Dreieck

mini|hochkant=1.3|Allgemeines Dreieck Ein Dreieck (veraltet auch Triangel, lateinisch: triangulum) ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten. In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich. In diesem Fall müssen die Begrenzungslinien Geodäten sein.

Dreiecke spielen in der ebenen Geometrie eine herausragende Rolle, da alle Polygone in Dreiecke zerlegt und damit mithilfe der Dreiecksgeometrie untersucht werden können. Zudem basiert die Trigonometrie, ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, auf Dreiecken.

Einteilung mini|hochkant=2|Einteilung der Dreiecke:Von links nach rechts: spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinkligVon oben nach unten: unregelmäßig, gleichschenklig, gleichseitig

Nach Seitenlängen Unregelmäßiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck

Nach Winkeln Spitzwinkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck

Spitz- und stumpfwinklige Dreiecke werden auch unter dem Namen schiefwinkliges Dreieck zusammengefasst.

Das allgemeine Dreieck Definition und Eigenschaften 250px|mini|Die Summe der Innenwinkel in einem ebenen Dreieck beträgt immer 180°. Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit , und bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet, gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog , bzw. genannt. Damit liegt z. B. die Seite dem Eckpunkt gegenüber, verbindet also die Punkte und . Häufig wird mit , und auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite , oder bezeichnet. Die Winkel werden , und genannt. ist der Winkel am Eckpunkt , liegt am Eckpunkt und liegt am Eckpunkt Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°. Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360°. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer gleich groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt demnach genau genommen 2 · 360° = 720°. Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite. Diese Beziehungen lassen sich in der so genannten Dreiecksungleichung ausdrücken.

Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks mini|hochkant=2|Übersicht über die Rechenwege und zu benutzenden Werkzeuge bei der Berechnung eines beliebigen Dreiecks Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Innenwinkel. Liegen drei Angaben zur Größe dieser Seiten oder Winkel vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Seiten oder Winkel berechnen, es sei denn, es sind nur die drei Winkel gegeben.

Je nachdem, welche Kombination bekannter Seiten und/oder Winkel dabei im Einzelnen gegeben ist, ist das Ergebnis entweder ein- oder mehrdeutig (siehe nebenstehende Abbildung).

So liefern die Kongruenzsätze zunächst einmal drei stets eindeutig lösbare Konstellationen, die man symbolisch mit SSS, SWS und WSW bezeichnet, wobei S für eine bekannte Seite und W für einen bekannten Winkel steht.

SSW- oder WSS-Fall Der SSW- oder WSS-Fall ist eindeutig, wenn der bekannte Winkel der größeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt (SsW-Fall); liegt er der kleineren Seite gegenüber (sSW-Fall), gibt es meist zwei verschiedene Dreiecke, die die Ausgangsbedingungen erfüllen. Dies allerdings muss nicht immer so sein, da das Dreieck auch im sSw-Fall eindeutig bestimmt ist, wenn der Winkel gegenüber der längeren Seite 90° beträgt.

WWS- oder SWW-Fall Der WWS- oder SWW-Fall kann (wie nebenstehender Abbildung zu entnehmen) auf zweierlei Weise gelöst werden: Entweder man berechnet mittels des Sinussatzes zunächst einmal eine der beiden noch fehlenden Seiten und rechnet dann weiter wie im SSW-Fall, oder aber man bestimmt, was wesentlich bequemer ist, mittels der Winkelsumme im Dreieck den noch fehlenden dritten Winkel und verfährt dann weiter wie im WSW-Fall.

SSS-Fall Wenn die größte der drei Seiten kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten ist, dann ist das Dreieck (bis auf Kongruenz) eindeutig bestimmt. Ansonsten gibt es kein Dreieck mit den vorgegebenen drei Seiten. Die Innenwinkel des Dreiecks lassen sich z. B. mit dem Kosinussatz berechnen.

WWW-Fall Der WWW-Fall ist bei ebenen Dreiecken nicht eindeutig lösbar, weil in diesem Fall in Wirklichkeit nur zwei voneinander unabhängige Angaben vorliegen, die Größe des dritten Winkels dagegen stets zwangsläufig aus der Größe der beiden anderen resultiert. Ohne eine gegebene Seite ist zwar die Form des gesuchten Dreiecks gegeben, seine Größe aber bleibt unbestimmt.

Sinussatz und Kosinussatz Die wichtigsten Werkzeuge für die Berechnung eines beliebigen Dreiecks sind neben der Winkelsumme im Dreieck der Sinus- und der Kosinussatz, denen gegenüber die weiteren Dreieckssätze wie der Projektionssatz und Tangentensatz sowie die Halbwinkelsätze nur eine untergeordnete Rolle spielen.

Das rechenaufwändigste, aber auch leistungsfähigste der drei Werkzeuge ist dabei der Kosinussatz, da man mit ihm als einzigem für ein Dreieck ohne irgendeine Winkelangabe einen ersten Winkel berechnen (und sich anschließend mit dem einfacheren Sinussatz sowie der Winkelsumme im Dreieck weiterhelfen) kann. Dementsprechend verwendet man den Kosinussatz im hier diskutierten Zusammenhang nur zu Beginn der Berechnung eines Dreiecks vom Typ SSS oder SWS, während alles übrige einfacher und schneller per Sinussatz und Winkelsumme erledigt wird.

