Der Satz von Jacobi (nach C. Jacobi) ist eine Aussage aus der additiven Zahlentheorie über die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl als Summe von vier Quadraten.
Der Satz von Jacobi findet unter anderem Anwendung in der geometrischen Zahlentheorie, z. B. bei der Bestimmung der Anzahl von Gitterpunkten in einer -dimensionalen Kugel.E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, ISBN 978-3-8171-1287-6, 6.2, 6.6.
Satz Für jede natürliche Zahl sei durch
definiert. Dann ist
wobei die Teilerfunktion ist (d. h. die Summe aller Teiler von n einschl. n selbst).H. Siemon: Einführung in die Zahlentheorie. Verlag Dr. Kovac, Hamburg 2002, ISBN 978-3-8300-0674-9, 5.5.
Das lässt sich auch so ausdrücken:
oder:
(Summe über die Teiler von n, die nicht durch 4 teilbar sind).
Jacobi fand diesen Satz mit Hilfe der von ihm in seiner Theorie der elliptischen Funktionen eingeführten Thetafunktionen über die Identität
mit , . Die Thetafunktionen auf der linken Seite und die Eisensteinreihe rechts sind beides Modulformen (zur Kongruenzuntergruppe und Gewicht ).Zum Beispiel Ila Varma: . Master Thesis, Universität Leiden 2010, S. 38.
Beispiel Für ergibt sich aus dem Satz von Jacobi
Es ist Mit Hilfe des Multinomialkoeffizienten berechnet man die Anzahl der Permutationen der Tupel bzw. : Für gibt es Permutationen, für sind es und für gibt es Permutationen, insgesamt also mögliche Tupel.
Siehe auch Vier-Quadrate-Satz Quadratsummen-Funktion
Weblinks
Einzelnachweise und Anmerkungen
Jacobi, Satz von Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber