In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form
Ein Kettenbruch () ist also ein gemischter Bruch der Form , bei dem der Nenner wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt.
Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden, und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird.
Von besonderer Bedeutung sind regelmäßige Kettenbrüche, auch reguläre oder einfache Kettenbrüche genannt. Ein solch regelmäßiger (regulärer/einfacher) Kettenbruch () zeichnet sich dadurch aus, dass alle Zähler den Wert haben. Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als .Oskar Perron spricht von „regelmäßigen Kettenbrüchen“. Die Bezeichnung der regelmäßigen Kettenbrüche als „einfache Kettenbrüche“ () findet man zum Beispiel schon in Carl Douglas Old: „Continued fractions“, Mathematical Association of America, 1963. Siehe auch Jörg Arndt, Christoph Haenel: „Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik.“ 2. Auflage. Springer Verlag, 2000, S. 65.
Daneben spielen die mit den regulären Kettenbrüchen eng verwandten negativ-regelmäßigen Kettenbrüche eine Rolle. Bei ihnen sind alle Zähler auch alle gleich, jedoch gleich (sie werden auch Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche genannt).Benannt nach Friedrich Hirzebruch und Heinrich Jung. Bei Oskar Perron werden noch weitere Klassen von Kettenbrüchen systematisch behandelt.
Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischen Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme zur Anwendung.Zur Anwendung in der Kryptographie siehe z. B. das Buch „Solving the Pell Equation“ von M. Jacobson und Hugh C. Williams und zur algebraischen Geometrie den Artikel The geometry of continued fractions and the topology of surface singularities von Patrick Popescu-Pampu, math.univ-lille1.fr (PDF; 676 kB), in dem auch die geometrische Darstellung von H. J. S. Smith (1876) und Felix Klein (1895) und die Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche erläutert werden (diese ähneln regulären Kettenbrüchen, wobei hier statt Addition die Subtraktion verwendet wird. Der Bruch wird so beispielsweise als geschrieben.) Für die Anwendung in der Funktionentheorie siehe das Buch von H. S. Wall und bei chaotischen Systemen die Webseite von John D. Barrow, Chaos in Numberland.
mini|Joseph-Louis Lagrange gilt zusammen mit Leonhard Euler als der Begründer der Kettenbruchtheorie
Geschichte Regulärer KettenbruchDass dieser Kettenbruch gleich der Quadratwurzel von 2 ist, wird im Abschnitt Periodische Kettenbrüche gezeigt. Lamberts Kettenbruch für Lamberts Kettenbruch für den TangensLamberts Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion, siehe dafür Ebbinghaus u. a.: Zahlen. 3. Auflage, Springer, 1992, S. 122.
Kettenbrüche werden seit dem 16. Jahrhundert dazu verwendet, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden. Das bekannteste Beispiel ist die Näherung für .
mini|Deliciae physico-mathematicae, 1636 Rafael Bombelli verwendete Kettenbrüche bereits 1579, um damit Quadratwurzeln zu berechnen. Im Jahr 1613 veröffentlichte Pietro Cataldi ein Buch, in dem unter anderem auch Kettenbrüche auftauchen. 1636 finden sich Kettenbrüche im Buch Deliciae Physico-Mathematicae von Daniel Schwenter und ab 1655 in mehreren Büchern von John Wallis. Aus dem Bedürfnis, Brüche mit großen Nennern sowie natürliche Konstanten zu approximieren, beschäftigte sich zunächst Christiaan Huygens im 17. Jahrhundert mit Kettenbrüchen. Er berechnete damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens ermittelte für die Umlaufzeit um die Sonne das Verhältnis zwischen Saturn und Erde als
Der reguläre Kettenbruch hierfür beginnt mit . Approximiert man dieses Verhältnis mit dem Näherungsbruch, der entsteht, wenn man nur die ersten vier Einträge verwendet, dann beträgt der FehlerDie Angabe des relativen Fehlers ist hier nicht sinnvoll, da sich die Approximationseigenschaften einer Zahl nicht durch Addition von ganzen Zahlen ändern. nur , da
In Leonhard Eulers KorrespondenzLeonhard Euler und Chr. Goldbach, Briefwechsel. treten Kettenbrüche hingegen zuerst in einem ganz anderen Zusammenhang auf, nämlich in Verbindung mit der Riccatischen Differentialgleichung. Bald jedoch interessierte sich Euler für Kettenbrüche um ihrer selbst willen. Er entdeckte nämlich die folgenden drei wichtigen Eigenschaften: Jede rationale Zahl kann durch einen endlichen regulären Kettenbruch dargestellt werden (der mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden kann). Periodische reguläre Kettenbrüche stellen quadratische Irrationalzahlen dar; diese Aussage bewies Euler als Erster. Die Entwicklung jeder reellen Zahl in einen regulären Kettenbruch liefert die besten rationalen Approximationen für diese Zahl.
Einige dieser Erkenntnisse hatte bereits Huygens gewonnen, dessen Arbeit Euler aber unbekannt war. Eulers Arbeiten – und darauf aufbauend die von Joseph-Louis Lagrange – begründeten die Theorie der Kettenbrüche.
Zur rationalen Approximation existiert neben dem Algorithmus von Euler auch ein Algorithmus von Lord William Brouncker. Euler zeigte um 1759, dass die beiden Algorithmen identisch sind. Johann Heinrich Lambert benutzte Kettenbrüche in seiner Arbeit von 1766 dazu, die Irrationalität von zu zeigen. Seine Kettenbruchentwicklung der Tangensfunktion ist in der Abbildung rechts dargestellt.
Moritz Abraham Stern schuf 1832 die erste systematische Zusammenfassung der Theorie der Kettenbrüche. Es gibt auch eine Zusammenfassung mehrerer Artikel dieser Zeitschrift in Buchform aus dem Jahr 1834. Im 19. Jahrhundert entwickelte sich die Theorie rasch weiter und so veröffentlichte Oskar Perron im Jahre 1913 eine Zusammenfassung des Wissensstandes, die bis heute als ein Standardwerk gilt (Neuauflage 1954/57).
Weitere wichtige Anwendungen waren und sind: Beweise für die Irrationalität oder die Transzendenz spezieller Zahlen und die Ermittlung von Schaltjahren (da ein Jahr mit 365,24219 Tagen etwas kürzer als 365¼ Tage ist, bedarf es zusätzlich zum Schalttag alle vier Jahre einer weiteren Korrektur; die beste Wahl dafür lässt sich mit Kettenbrüchen begründen).
Definition Begriff des Kettenbruchs Ein (endlicher oder unendlicher) Kettenbruch hat die Form
oder (im regulären Fall) ,
wobei und die für reelle oder komplexe Zahlen und alle auftretenden Nenner sind.
Meist gilt sogar und für .
Die Brüche bzw. werden Teilbrüche genannt, heißt der -te Teilzähler und der -te Teilnenner.In der älteren Literatur werden und oft vertauscht, sodass die Teilnenner heißen. Die Teilzähler und Teilnenner nennt man (an Oskar Perron anschließend) auch Elemente des Kettenbruchs.
Ein Kettenbruch, der sich nach einem Teilbruch nicht weiter fortsetzt, ist ein endlicher Kettenbruch.Eine formale Definition findet man im Abschnitt Darstellung als Komposition von Abbildungen.
Reguläre Kettenbrüche sind in der Zahlentheorie der bei weitem wichtigste Kettenbruchtyp. Bei der Approximation von reellen oder komplexen Funktionen verwendet man auch Kettenbrüche mit Unbekannten.Siehe zum Beispiel den lambertschen Kettenbruch für die Tangensfunktion im Abschnitt Geschichte!
