Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem, auch nyquist-shannonsches Abtasttheorem und in neuerer Literatur auch WKS-Abtasttheorem (für Whittaker, Kotelnikow und Shannon) genannt, ist ein grundlegendes Theorem der Nachrichtentechnik, Signalverarbeitung und Informationstheorie. Wladimir Kotelnikow formulierte das Abtasttheorem 1933. Die Veröffentlichung in einem sowjetischen Konferenzbericht wurde im Osten seit den 1950er Jahren referenziert, blieb aber allgemein im Westen bis in die 1980er weitgehend unbekannt. Unabhängig von Kotelnikow formulierte Claude Elwood Shannon es 1948 als Ausgangspunkt seiner Theorie der maximalen Kanalkapazität, d. h. der maximalen Bitrate in einem frequenzbeschränkten, rauschbelasteten Übertragungskanal.Claude Elwood Shannon: Communication in the Presence of Noise (PDF; 301 kB). In: Proc. IRE. Vol. 37, No. 1, 1949 (Nachdruck in: Proc. IEEE. Vol. 86, No. 2, 1998)
Das Abtasttheorem besagt, dass ein auf bandbegrenztes SignalAlgorithmic Information Theory: Mathematics of Digital Information Processing, Peter Seibt, Springer, 2006, ISBN 3-540-33219-7, S. 216 (). aus einer Folge von äquidistanten Abtastwerten exakt rekonstruiert werden kann, wenn es mit einer Frequenz von größer abgetastet wurde. Das Konzept führt auf die Nyquist-Frequenz.
Geschichtliche Entwicklung Claude Shannon stützte sich auf Überlegungen von Harry Nyquist zur Übertragung endlicher Zahlenfolgen mittels trigonometrischer Polynome und auf die Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und dessen Sohn John Macnaghten Whittaker (1928). Zu ähnlichen Resultaten wie Nyquist kam Karl Küpfmüller 1928.K. Küpfmüller: Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. In: Elektrische Nachrichtentechnik. Bd. 5, Nr. 11, 1928, S. 459–467.
Erst die Rechercheure der Eduard-Rhein-Stiftung haben die Priorität (1933) von Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow zweifelsfrei nachgewiesen. Dafür bekam er 1999 den Eduard-Rhein-Preis.
Unabhängig von Kotelnikow formulierte Herbert P. Raabe das Abtasttheorem 1939.Hans Dieter Lüke: The Origins of the Sampling Theorem, IEEE Communications Magazine, S. 106–108, April 1999. Online-Version (PDF; 53 kB).
Grundlagen mini|370px|Ein Beispiel für die Erhöhung der Signalfrequenz über die halbe Abtastfrequenz. Die Abtastfrequenz ist in allen Teilabbildungen dieselbe. Allerdings steigt nach unten hin die größte im Signal enthaltene Frequenz an. Die gestrichelten Linien sind mögliche Signale, die bei der vorliegenden Abtastung die gleichen Messpunkte hätten. Das von Shannon formulierte Abtasttheorem besagt, dass eine Funktion, die keine Frequenzen höher als enthält, durch eine beliebige Reihe von Funktionswerten im Abstand eindeutig bestimmt ist. Eine hinreichende Bedingung dafür ist die Quadratintegrierbarkeit der Funktion.
Der Funktionsverlauf kann dann rekonstruiert werden, indem jeder Abtastwert durch eine sinc-Funktion mit gleicher Amplitude ersetzt und anschließend über alle k summiert wird.
In der Signalverarbeitung entspricht dies der Abtastung mit einer Abtastrate . Die so erhaltene Signaldarstellung wird Pulsamplitudenmodulation genannt. Zur Rekonstruktion wird dieses Signal durch einen idealen Tiefpass mit Grenzfrequenz gefiltert.
Bei Nicht-Basisband-Signalen, d. h. solchen mit minimaler Frequenz fmin größer als 0 Hz, gilt das Abtasttheorem in ähnlicher Form, da durch geeignete Wahl der Abtastfrequenz, das Bandpasssignal im Basisband nach der Abtastung erscheint. Die Abtastfrequenz muss dann lediglich größer als die doppelte Bandbreite sein (siehe auch Unterabtastung). Bei der Rekonstruktion wird hier statt eines idealen Tiefpasses ein idealer Bandpass verwendet.
Bei der Unterabtastung eines Bandpasssignals gilt:
In der Praxis wird ein Signal vor der Abtastung meist tiefpassgefiltert, damit die (Basis-)Bandbreite der Abtastrate genügt. Analog gilt das Abtasttheorem auch bei Bildern und Videos, wobei die Abtastfrequenz dann in Linien (bzw. Pixel) pro Längeneinheit bestimmt werden kann.
Anschauung Wie im Artikel Abtastung (Signalverarbeitung) beschrieben ist, kann man das Abtasten eines Signals durch die Multiplikation mit einem Dirac-Kamm modellieren, wodurch man das abgetastete Signal erhält. Nach der Umkehrung des Faltungstheorems ergibt sich damit die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals durch:
wobei periodisch mit der Periode ist und der Abstand zwischen 2 Abtastzeitpunkten ist. Unterschreitet man nun mit der Abtastfrequenz die Frequenz (für Basisbandsignale), so werden niedrigere und höhere Frequenzkomponenten im Frequenzraum überlagert und können anschließend nicht mehr getrennt werden.Thomas Görne: Tontechnik. Hanser Verlag, 2008, ISBN 3-446-41591-2, S. 153 ().
Die Dauer eines technischen Abtastpulses ist allerdings nicht beliebig kurz. Deswegen liegt in der Praxis das Frequenzspektrum einer Rechteckpulsfolge vor statt das einer Diracstoßfolge. (Der Diracstoß ist anschaulich eine Funktion, die nur an einer einzigen Stelle (t = 0) unendlich groß ist und an allen anderen Stellen verschwindet. Eine mathematisch saubere Definition erfolgt im Rahmen von Distributionen.)
Erklärung der Begriffe Bandbeschränktes Signal Ein in der Bandbreite beschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=fmax ist eine Funktion, für welche die Fouriertransformierte existiert und diese Fouriertransformierte außerhalb des Intervalls Null ist. Dann kann umgekehrt das bandbeschränkte Signal durch die inverse Fouriertransformation der Frequenzdichte dargestellt werden: . „Gute“, zulässige Funktionen für die Frequenzdichte X sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen, für die in jedem Punkt beide der einseitigen Grenzwerte existieren. Allgemeiner sind Funktionen aus dem Funktionenraum zulässig.
Ist x reellwertig, so gilt . Wird X in Polarkoordinaten dargestellt, , so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden, . In der kartesischen Darstellung ergibt sich analog .
Abtasten mit der doppelten Frequenz Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand beträgt, d. h., aus x wird die Zahlenfolge konstruiert. Nach der Fourierdarstellung ergeben sich diese Werte aus der Frequenzdichte als . Diese sind aber gerade die Koeffizienten in der Fourierreihenentwicklung
Somit ist die Frequenzdichte und damit das Signal schon durch die Werte der Abtastfolge vollständig determiniert.
Rekonstruieren ohne Informationsverlust Rekonstruieren ohne Informationsverlust bedeutet, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitet auf den Fall mit unendlich vielen, regelmäßig angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt . Man beachte, dass man mit diesen Formeln in der Mathematik zwar ausgezeichnet arbeiten kann, sie sich aber in realen Abtastsystemen so nicht realisieren lassen. Zur Bestimmung eines jeden Signalwertes wäre eine Summation über einen unendlichen Bereich notwendig. Außerdem müssten unendlich viele Takte abgewartet werden, bevor die Summation abgeschlossen werden kann. Weil das nicht möglich ist, entstehen in der Praxis unvermeidliche Fehler.
Die Funktion , der Sinus cardinalis (sinc), ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen; es ist sinc(0)=1 und sinc(n)=0 für jedes weitere ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch, nach Whittakers Notation, als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die herausragende Rolle als „schwankungsärmste“ unter allen interpolierenden Funktionenreihen. Die sinc-Funktion hat, bis auf einen Faktor, die Rechteck-Funktion als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall , sonst den Wert Null. Sie ist also bandbeschränkt mit höchster Frequenz 1/2.
Die Entwicklung als Kardinalreihe ergibt sich nun ganz natürlich, indem die Fourierreihe der Frequenzdichte in die inverse Fouriertransformation eingesetzt wird,
Signal in Bandpasslage Ein reelles Signal in Bandpasslage muss, um Abtastung durch Funktionswerte zu erlauben, eine nur für Frequenzen aus dem Intervall nicht verschwindende Fourier-Transformierte haben. Dann ist F die einseitige Bandbreite. Dieses kann auf Frequenzbänder beliebigen Zuschnitts verallgemeinert werden, allerdings ist dann das Abtasten nicht durch Funktionswerte, sondern durch Skalarprodukte zu definieren. Ein Beispiel dafür ist das Frequenzmultiplexverfahren, siehe auch OFDM.
Bemerkung: Kein endliches Signal, d. h., keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebenso wenig fallen periodische Signale, wie zum Beispiel reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genauso wenig Signale mit Unstetigkeiten (Knicken oder Sprüngen im Verlauf). Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, die zur Weiterverarbeitung digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z. B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für die dieses Theorem dann Richtschnur ist.vgl. Michael Unser: Sampling – 50 Years after Shannon. In: Proceedings of the IEEE. Vol. 88, No. 4, 2000, S. 569–587.
Mathematischer Hintergrund Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation.
Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich [-½; ½], bzw. [-π; π] als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es zum Beispiel stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion, , und hat eine Fourier-Transformierte mit Träger .
Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt: .
Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t).
Die Identität einer bandbeschränkten Funktion mit ihrer oben angegebenen Kardinal-Reihe (nach Whittaker) ergibt sich aus der Poissonschen Summenformel, es gilt , woraus sich nach der Formel der Inversen Fourier-Transformation
Durch geschickte Anwendung der allgemeinen Abtastformel kann man auch verallgemeinerte Kardinalreihenentwicklungen erhalten, zum Beispiel , d. h., die Abtastrate ist halbiert, dafür werden an jedem Abtastpunkt zwei Werte genommen, der Funktionswert und die erste Ableitung. Es wird gewissermaßen lokal linear entwickelt und die Entwicklungen mittels einer Zerlegung der Eins „zusammengeklebt“. Formeln mit Ableitungen höherer Ordnung erlauben keine so einfache Interpretation.siehe J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. In: Bulletin of the American Mathematical Society. NS Vol. 12, No. 1, 1985, S. 45–89.
Ist f bandbeschränkt auf Kreisfrequenzen aus dem Intervall und sind paarweise verschiedene reelle Zahlen, so gilt
Der erste Faktor im Summanden ist die Kernfunktion einer Zerlegung der Eins, der zweite Faktor ein Interpolationspolynom, das der Lagrange-Interpolation ähnlich sieht. Lässt man die ak simultan nach 0 laufen und ersetzt durch das Taylor-Polynom vom Grad N-1 oder größer, so ergeben sich beliebig komplexe differentielle Kardinalreihen.
Tiefpass zur Verhinderung von Aliasing
Wird die Abtastfrequenz zu klein gewählt, treten im digitalisierten Signal Mehrdeutigkeiten auf. Diese nichtlinearen Verzerrungen sind auch unter dem Begriff Alias-Effekt bekannt. Bei Bildern treten eventuell phasenverschobene Schatten oder neue Strukturen auf, die im Original nicht enthalten sind.
Den unteren Grenzwert der Abtastfrequenz für ein analoges Signal der Bandbreite