Die verallgemeinerte Konvexität () ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Konvexitätsbegriff für Funktionen und Mengen, die sich insbesondere bei der Behandlung nicht-konvexer Optimierungsprobleme als nützlich erweist.
Φ-Konvexität
Gegeben sei eine Menge und die Menge aller Abbildungen von nach
Eine Menge heißt Referenzsystem für genau dann, wenn gilt:
Φ-konvexe Funktion
Eine (erweiterte) reellwertige Funktion heißt -konvex genau dann, wenn eine Menge existiert, so dass
gilt.
Φ-konvexe Menge
Eine Menge heißt -konvex genau dann, wenn es eine Menge gibt und zu jedem ein existiert, so dass
Beispiele
Nimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen, also , dann stimmt die -Konvexität mit der gewöhnlichen Konvexität überein.
Die Lipschitz-stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak-Funktionen -konvex.
Siehe auch Konvexe Funktion Konvexe Menge Konvexe Optimierung
Literatur
Kategorie:Optimierung