Der Kosinussatz stellt eine Verbindung zwischen den Seitenquadraten eines Dreiecks und dem Kosinus eines seiner Winkel her:

Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes: Ist der von zwei gegebenen Seiten eines Dreiecks eingeschlossene Winkel ein rechter, dann ist sein Kosinus null und die entsprechende Gleichung des Kosinussatzes reduziert sich auch eine pythagoreische Gleichung.

Kennt man von einem Dreieck nur seine drei Seiten , und , lassen sich seine Innenwinkel unter Zuhilfenahme des Arkuskosinus (arccos) wie folgt bestimmen:

Den Sinussatz gibt es in drei Varianten, die sich wie folgt zusammenfassen lassen:

(Umkreisdurchmesser)

Wie zu sehen, ist der Sinussatz rechnerisch wesentlich unkomplizierter: Kennt man einen der drei Brüche, kennt man damit automatisch auch alle übrigen. Dafür allerdings muss hier stets wenigstens einer der drei Innenwinkel schon bekannt sein, und, wenn nicht, zunächst einmal auf den Kosinussatz zurückgegriffen werden (s. o.).

Formeln Mathematische Formeln zum allgemeinen Dreieck Umfang(und Halbumfang)400px|Dreieck mit den Größen der nebenstehenden Tabelle|class=skin-invert 400px|Dreieck spitzwinklig mit Ankreise|class=skin-invertFlächeninhalt (siehe Satz des Heron) Höhe aus den Seitenlängen(mittels Satz des Heron)HöheInkreisradiusUmkreisradius (mittels Sinussatz)Ankreisradien (mittels proportionaler Streckung über die Höhen)Länge der WinkelhalbierendenLänge der SeitenhalbierendenInkreismittelpunktAnkreismittelpunkte UmkreismittelpunktHöhenschnittpunktGeometrischer Schwerpunkt

Ausgezeichnete Kreise, Geraden und Punkte

mini|hochkant=1.5|class=skin-invert-image|• Umkreismittelpunkt U (grün) mittels der zwei Mittelsenkrechten OU und MU • Inkreismittelpunkt I (rot) mittels der zwei Winkelhalbierenden wβ und wγ • Schwerpunkt S (dunkelblau) mittels der zwei Seitenhalbierenden AJ und CO • Höhen ha, hb und hc mit Höhenschnittpunkt H (hellbraun) • Feuerbachkreis mit Mittelpunkt F (hellblau) durch die 9 Schnittpunkte O, D, E, G, J, K, L, M und N • Euler-Gerade e (rot) durch die Punkte U, S, F und H250px|mini|Dreieck mit seinen Ecken, Seiten und Winkeln sowie Umkreis, Inkreis und Teil eines Ankreises in der üblichen Form beschriftet|class=skin-invert-image

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, das heißt einen Kreis, der durch seine drei Eckpunkte verläuft. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Das sind die Lotgeraden durch die Mittelpunkte der Seiten.

Die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel schneiden sich ebenfalls in einem gemeinsamen Punkt, nämlich im Mittelpunkt des Inkreises. Dieser berührt die drei Seiten von innen. Die drei Kreise, die jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren, heißen Ankreise des Dreiecks.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, also der jeweiligen Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Der Schwerpunkt teilt dabei die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Beispiel aus dem Bild: .

Auch die drei Höhen, also die Lote der Eckpunkte auf die jeweils gegenüberliegende Seite, schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Mit Hilfe der Höhen kann der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden (siehe Dreiecksfläche).

Ein weiterer bekannter Kreis am Dreieck ist der Feuerbachkreis. Er wird auch Neunpunktekreis genannt, da er durch die drei Seitenmittelpunkte, die drei Fußpunkte der Höhen und die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte verläuft. Sein Mittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.

Spezielle Dreiecke

Gleichseitige Dreiecke mini|Ein gleichseitiges Dreieck. Es gilt: und

Eigenschaften Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind, wird gleichseitiges Dreieck genannt. Alle drei Innenwinkel sind gleich groß und betragen folglich 60° (es ist folglich ein spitzwinkliges Dreieck). Damit gehören die gleichseitigen Dreiecke zu den regelmäßigen Polygonen.

Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich und genau dann kongruent, wenn ihre Seitenlängen gleich sind. Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite sowie Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils aufeinander. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks, sodass dieser Punkt häufig einfach Mittelpunkt genannt wird.

Formeln mini|Gleichseitiges Dreieck mit und

Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge gilt: FlächeninhaltUmfangInkreisradiusUmkreisradiusHöhe

Beweis siehe Weblinks unten.

Gleichschenklige Dreiecke mini|Ein gleichschenkliges Dreieck. Es gilt: und

Ein gleichschenkliges Dreieck ist nach moderner Auffassung ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind. Diese Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis des gleichschenkligen Dreiecks. Die beiden Winkel an der Basis (Basiswinkel) sind gleich groß. Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, wird Spitze genannt, der dortige Winkel ist der Winkel an der Spitze.

Bei einem Geodreieck handelt es sich um ein Lineal in Form eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks.