Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens n-Eckszahlen darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, dem zufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:

Ein solches Buch hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange bewies 1770 den Spezialfall des Vier-Quadrate-SatzesJoseph Louis Lagrange: In: Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, 1770. Berlin 1772, S. 123–133. und Carl Friedrich Gauß 1796 (unveröffentlicht, er gab aber Beweise für den Fall der Quadrate und Kuben in seinen Disquisitiones arithmeticae) und Legendre (1798) den Spezialfall für Dreieckszahlen.Am 10. Juli 1796 schrieb Gauß in sein Tagebuch: „EYPHKA num = Δ + Δ + Δ“. Ein Beweis findet sich in Hermann Maser (Hrsg.): Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über Höhere Arithmetik. Berlin: Springer, 1889, S. 333–334, Art. 293. Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1815.Augustin Louis Cauchy: Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones. In: Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 14 (1813–1815), S. 177–220. Der Beweis von Cauchy galt damals als Sensation und machte ihn berühmt.Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A Biography. New York: Springer, 1991, S. 46.

Beweisstruktur Für den Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes werden zunächst die Beweise des Dreieckszahlensatzes sowie des Vier-Quadrate-Satzes vorausgesetzt. Für wird nun das Lemma von Cauchy bewiesen, welches besagt, dass für mit und existieren mit folgenden Eigenschaften:

Mithilfe dieses Satzes kann nun der Fermatsche Polygonalzahlensatz bewiesen werden, indem Bedingungen aufgestellt werden, unter denen die Voraussetzungen des Cauchyschen Lemmas gelten.

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Einzelnachweise

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