Eine mathematische Struktur ist eine Menge mit bestimmten Eigenschaften. Diese Eigenschaften ergeben sich durch eine oder mehrere Relationen zwischen den Elementen (Struktur erster Stufe) oder den Teilmengen der Menge (Struktur zweiter Stufe).Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik I. S. 165 f. Diese Relationen und damit auch die Struktur, die sie definieren, können von sehr verschiedener Art sein. Eine solche Art lässt sich durch gewisse Axiome festlegen, die die definierenden Relationen zu erfüllen haben. Die wichtigsten großen Typen, in die sich Strukturen klassifizieren lassen, sind algebraische Strukturen, relationale Strukturen wie insbesondere Ordnungsstrukturen, sowie topologische Strukturen.Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik II. S. 212–214. Viele wichtige Mengen besitzen sogar mehrfache Strukturen, das heißt Mischstrukturen aus diesen Grundstrukturen.Nicolas Bourbaki: Die Architektur der Mathematik II. S. 215. Zum Beispiel haben Zahlbereiche sowohl eine algebraische, eine Ordnungs- als auch eine topologische Struktur, die miteinander verbunden sind. Daneben gibt es auch noch geometrische Strukturen.

Algebraische Strukturen

Eine algebraische Struktur oder kurz eine (allgemeine) Algebra ist eine Struktur (erster Stufe), die nur durch eine oder mehrere Verknüpfungen definiert ist (als Funktionen sind Verknüpfungen spezielle Relationen).

Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen und ähnliche mini|Eine hierarchische Zusammenstellung der grundlegenden algebraischen Strukturen

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen eine oder zwei zweistellige innere Verknüpfungen. Die Taxonomie, also die Klassifizierung dieser Strukturen, richtet sich danach, welche der folgenden Gruppenaxiome in der Menge bezüglich der Verknüpfung gelten: (E) Existenz und Eindeutigkeit (auch Abgeschlossenheit): (A) Assoziativgesetz: (N) Existenz eines neutralen Elements: (I) Existenz eines inversen Elements: (K) Kommutativgesetz: (Ip) Idempotenzgesetz:

Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff der Gruppe:

Name Axiome Beschreibung Gruppoid (auch Magma) E Eine Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung. Halbgruppe EA Ein Gruppoid mit Assoziativgesetz. Beispiel: . Halbverband EAKIp Eine Halbgruppe mit Kommutativgesetz und Idempotenzgesetz. Beispiel: Monoid EAN Eine Halbgruppe mit einem neutralen Element . Beispiel: mit . Loop mit Inverseneigenschaft ENI Ein Gruppoid mit neutralem Element, in dem es zu jedem Element ein (eindeutiges) Inverses gibt. Gruppe EANI Gleichzeitig ein Monoid und eine Quasigruppe. Gruppen wurden Anfang des 19. Jahrhunderts zur Beschreibung von Symmetrien eingeführt und haben sich als fundamental für den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele für Zahlbereiche, die eine Gruppe bilden: , . Beispiele für Transformationsgruppen, die Symmetrien beschreiben: die Punktgruppen zur Beschreibung von Molekülsymmetrien, die symmetrischen Gruppen zur Beschreibung von Permutationen, die Lie-Gruppen zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Abelsche Gruppe EANIK Eine Gruppe mit kommutativer Verknüpfung.

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen Ringe, Körper und ähnliche Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen, die gewöhnlich als Addition und Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von den Zahlbereichen (wie , , ) abstrahiert, mit denen man gewöhnlich rechnet. Die Verträglichkeit der multiplikativen mit der additiven Verknüpfung wird durch folgende Axiome sichergestellt: (Dl) Links-Distributivgesetz: . (Dr) Rechts-Distributivgesetz: . (D) Distributivgesetz: es gelten Dl und Dr.

Weitere Axiome, die beide Verknüpfungen betreffen, sind: (U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, und , sind nicht gleich. (T) Nullteilerfreiheit: Wenn das neutrale Element der additiven Verknüpfung bezeichnet, dann folgt aus für alle aus , dass oder gilt. (I*) Für jedes Element, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung, existiert das inverse Element bezüglich der multiplikativen Verknüpfung. Formal: .

Die jeweils gültigen Axiome sind im Folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | gemischte Axiome) gekennzeichnet.

Halbring: Axiome (EA|EA|D) zwei Halbgruppen

Dioid: Axiome (EAN|EAN|D) zwei Monoide

Fastring: Axiome (EANI|EA|Dr): Eine additive Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe und das Rechts-Distributivgesetz.

(Links-)Quasikörper: Axiome (EANIK|ENI|DlU): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Loop.

Ring: Axiome (EANIK|EA|D): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe.

Kommutativer Ring: Axiome (EANIK|EAK|D): Ring mit kommutativer Multiplikation.

Ring mit Eins oder unitärer Ring: Axiome (EANIK|EAN|D): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.

Nullteilerfreier Ring: Axiome (EANIK|EA|DT): Ring, in dem aus folgt, dass oder .

Integritätsbereich: Axiome (EANIK|EANK|DTU): Kommutativer, unitärer, nullteilerfreier Ring mit .

Halbkörper: Axiome (EA|EANI*|D) Halbring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge (ohne die falls diese existiert).

Alternativkörper: Axiome (EANIK|ENI*|DTU): Unitär, nullteilerfrei, und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element . Anstelle des Assoziativgesetzes tritt die Alternativität der Multiplikation.

(Rechts-)Fastkörper: Axiome (EANI(k)|EANI*|DrTU) Fastring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge ohne die . Die Addition jedes Fastkörpers ist kommutativ.

Schiefkörper: Axiome (EANIK|EANI*|DTU): Unitärer, nullteilerfreier Ring mit und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element .

Körper: Axiome (EANIK|EANI*K|DTU): Kommutativer Schiefkörper, Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen, außer für das Element . Jeder Körper ist auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Skalarkörper). Wenn man in dem Körper eine Norm oder ein Skalarprodukt definiert, erhält ein Körper dadurch die topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Innenproduktraums. Siehe dazu unten. Beispiele: die Zahlbereiche , und .

Wichtige Teilmengen sind: Ideale, s. Ideal (Mathematik).

Verbände, Mengenalgebren und ähnliche Ein Verband ist eine algebraische Struktur, deren zwei innere Verknüpfungen im allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

(V) Verschmelzungsgesetze (auch Absorptionsgesetze genannt): und .

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen: Verband: Axiome (EAK (bezüglich )|EAK (bezüglich )|V). Distributiver Verband: Axiome (EAK (bezüglich )|EAK (bezüglich )|V,D).

In einem distributiven Verband muss man nur eines der beiden Verschmelzungsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolesche Algebra ist ein Verband, in dem die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, und , und in dem jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat, (C) Existenz eines Komplements: zu jedem gibt es ein , für das gilt und . Beachte, dass das Komplement nicht inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

Boolesche Algebra: Axiome (EAKN (bezüglich )|EAKN (bezüglich )|V,D,C). Mengenalgebra: eine Boolesche Algebra, deren Elemente Mengen sind, nämlich Teilmengen einer Grundmenge , mit den Mengenoperatoren und als Verknüpfungen, mit dem Nullelement und dem Einselement . σ-Algebra: eine bezüglich abzählbar-unendlicher Verknüpfungen abgeschlossene Mengenalgebra. Messraum und Maßraum sind spezielle σ-Algebren. Borel-Algebra macht einen topologischen Raum zum Maßraum: sie ist die kleinste σ-Algebra, die eine gegebene Topologie enthält.

Zweiwertige Boolesche Algebra: hat nur die Elemente und .

Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume und ähnliche

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) , dessen Gruppenaktion auf als Linksmultiplikation oder als Rechtsmultiplikation geschrieben und (von aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von heißen Skalare, die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation): (AL) Assoziativgesetz: für aus und aus gilt . (DL) Distributivgesetze: für aus und aus gilt und .

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation ( | | Verträglichkeitsaxiome): Linksmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AL,DL). Rechtsmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links. Modul: (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation. Linksvektorraum: (Abelsche Gruppe | Schiefkörper | AL,DL). Rechtsvektorraum: (Abelsche Gruppe | Schiefkörper | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links. Vektorraum: (Abelsche Gruppe | Körper | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen mini|Beziehungen zwischen mathematischen Räumen

K-Algebra: Algebra über einem Körper: Vektorraum mit zusätzlicher bilinearer Verknüpfung, .

Lie-Algebra: Vektorraum mit der Lie-Klammer als zusätzlicher antisymmetrischer bilinearen Verknüpfung, .

assoziative Algebra: Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung, .

Die im Folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) – außer dass das innere Produkt nicht positiv definit sein muss. Wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

Innenproduktraum: Vektorraum mit einem Skalarprodukt (einer positiv definiten Bilinearform nach beziehungsweise Sesquilinearform nach ) . Der Euklidische Raum ist ein spezieller Innenproduktraum.

unitärer Raum: Innenproduktraum über , dessen Skalarprodukt eine Hermitesche Form ist.

normierter Raum: Vektorraum mit einer Norm .

lokalkonvexer Raum: Vektorraum mit einem System von Halbnormen. Jeder normierte Raum ist ein lokalkonvexer Raum mit .

Vektorraum mit allgemein + Vollständigkeit Metrik metrischer Raum vollständiger Raum Norm normierter Raum Banachraum Skalarprodukt Prähilbertraum (Innenproduktraum) Hilbertraum

Nach unten und nach rechts nimmt die Spezialisierung der Vektorräume zu. Die in der Tabelle unten stehenden Vektorräume weisen die Eigenschaften der darüberstehenden auf, da ein Skalarprodukt eine Norm induziert und eine Norm einen Abstand .

Ordnungsstrukturen

Eine Ordnungsstruktur ist eine Struktur (erster Stufe), die mit einer Ordnungsrelation ausgestattet ist, d. h., sie ist eine relationale Struktur oder kurz ein Relativ.Eng verwandt mit dem Begriff der relationalen Struktur ist der des Graphen im graphentheoretischen Sinn. Die Trägermenge wird dort als Knotenmenge bezeichnet, die Stelle der Relation nimmt die Kantenmenge ein. Graphen sind, wenn nicht anders gesagt, finit.

Quasiordnung: reflexiv und transitiv. Beispiel: Für aus gilt falls (s. Absolutbetrag).

Teilordnung (partielle Ordnung, Halbordnung. Achtung: manchmal einfach Ordnung genannt): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Beispiele: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich“ auf dem Vektorraum .

strenge Halbordnung: irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum .

totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: „Kleinergleich“ auf .