreliert sein müssen.
John von Neumann veröffentlichte 1932 eine mathematische Widerlegung der Theorie verborgener Variablen, die lange als unbestritten galt. John S. Bell fand in den Voraussetzungen dieser Widerlegung jedoch einen grundlegenden Fehler und veröffentlichte 1966 einen Hinweis auf die fehlerhafte Annahme der linearen Additivität bestimmter Erwartungswerte. In seinem Aufsatz von 1964, der die Bellschen Ungleichungen einführte, wollte er zeigen, dass die eigentliche Grundannahme, an der Theorien verborgener Variablen scheitern, die Lokalität ist. Eine schon 1952 veröffentlichte Theorie verborgener Variablen von David Bohm war stark nicht-lokal.
Versuchsaufbau Die ursprüngliche Überlegung war bei John S. Bell nur ein Gedankenexperiment mit quantenmechanisch verschränkten Elektronen. Der Versuchsaufbau wurde von Bell nur theoretisch beschrieben. Etliche Jahre später wurde aber ein vergleichbarer Versuchsaufbau mit verschränkten Photonen real umgesetzt, um die Überlegungen des Gedankenexperimentes experimentell zu überprüfen.
In einer Quelle wird ein verschränktes Photonenpaar erzeugt, wobei sich die Photonen in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Die beiden Photonen treffen auf je einen Filter; die Filter sind unabhängig voneinander auf die Messrichtung oder eingestellt.Dietrich Dehlinger, M. W. Michell: Entangled photons, nonlocality and Bell inequalities in the undergraduate laboratory, 27. Mai 2002, arxiv.org. Normalerweise werden für die Messrichtungen die folgenden Werte gewählt: Messrichtung : Filter lässt horizontal polarisierte Photonen durch. Vertikal polarisierte Photonen werden reflektiert. Messrichtung : Filter ist um gegenüber Messrichtung gedreht. Messrichtung : Filter ist um gegenüber Messrichtung gedreht. (Das heißt, er ist um gegenüber Messrichtung gedreht.)
Für beide Filter wird zufällig bestimmt, in welcher dieser drei Richtungen der Filter ausgerichtet ist. Dabei wird die zufällige Bestimmung für beide Filter unabhängig voneinander durchgeführt. Das heißt, aus der Richtung des ersten Filters lässt sich nicht auf die Richtung des zweiten Filters schließen. Die Richtung des Filters wird festgelegt, nachdem das Photonenpaar erzeugt wurde, aber bevor es den Filter erreicht.
Anschließend wird für beide Photonen gemessen, ob sie den Filter passiert haben oder ob sie reflektiert wurden.
Dieses Experiment wird mehrere Male hintereinander ausgeführt. Bei Durchgängen, in denen beide Filter zufällig in die gleiche Richtung ausgerichtet sind, wird in beiden Detektoren das gleiche Ergebnis gemessen. Sie spielen im Zusammenhang mit der Bellschen Ungleichung keine Rolle. Für die Durchgänge, in denen beide Filter in unterschiedliche Richtungen ausgerichtet sind, wird gemessen, wie häufig die beiden Photonen des Photonenpaares sich gleich bzw. unterschiedlich verhalten haben.
Insbesondere wird gemessen: : Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung passiert hat. : Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung passiert und das andere Photon vom Filter mit Messrichtung reflektiert wurde. : Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung passiert hat.
Im klassischen Modell kann zusammen mit der Annahme von Realismus und Lokalität die Bellsche Ungleichung für die Wahrscheinlichkeiten hergeleitet werden. Im quantentheoretischen Modell können die Wahrscheinlichkeiten für alle Einstellungen der Filter berechnet und mit dem Experiment verglichen werden. Das durchgeführte Experiment ist mit dem klassischen Modell nicht vereinbar, weil die Messwerte die Bellsche Ungleichung nicht erfüllen. Die Vorhersagen der quantentheoretischen Rechnung werden durch das Experiment dagegen bestätigt.
Die Ungleichung bei der Annahme verborgener Variablen Ein aus mehreren Komponenten (α und β) zusammengesetztes System muss in der Quantentheorie häufig als ein Objekt (α,β) mit eigenen Zuständen behandelt werden. Unter den möglichen Zuständen gibt es dann stets auch solche, die nicht beschrieben werden können, indem man einen Zustand von α und einen von β benennt. In einem solchen Zustand des Systems heißen α und β miteinander verschränkt. So können zwei Photonen α und β derart miteinander verschränkt sein, dass bei einem Test an parallelen Polarisationsfiltern stets beide passieren oder beide absorbiert werden, und dies für jede beliebige Orientierung der (parallelen) Filter. Ein verschränktes System bleibt ein Quantenobjekt, auch, wenn die Komponenten räumlich voneinander getrennt werden. Die Tests an α und β können daher räumlich wie zeitlich beliebig entfernt voneinander stattfinden. Ob die zwei Photonen das eine oder das andere Schicksal haben, ist nicht vorhersehbar. In dem hier betrachteten Experiment wird ein Strom von derart verschränkten Photonenpaaren erzeugt und davon jeweils ein Photon an das Labor von Alice, das andere an das davon entfernte Labor von Bob verschickt. Alice testet die lineare Polarisation ihrer Photonen in zufälliger Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer von drei Messrichtungen . Bob misst ebenso zufällig in den gleichen Richtungen . Der gewählte Zustand bewirkt, dass Alices und Bobs Photonen gleich reagieren, wenn sie in der gleichen Richtung getestet werden.
Die beiden möglichen mit einem Filter bestimmten Werte der linearen Polarisation werden in der Literatur üblicherweise mit für horizontal und für vertikal bezeichnet. Die Hypothese besteht in der Annahme, dass jedes Photon eine Art von individuellen Eigenschaften besitzt, die verborgenen Variablen, die ihm für jede Messrichtung vorgeben, ob es bei einem Test als horizontal oder vertikal polarisiert reagieren wird. Das korrelierte Verhalten verschränkter Photonen beruht nach dieser Hypothese darauf, dass ihre verborgenen Variablen entsprechend korreliert sind. Zu den drei Orientierungen der Filter in dem betrachteten Experiment hat demnach jedes der einlaufenden Photonen eine Voreinstellung auf horizontal oder vertikal, in Zeichen . Jede Messung offenbart die entsprechende Voreinstellung, und diese Voreinstellungen sind wegen der Verschränkung für Alices und Bobs Photon identisch.