Mehrwertige Logik ist ein Oberbegriff für alle logischen Systeme, die mehr als zwei Wahrheitswerte verwenden.
Ausgangspunkt für die Entwicklung mehrwertiger Logiken war die erkenntnistheoretische Frage, ob dem Prinzip der Zweiwertigkeit außerlogische Wahrheit zukommt. Für Aussagen über die Zukunft stellt bereits Aristoteles diese Frage, indem er argumentiert, dass die Wahrheit einer Aussage wie „Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden“ erst am Abend des morgigen Tages feststehen wird und dass sie bis zu diesem Zeitpunkt noch als unbestimmt und damit als kontingent möglich betrachtet werden muss.Aristoteles, De interpretatione c. 9., zitiert nach Ewald Richter: Logik, mehrwertige. In: Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 5, S. 444
Die erste im modernen Sinn formalisierte mehrwertige Logik ist die im Jahre 1920 von Jan Łukasiewicz vorgestellte dreiwertige Logik L3. Ihre drei Wahrheitswerte interpretiert Łukasiewicz unter Berufung auf das Seeschlacht-Beispiel des Aristoteles als „wahr“, „falsch“ und – für zukünftige Aussagen, deren Wahrheit noch nicht feststeht – „(kontingent) möglich“.
In neuerer Zeit haben mehrwertige Logiken im Bereich der Informatik hohe praktische Bedeutung gewonnen. Sie ermöglichen den Umgang mit der Tatsache, dass Datenbanken nicht nur eindeutig bestimmte, sondern auch unbestimmte, fehlende oder sogar widersprüchliche Informationen enthalten können.
Grundlagen mehrwertiger Logik
Während mehrwertige Logik mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit eines der beiden Grundprinzipien der klassischen Logik aufgibt, behält sie deren anderes Grundprinzip, das Extensionalitätsprinzip, bei: Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist weiterhin eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt.Quelle für diesen und die folgenden Absätze ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.1 „Grundprinzipien der mehrwertigen Logik“, S. 19 f. (siehe Literaturliste)
Im Gegensatz zur klassischen Logik ist die Deutung der Wahrheitswerte bei mehrwertigen Logiken weniger natürlich vorgegeben. Es sind zahlreiche unterschiedliche Interpretationen vorgeschlagen worden. Aus diesem Grund und weil viele Deutungen, die mehr als zwei Werte nicht als Abstufungen oder Arten von Wahrheit und Falschheit ansehen, sondern zum Beispiel epistemisch als Abstufung von Erkenntnis oder Gewissheit (zum Beispiel mit den drei Werten „als wahr bekannt“, „unbekannt“ und „als falsch bekannt“), werden die Werte mehrwertiger Logik häufig nicht als Wahrheitswerte, sondern als Pseudowahrheitswerte oder als Quasiwahrheitswerte bezeichnet. Aus Gründen der Kompaktheit verwendet dieser Artikel dennoch durchgehend die Bezeichnung „Wahrheitswert“.
Neben dem Problem der Deutung der Wahrheitswerte stellen sich beim Umgang mit mehrwertiger Logik zahlreiche Aufgaben technischer Natur und es ergeben sich weitere Deutungsprobleme: Grundlegende Begriffe wie jener der Tautologie, jener der Kontradiktion oder jener der Folgerung müssen neu definiert und gedeutet werden.
Tautologien und designierte Wahrheitswerte In der klassischen Logik sind Tautologien definiert als Aussagen, die immer (das heißt ungeachtet dessen, wie die in ihnen auftretenden atomaren Aussagen bewertet werden) wahr sind. Um den Begriff „Tautologie“ für die mehrwertige Logik nutzbar zu machen, muss man einen oder mehrere der Pseudowahrheitswerte auszeichnen. Der Begriff „Tautologie“ lässt sich dann an die mehrwertige Logik anpassen, indem man all jene Aussagen als Tautologien bezeichnet, die stets, das heißt unter jeder Bewertung, einen der ausgezeichneten Wahrheitswerte annehmen. Diese ausgezeichneten Wahrheitswerte nennt man auch designierte Wahrheitswerte.Diese und die folgenden Definitionen folgen insbesondere Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.3.3 „Ausgezeichnete Quasiwahrheitswerte, Tautologien und Folgerungen“, Seite 32ff. (siehe Literaturliste) Kontradiktion und negativ designierte Wahrheitswerte Will man den Begriff „Kontradiktion“ auf die mehrwertige Logik ausdehnen, so hat man dazu zwei Möglichkeiten: Man kann einerseits einen oder mehrere der Wahrheitswerte negativ hervorheben und dann all jene Aussagen als Kontradiktionen bezeichnen, die immer – das heißt unter jeder Bewertung – einen negativ designierten Wahrheitswert liefern. Andererseits kann man eine Aussage als Kontradiktion bezeichnen, deren Negation eine Tautologie ist. Vorausgesetzt wird dabei, dass eine geeignete Negation zur Verfügung steht und geklärt ist, welche der mehrwertigen Negationen für diesen Zweck geeignet ist. Folgerung Mit Hilfe des Konzepts der designierten Wahrheitswerte lässt sich der Folgerungsbegriff analog zu jenem der klassischen Logik leicht auf mehrwertige Logik ausdehnen: Ein Argument ist demnach genau dann gültig, wenn unter allen Bewertungen, unter denen alle Prämissen des Arguments designierte Wahrheitswerte annehmen, auch seine Konklusion einen designierten Wahrheitswert annimmt.
Systeme mehrwertiger Aussagenlogik
Kleene-Logik K3
Die Kleene-Logik enthält drei Wahrheitswerte, nämlich 1 für „wahr“, 0 für „falsch“ und , das hier auch als i bezeichnet wird und für „weder wahr noch falsch“ steht. Kleene definiert die Negation , Konjunktion , Disjunktion und Implikation durch folgende Wahrheitswertfunktionen:
Damit bildet – wie zum Beispiel auch bei Łukasiewiczs dreiwertiger Logik , siehe dort – die Disjunktion das Maximum und die Konjunktion das Minimum der verknüpften Wahrheitswerte und errechnet sich die Negation einer Aussage mit Wahrheitswert als .
Betrachtet man 1 als einzigen designierten Wahrheitswert, dann gibt es in keinerlei Tautologien; betrachtet man sowohl als auch 1 als designiert, dann ist die Menge der Tautologien in identisch mit der Menge der klassischen, zweiwertigen Aussagenlogik.vgl. Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Seite 44 (siehe Literaturliste)
Gödel-Logiken Gk und G∞
Gödel definiert 1932Kurt Gödel: Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. In: Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, 69, S. 65 f. eine Familie mehrwertiger Logiken mit endlich vielen Wahrheitswerten , sodass zum Beispiel die Wahrheitswerte und die Wahrheitswerte umfasst. Analog definiert er eine Logik mit unendlich vielen Wahrheitswerten, , bei der als Wahrheitswerte die reellen Zahlen im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Designierter Wahrheitswert ist bei jeder dieser Logiken 1.
Die Konjunktion und die Disjunktion definiert er als Minimum bzw. Maximum der Formelwahrheitswerte:
Die Negation und Implikation werden durch folgende Wahrheitswertfunktionen definiert:
Die Gödelschen Systeme sind vollständig axiomatisierbar, d. h., es lassen sich Kalküle aufstellen, in denen alle Tautologien des jeweiligen Systems herleitbar sind.
Łukasiewicz-Logiken Lv
Die Implikation und die Negation definiert Jan Łukasiewicz durch folgende Wahrheitswertfunktionen:
Als erstes entwickelt Łukasiewicz nach diesem Schema 1920 seine dreiwertige Logik, das System , mit den Wahrheitswerten . 1922 folgt seine unendlichwertige Logik , in der er die Menge der Wahrheitswerte auf das Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1 erweitert. Designierter Wahrheitswert ist in beiden Fällen 1.Quelle für diese und die folgenden Informationen zu den Łukasiewicz-Logiken ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Seite 41ff. und Seite 45ff (siehe Literaturliste)
Verallgemeinert zu zerfallen die Łukasiewicz’schen Logiken in die endlichwertigen Systeme (Wahrheitswertmenge wie bei Gödel ), in das bereits angesprochene und in , bei der als Wahrheitswerte die rationalen Zahlen (d. h. Brüche) im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Die Menge der Tautologien, das heißt der Aussagen mit designiertem Wahrheitswert, ist bei und identisch.
Produktlogik Π
Die Produktlogik enthält eine Konjunktion und eine Implikation , die folgendermaßen definiert werden:Petr Hajek: Fuzzy Logic. In: Edward N. Zalta: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2009. (plato.stanford.edu)
für :
Zusätzlich enthält die Produktlogik eine Wahrheitswertkonstante , die den Wahrheitswert „falsch“ bezeichnet.
Mittels der zusätzlichen Konstanten können eine Negation und eine weitere Konjunktion folgendermaßen definiert werden:
Post-Logiken Pm
Post definiert 1921 eine Familie von Logiken mit (wie bei und ) den Wahrheitswerten . Negation und Disjunktion definiert Post folgendermaßen:
Vierwertige Logik von Belnap
Hauptartikel: Belnaps vierwertige Logik
Nuel Belnap entwickelte 1977 seine vierwertige Logik mit den Wahrheitswerten t (true, wahr), f (falsch), u (unbekannt) und b (beides, also einer widersprüchlichen Information).
Bočvar-Logik B3
Die Bočvar-LogikДмитрий Анатольевич Бочвар: Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления. Математический сборник 46(1938)4, S. 287–308Siegfried Gottwald: Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendung. Akademie-Verlag, Berlin 1989, S. 165 ff.Georg Gottlob: Mehrwertige Logik und Informatik. In: Franz Pichler (Hrsg.): Europolis 6. Informatik für Spiele und Verkehr. Extension der Mengenlehre. Universitätsverlag Trauner, Linz 2006, S. 396–405. (von Dmitrij Anatoljewitsch Bočvar, geschrieben auch Bochvar oder Botschwar) enthält zwei Klassen von Junktoren, nämlich die inneren Junktoren einerseits und die äußeren Junktoren andererseits. Die inneren Junktoren Negation , Implikation , Disjunktion , Konjunktion und Bisubjunktion entsprechen denen der klassischen Logik. Die äußeren Junktoren Negation , Implikation , Disjunktion , Konjunktion und Bisubjunktion sind metasprachlicher Natur und sind die folgenden:
( ist falsch) (ist wahr, so auch ) ( ist wahr oder ist wahr) ( ist wahr und ist wahr) ( ist wahr gdw ist wahr)
Die Wahrheitswertfunktionen entsprechen denen der Kleene Logik .
Für die Definition der äußeren Junktoren wird ein weiterer einstelliger Junktor hinzugenommen, nämlich die externe Bestätigung mit der Wahrheitswertfunktion
Damit lassen sich die äußeren Junktoren, wie folgt, definieren:
Die Logik der äußeren Junktoren, welche eine Unterscheidung zwischen 0 und i trifft, entspricht exakt der klassischen Logik.
Bayeslogik Die Bayeslogik (auch Bayes-Logik oder induktive Bayes-Logik) ist eine induktive mehrwertige Logik aus dem Grenzfeld von Logik, Erkenntnistheorie und Maschinenlernen mit Anwendungen in den Bereichen Psychologie und Mensch-Computer-Interaktion.von Sydow, M. (2016). Towards a Pattern-Based Logic of Probability Judgements and Logical Inclusion “Fallacies”. Thinking & Reasoning, 22(3), 297-335. [doi:10.1080/13546783.2016.1140678]von Sydow, M. (2011). The Bayesian Logic of Frequency-Based Conjunction Fallacies. Journal of Mathematical Psychology, 55, 2, 119-139. [doi:10.1016/j.jmp.2010.12.001