350px|mini|Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts. Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen , eines metrischen Raums .
Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.
Definition
Als Hilfsmittel definiert man den Abstand zwischen einem Punkt und einer nichtleeren kompakten Teilmenge unter Rückgriff auf die Metrik des Raums als
Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen und als
Man kann zeigen, dass in der Tat eine Metrik auf der Menge aller nichtleeren kompakten Teilmengen von ist.
Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als ,
wobei
,
dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens zur Menge .
Eigenschaften
Ist der metrische Raum vollständig, so ist auch der metrische Raum vollständig.
Anwendungen
In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.
Siehe auch Hausdorff-Konvergenz Auswahlsatz von Blaschke Gromov-Hausdorff-Metrik
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Topologie Kategorie:Felix Hausdorff Kategorie:Metrischer Raum