Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der -Matrizen.
Beispielsweise sind reelle quadratische Matrizen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen gibt, so dass
gilt. Insbesondere sind und äquivalent, wenn sie denselben Rang besitzen.
Die genaue Definition unten benutzt allgemeiner Darstellungen von linearen Abbildungen der Matrizen und erlaubt auch andere Körper als die reellen Zahlen als Grundlage sowie nicht quadratische Matrizen.
Definition Zwei Matrizen und über dem Körper heißen äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung gibt und es Basen von und von gibt, so dass und gelten,
d. h., ist eine Darstellung von bezüglich der Basen von und von , und ist eine Darstellung von bezüglich der Basen von und von .
Äquivalente Aussage Zur Aussage „die -Matrizen und sind äquivalent über dem Körper “ ist folgende Aussage äquivalent: Es gibt eine invertierbare -Matrix und eine invertierbare -Matrix über , so dass gilt.
Aussagen über äquivalente Matrizen Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent. Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.
Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.
Literatur Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163
Siehe auch Ähnlichkeit (Matrix)
Weblinks
Aquivalenz