Das SI-Modell stellt in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der theoretischen Biologie, einen besonders einfachen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten dar, wobei alle Gesunden letztendlich infiziert werden. – Die Beschreibung des SI-Modells wird aus Anlass der COVID-19-Pandemie ergänzt um das Verhalten bei der Bekämpfung einer solchen Ausbreitung, um selbiges in den Grundzügen qualitativ zu verstehen. Letzterem liegen zwei Ideen zugrunde: Die Analogie zur erzwungenen Schwingung und bezüglich dieses Zwanges die Einbindung dieses Modells in einen Regelkreis, wodurch es infolge der Inkubations- und weiterer Totzeiten zu einem unsteten Verhalten kommt. Der Zwang verbunden mit dem unsteten Verhalten ist der Population/Gesellschaft zuwider.
Das stufenweise epidemische Verhalten sowie das mehrfache Wechselspiel von Welle und Lockdown und verschiedene Varianten des Lockdowns lassen sich mit diesem einfachen Ansatz insbesondere qualitativ weniger quantitativ erklären.
Modellbeschreibung Bezeichnen zum Zeitpunkt die gesunden, noch nicht angesteckten Individuen (susceptible individuals S) die kranken, schon angesteckten Individuen (infectious individuals I), und wird zur Vereinfachung angenommen , d. h. die betrachtete Population besteht zu jedem Zeitpunkt aus Individuen (womit Geburten und Sterbefälle nicht berücksichtigt werden). D. h. die Zunahme der infizierten Individuen in einer Zeitspanne entspricht der Abnahme der gesunden Individuen in der Zeitspanne.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit ist statistisch zum einen abhängig von der Anzahl der erkrankten Individuen (also der Anzahl der Keimträger), zum anderen abhängig von der Anzahl der Individuen, die noch angesteckt werden können. Dabei wird vorausgesetzt, dass einmal Infizierte sich nach Gesundung nicht ein weiteres Mal infizieren.
Der einfachste Lösungsansatz verwendet eine lineare funktionelle Antwort nach Art des Massenwirkungsgesetzes mit einem Wechselwirkungsterm : , . Hierbei kann das Produkt als die Anzahl der Kontakte interpretiert werden, wenn alle Gesunden mit allen Infizierten interagieren, und der Faktor bestimmt die hieraus entstehenden neuen Infektionen (Infektionsrate). Unter Ausnutzung des obigen Erhaltungssatzes folgt: .
Der Proportionalitätsfaktor cN bestimmt sich aus dem anfänglichen exponentielle Wachstum. Hierfür gilt und die obige Differentialgleichung geht über in
mit als der als Replikationsrate (reziproke Halbwertszeit) unabhängig von der Gesamtpopulation Ein abstraktes Beispiel : Ein Infizierter infiziert an einem Tag zwei weitere Personen, also insgesamt 3, die zwei neu Infizierten infizieren wiederum je zwei, also vier, also insgesamt 7 usw. Mathematisch ausgedrückt heißt das: 2t-1 oder ert-1 mit r = ln(2) = 0,693. Ein reales Beispiel: exponentielles Anfangswachstum der Infizierten bei Corona: Deutschland mit 83 Mio. Einwohner: r = 0,315/d; Sachsen mit 4,2 Mio. Einwohner: r = 0,354/d; Österreich mit 8,9 Mio. Einwohner: r = 0,324/d, unabhängig von der Einwohneranzahl.. Daraus folgt: . (DG-0)
Werden die beiden bestimmenden Differentialgleichungen wie folgt geschrieben: ,
ergibt sich der Vergleich mit dem Räuber-Beute-Verhalten (Infizierte-Gesunde!). Jedoch führt dies hier nicht zu einer Schwingungsgleichung wie beim Räuber-Beute-Verhalten.
Erweiterungen des SI-Modells sind das SIS-Modell, in dem Individuen gesunden können, und das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden können.
Die Replikationsrate r ist abhängig von der Wirksamkeit der Übertragung zwischen den Kontaktpartnern bzw. deren Reaktion miteinander und der Häufigkeit der Kontakte (Anzahl der Kontakte pro Zeitspanne), diese wiederum ist abhängig von der Beweglichkeit, der Geschwindigkeit der Partner und der Dichte der Partner (Anzahl Partner pro Volumen)siehe auch freie Weglänge sowie dem Wirkungsquerschnitt der Partner
Analytische Lösung der Differentialgleichung des SI-Modells (DG-0) miniatur|Verläufe der Anzahl Infizierter I und Gesunder S miniatur|1. Ableitung der Infizierten I als Funktion der Zeit t miniatur|1. und 2. Ableitung der Infizierten I als Funktion von I
Gemäß Integraltabelle lautet die Lösung dieser Differentialgleichung für :
mit der Zeit für den Wendepunkt von I(t) .
Gemäß Erhaltungssatz ergibt sich für die komplementäre Variable : und .
Es gilt: , . Mit Worten: Es werden alle Gesunden infiziert.
Die erste zeitliche Ableitung von ist eine Gleichung zweiten Grades bezüglich mit den Nullstellen 0 und . Das Maximum tritt am Wendepunkt von ein bei . Von Interesse ist weiterhin die zweite zeitliche Ableitung von : . Dieselbe hat drei Nullstellen bei 0, N/2 und N. Zwischen den ersten beiden Nullstellen liegt ein Maximum: , , zwischen den letzten beiden Nullstellen ein Minimum: ,
Zur Bestimmung von und einer realen Verteilung eignet sich die relative zeitliche Änderung von , genannt: . Q(I) ist linear fallend mit steigendem I. Es gilt , . Mittels Regressionsanalyse z. B. lässt sich auf diese Weise und für eine reale Verteilung einfach und schnell bestimmen.
Reproduktionsrate des Robert Koch-Institutes im SI-Modell miniatur |Reproduktionsrate des Robert Koch-Institutes im SI-Modell
Für Verteilungen dieser Art sind bei der COVID-19-Pandemie eine Reproduktionsrate gemäß dem Robert Koch-Institut RRKICOVID-19-Pandemie in Deutschland#ReproduktionszahlBasisreproduktionszahl#Berechnung der Basisreproduktionszahl auch R-Wert genannt, bedeutend geworden: mit und . Wird I(t) durch die Lösungsfunktion ersetzt, ergibt sich
mit , , . Der R-Wert hat folgende weiteren Eigenschaften: , , . Der R-Wert ist folglich linear fallend mit zunehmenden Infektionszahlen.
Bekämpfung der Infektion gemäß SI-Modell oder zwangsweise Linearisierung des exponentiellen Wachstums des Infektionsstromes.
Entscheidend für die Notwendigkeit zur Bekämpfung einer Infektion/Epidemie/Pandemie gemäß diesem Modell charakterisiert durch die Differentialgleichung DG-0 ist der aktuelle Infektionsstrom, welcher von rI0(1 – I0/N) bis zum Maximum rN/4 anwächst. Sollte derselbe die medizinischen Möglichkeiten überschreiten können, bestehen zwei Möglichkeiten, denselben zu reduzieren: durch Reduktion der Replikationsrate (Hygienemaßnahmen, Abstand usw.) und durch Reduktion der Gesunden durch Immunisierung (Impfung usw.), also Reduktion von . Beide Fälle werden nachfolgend an überschaubaren Beispielen untersucht, um das prinzipielle Verhalten zu erkennen. Die hierbei abgeleitete zwangsweise Linearisierung erfordert ein übergeordnetes Eingreifen, der technische Begriff hierfür lautet Regelung, wodurch die sich infizierende Gesellschaft zur Regelstrecke wird. Infolge der Inkubationszeit der Infektion ergibt sich theoretisch eine unstete Regelung, deren Behandlung durch die stufenweise Anhebung der Führungsgröße (siehe nachfolgend) problematisch wird. Die Behandlung dessen bleibt Experten vorbehalten. – Der hier ausgeführte regelungstechnische Aspekt wurde bis 1/2021 bei den Modellbetrachtungen von Covid-19 für Deutschland nicht gefunden!
Verhalten bei r-Abfall und 2. Welle miniatur|Verlauf der Infizierten über der Zeit: ohne r-Abfall gemäß SI-Modell: I1, nach r-Abfall bei 10 d gemäß SI-Modell: I2 und nach r-Sprung mit linearem Verlauf: I3 miniatur|1. zeitliche Anleitung der Infizierten über der Zeit: ohne r-Abfall gemäß SI-Modell: I'1 und nach r-Abfall bei 10 d gemäß SI-Modell: I'2 miniatur|R-Wert (=RRKI) über der Zeit: ohne r-Abfall gemäß SI-Modell: RRKI1 und nach r-Abfall bei 10 d gemäß SI-Modell: RRKI2
Der Ansatz DG-0 kann geschrieben werden
Während im SI-Modell die Replikationsrate r zeitunabhängig definiert ist, ist hier reff indirekt über zeitabhängig und nimmt mit zunehmender Zeit ab, wodurch sich für die erste zeitliche Ableitung der Infizierten I(t) eine nach unten offene parabelförmige Kurve ergibt.
Anstelle einer indirekten Zeitabhängigkeit wird jetzt eine direkte Zeitabhängigkeit angesetzt. In den Bildern des gewählten Beispiels wird r sprunghaft bei ts = 10 d auf r2 = r/7 herabgesetzt noch vor dem Wendepunkt bei tw = 20 d. Die Berechnung erfolgt mit der Differenzengleichung in Tagesschritten statt der Differentialgleichung numerisch, wodurch sich geringe Unterschiede ergeben, die jedoch auf das prinzipielle Verhalten keinen Einfluss haben. Es erfolgt bei ein Knick zu einem flacheren Verlauf gemäß der geringeren Replikationsrate und bei dI/dt ein Maximum ähnlich jenem des vorgenannten Beispiels. Die Abflachung von führt zu einem neuen Wendepunkt tws:
wodurch eine geringere Gesamtmenge der Population vorgetäuscht wird. Konkrete Beispiele dafür sind die Infiziertenkurven verschiedener Länder bei COVID-19.
Des Weiteren werden zur Unterscheidung Variable und Parameter der primären Infektion mit dem Index 1 versehen, jene nach dem r-Abfall mit dem Index 2. Der Punkt I1(tws) ist der Anfangswert einer neuen Infektionskurve mit
mit dem Wendepunkt bei
und einem Maximum der Änderung von
Eine 100-prozentige Infizierung tritt nach dem r-Abfall jedoch noch nicht ein, diese tritt dennoch aber erst gemäß der I2-Entwicklung später ein und entspricht unter den vorgenannten Annahmen der zweiten Welle. So kann Welle auf Welle folgen bis zur Infizierung der gesamten Population (siehe Herdenimmunität).
Abbruch des exponentiellen Infiziertenverhaltens und erste Schlussfolgerungen Wenn schon nach einem r-Abfall die 2. Welle prognostiziert wird, stellt sich die Frage nach deren Verhinderung. Wie kann dieses Verhalten verhindert, gemindert oder verzögert werden? Das SI-Modell besagt, dass bei positiver, von Null verschiedener Replikationsrate alle Gesunden infiziert werden. Es ist nur eine Frage der Zeit, wann! Ein Abbruch erfolgt nur mit . Die Realisierung dessen ist z. B. bei COVID-19 im Jahre 2020 nicht möglich. Es wäre ein absoluter Lockdown! Eine (erneute) exponentielle zeitliche Zunahme von dI/dt kann nur verhindert werden, indem eine polynomische zeitliche Zunahme erzwungen wird, im einfachsten Falle eine lineare zeitliche Zunahme wie folgt: mit . Für diesen Ansatz gilt weiter und Für den Zeitraum vor der 2. Wende tw2 gilt und folglich Mit Worten: das lineare Wachstum bleibt stets unter dem exponentiellen Wachstum. Sobald der Zwangszustand verlassen wird, wird das SI-Modell mit der 2. Welle wirksam. Auf diese Art kann das Ja oder Nein einer zweiten Welle unterschieden werden. Dieses lineare Verhalten entspricht einem labilen Gleichgewicht. Real bedeutet dies, dass die sich exponentiell entwickelnden Infektionsketten möglichst im Ursprung unterbrochen werden sollten, wie bei COVID-19 z. B. für Deutschland im Zeitraum vom Mai bis Juli 2020 geschehen. Sobald der Zwang entfällt, beginnt die Lawine der exponentiellen Entwicklung erneut! Andererseits erfolgt durch den Zwang eine sinnvolle Verzögerung bis zum Abbruch des Infiziertenwachstums u. a. durch Immunisierung usw.
Einfluss der Inkubationszeit miniatur |Verlauf der Anzahl der wahren und registrierten Infizierten sowie deren Differenz in Abhängigkeit von der Zeit miniatur |Verlauf der Anzahl der wahren und registrierten Infizierten sowie deren Differenz in Abhängigkeit von der Zeit zu Beginn der Infektion. Z. B. werden in diesem Beispiel am 15. Tag 9 Infizierte registriert, dabei sind bereits 24 real infiziert.
Für die Infektion zur Zeit gelten die bekannten Modelle (exponentielles Modell, SI-Modell usw.) mit als die Zahl der Infizierten. Kenntlich wird jedoch erst nach der Inkubationszeit , also zur Zeit mit Ausbruch der Krankheit oder durch Test. Also wird zur Zeit der Zustand