Manchmal benötigt man einen endlichen regulären Kettenbruch, bei dem der letzte Eintrag eine reelle (nicht-ganze) Zahl ist. Dies ermöglicht zum Beispiel die Schreibweise usw. für die goldene Zahl. Auch werden bisweilen Kettenbrüche mit benutzt.
Notation Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist
In Anlehnung an die Summen- und Produktzeichen und führte Gauß hierfür auch die folgende Schreibweise ein:
Ein regulärer Kettenbruch wird oft in der folgenden Weise geschrieben:Außer den hier angegebenen Schreibweisen gibt es noch (zum Beispiel in Conway, Guy: The book of numbers. Springer, 1996), (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) sowie (z. B. in Donald Knuth: The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997).
Hierbei wird gesondert aufgeführt, weil es anders als die nachfolgenden auch negativ sein kann.
Die Notation für endliche Kettenbrüche ist dementsprechend
Darstellung als Komposition von Abbildungen Man kann einen Kettenbruch auch als eine Komposition von Abbildungen darstellen. Dies liefert eine formalere Definition als die bisher gegebene.
Hierfür setzt man und erhält
Die Definition unendlicher Kettenbrüche erfolgt durch eine Grenzwertbetrachtung im Abschnitt Unendliche Kettenbrüche.
Endliche Kettenbrüche Endliche Kettenbrüche und ihre Näherungsbrüche Von nun an betrachten wir ausschließlich reguläre Kettenbrüche. Bricht man den Kettenbruch nach dem -ten Glied ab für ein , so heißt
sein -ter Näherungsbruch (oder auch -te Konvergente). Die ersten Näherungsbrüche lauten offenbar
.
Bei dem Beispiel 41/29 = [1; 2, 2, 2, 2] sind das die Brüche . Der dritte Näherungsbruch lautet und der vierte ist gleich , also identisch mit dem Ausgangsbruch.
Mit vollständiger Induktion beweist man das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche ( und werden pro forma auch für definiert, damit die Formeln ab stimmen):
sowie die Beziehung
.
Daraus folgt, dass Näherungsbrüche stets in gekürzter Form vorliegen (wenn und beide durch eine natürliche Zahl größer als teilbar wären, dann müsste auch die rechte Seite durch diese Zahl teilbar sein, was aber nicht der Fall ist). Dividiert man durch , so folgt:
Beispielsweise hat man für den zweiten und dritten Näherungsbruch von die Beziehung
.
Auf ähnliche Weise zeigt man
und
Diese Formeln sind grundlegend für die weiter unten besprochenen Konvergenzfragen bei unendlichen Kettenbrüchen.
Matrixdarstellung Das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche lässt sich auch elegant in Matrixform schreiben. Man erhält dann (wieder mit vollständiger Induktion zu beweisen):
Da die Determinante jeder der Matrizen auf der linken Seite beträgt, folgt sofort
und Multiplikation mit zeigt erneut die oben angegebene Gleichung.
Durch Transponieren beider Seiten der Gleichung folgt nun (da die Transposition des Produktes auf der linken Seite die Reihenfolge seiner Faktoren umkehrt), dass und gelten.
Beispiel: Die Näherungsbrüche von lauten , , und . Es gilt
und die Transposition
ergibt sowie .Siehe Alf van der Poorten: Symmetry and folding of continued fractions. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 14 (2), 603–611 (2002).
Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus mini|165px|Umformung von 17/10 nach [1; 1, 2, 3] geometrisch veranschaulicht
Die Umwandlung einer rationalen Zahl in einen Kettenbruch erfolgt mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.
Als Beispiel rechnen wir für wie folgt:
Siehe dazu auch den Abschnitt Kettenbruchzerlegung im Artikel über den euklidischen Algorithmus. In der Abbildung ist dieses Verfahren veranschaulicht. Aus der folgenden Gleichungskette ist ersichtlich, dass die Kettenbruchentwicklung durch wiederholtes Einsetzen der Gleichungen des euklidischen Algorithmus entsteht: