Oberton

Obertöne (auch Partial-, Teil-, Aliquot-, Neben- oder Beitöne) sind die neben dem Grundton mitklingenden Bestandteile eines musikalisch instrumental oder vokal erzeugten Tones.

Ein solcher ist jedoch im akustischen Sinne kein einzelner Ton (Sinuston), sondern ein Klang oder Tongemisch, also ein Schallereignis, das sich vorrangig aus mehreren sinusförmigen Teiltönen von unterschiedlicher Amplitude zusammensetzt. Der tiefste Teilton wird Grundton genannt und bestimmt in der Regel die wahrgenommene Tonhöhe. Die höheren Teiltöne, die Obertöne, erzeugen die Klangfarbe.

Bei fast allen natürlichen Musikinstrumenten (mit Ausnahme der Schlaginstrumente) sind die Frequenzen der Obertöne normalerweise ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Das bedeutet, dass einem Grundton mit der angenommenen Frequenz von 100 Hz Obertöne mit Frequenzen von 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, 600 Hz … beigefügt sind. Derartige Teiltöne bezeichnet man auch als Harmonische. Im Gegensatz dazu sind Untertöne (Subharmonische) ganzzahlige Teiler der Grundfrequenz.

Als Unharmonische bezeichnet man solche Teiltöne, die aus dieser mathematischen Folge herausfallen, (z. B. bei Röhren, Stäben, Platten oder Glocken). Sie entstehen durch Schwingungen, deren Frequenzen keine ganzzahligen Verhältnisse zur wahrgenommenen Grundfrequenz haben. Dadurch wird das Erkennen einer bestimmten Tonhöhe erschwert oder der Ton als unsauber oder misstönend empfunden.

Obertöne sind als Teiltöne Bestandteile eines Gesamtklanges, der durch Eigenschwingungen eines schwingungsfähigen Mediums entsteht. Bei den begrifflich verwandten Naturtönen von Blasinstrumenten werden durch sogenanntes Überblasen einzelne Oberschwingungen so stark angeregt, dass sie direkt als klingende Töne wahrgenommen werden, die ihrerseits weitere Obertöne erzeugen. Gleiches gilt für die Flageoletttöne bei Saiteninstrumenten.

Je nach Schallquelle ist das Klangspektrum ganz spezifisch zusammengesetzt. Daher ist für die charakteristische Klangfarbe von Musikinstrumenten sowie von Menschen- und Tierstimmen neben Rauschanteilen und Faktoren im zeitlichen Verlauf des Signals vor allem der Obertongehalt verantwortlich. Stimm- und instrumententypische Frequenzbereiche, in denen die Obertöne durch Resonanz besonders verstärkt werden und daher vorrangig für die Klangfarbe ausschlaggebend sind, heißen Formanten.

Harmonische

Als Harmonische bezeichnet man die Teiltöne eines harmonischen Klangs, also dessen Grundton und die Obertöne, deren Schwingungszahlen ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons sind. In der folgenden Abbildung stellt die große Sinuswelle links den Grundton dar; im Bild rechts daneben überlagern harmonische Obertöne in Form schmalerer Sinuswellen die große Welle.

Reine Sinusschwingung Datei:a1sinus.oggSchwingung mit Obertönen Datei:A1obertonreich.ogg Der 4. Oberton cis4 alleinDatei:A1vierteroberton.ogg

mini|Der Grundton A1 (55 Hz) und ab der 4. Sekunde die darauf aufbauende Obertonreihe bis einschließlich a3 (1.760 Hz) Hörbeispiel: Aufbau eines harmonischen Klangs aus Sinustönen Im nebenstehenden Hörbeispiel wird ein harmonischer Klang sukzessive aus seinen elektronisch erzeugten sinusförmigen Teiltönen aufgebaut. Die subjektiv wahrgenommene Lautstärkezunahme des 4. Obertons, bei objektiv gleichen Dezibel, ist auf die Hörschwelle zurückzuführen.

Harmonische Schwingungen stehen immer in Beziehung zur Grundfrequenz. Wie genau diese Beziehung beschrieben wird, hängt vom gewählten mathematischen Modell ab. Die Wahl der Grundfrequenz ist objektiv schwierig und wird in Bezug auf Musik in erster Linie vom empfundenen oder notierten Grundton bestimmt. Bei der Analyse oder Synthese von Schallereignissen kann aus akustischer oder messtechnischer Sicht die Grundfrequenz auch anders gewählt werden. Grundton und Obertöne müssen daher immer im Kontext verstanden werden.

In vielen Fällen reicht jedoch ein einfaches Beschreibungsmodell, das die Frequenzen der Oberschwingungen als ganzzahlige Vielfache einer als Ton wahrgenommenen Grundfrequenz annimmt.

Erläuterungsbeispiel: Kammerton a1 und die ersten fünf Harmonischen Diese Tabelle zeigt den Kammerton a1 als Grundton und seine ersten vier Obertöne mit ihrer jeweiligen Ordnung n und ihren Frequenzen. Die n. Harmonische hat allgemein die Frequenz n·f.

+ Harmonische Reihe Frequenz 1·f = 440 Hz 2·f = 880 Hz 3·f = 1320 Hz 4·f = 1760 Hz 5·f = 2200 Hz Notenbezeichnunga1 a2 e3 a3 cis4 Ordnung n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Grundfrequenz 1. Oberton 2. Oberton 3. Oberton 4. Oberton 1. Teilton 2. Teilton 3. Teilton 4. Teilton 5. Teilton 1. Harmonische 2. Harmonische 3. Harmonische 4. Harmonische 5. Harmonische

Man sieht hier: Das Intervall [a2 e3] ist eine Quinte mit dem Frequenzverhältnis 3·f/2·f = 3/2 und das Intervall [a3 cis4] ist eine große Terz mit dem Frequenzverhältnis 5·f/4·f = 5/4.

Das einfache harmonische Modell – Obertonreihe mini|Harmonische Teilschwingungen einer idealisierten Saite

Bereits seit der Antike gewinnt man Erkenntnisse zu Obertönen am Beispiel schwingender Saiten. Dabei wird angenommen, dass eine auf die Hälfte verkürzte Saite einen Ton mit der doppelten Schwingungszahl liefert, eine auf ein Drittel reduzierte Saite die dreifache Schwingungszahl ergibt usw. Für die musikalische Praxis, etwa das Überblasen von Blasinstrumenten, das Spielen von Flageoletttönen auf Saiteninstrumenten, den Obertongesang oder die Orgelregistrierung, ist dieses einfache Modell in der Regel ausreichend. Bei der Anwendung auf andere Klangquellen, wie z. B. stark gespannte Klaviersaiten, stößt dieses Modell jedoch an seine Grenzen.

Die nebenstehende Abbildung stellt (in willkürlicher Beschränkung auf die ersten sieben) die Eigenschwingungen einer Saite dar. Unter bestimmten Bedingungen kann die Saite jede dieser Eigenschwingungen separat (Flageoletttöne) ausführen, in der Regel werden jedoch alle oder zumindest mehrere dieser Eigenschwingungen gleichzeitig angeregt, sodass die resultierende Schwingung aus einer komplexen Überlagerung dieser Teilschwingungen besteht.

Das menschliche Gehör nimmt periodische Schwingungen als Töne (im Sinne von musikalischen Tönen) wahr, wobei die Schwingungsperiode die wahrgenommene Tonhöhe bestimmt. Analysiert man das Amplitudenspektrum eines Audiosignals einer annähernd periodischen Schwingung z. B. mit Hilfe der Kurzzeit-Fourier-Transformation, so besteht dieses aus einem Grundton, der der Schwingungsperiode entspricht und den harmonischen Obertönen mit Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

Listet man die Teiltöne im Sinne zunehmender Frequenz auf, so erhält man die Teil- bzw. Obertonreihe:

Die Obertonreihe Im Folgenden sind beispielhaft die ersten sechzehn auf den Grundton C bezogenen Teiltöne dargestellt. Diese Beschränkung ist aus Gründen der Überschaubarkeit willkürlich gewählt. Theoretisch setzt sich die Teiltonreihe nach oben mit immer kleiner werdenden Abständen bis ins Unendliche fort.

Als Notenbeispiel Bei notenmäßiger Darstellung der Teiltöne ist zu berücksichtigen, dass wegen der nach oben kontinuierlich abnehmenden Tonabstände eine exakte Wiedergabe in Notenschrift (zumindest im höheren Bereich der Teiltonreihe) nur annähernd (und schließlich gar nicht mehr) möglich ist. Auch stimmen nicht alle Obertöne mit den Tonstufen der gängigen Stimmungssysteme überein. Im folgenden Notenbeispiel werden die Obertöne mit den Tönen der gleichstufigen Stimmung verglichen. Die Abweichungen nach oben oder unten sind jeweils in Cent angegeben.

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Während bei der gleichstufigen Stimmung außer dem Grundton und dessen Oktaven kein Ton exakt mit der Teiltonreihe übereinstimmt, gibt es keine Abweichungen bei reiner Stimmung bei allen Teiltönen außer Nr. 7 (Naturseptime), Nr. 11 (Alphorn-Fa), Nr. 13, Nr. 14 (Oktave der Naturseptime) und Nr. 15.

Als Tabelle Die in der Tabelle verwendeten Farben orientieren sich an der Musik-Farben-Synästhesie.

+ Einfaches Modell – Vergleich mit Grundton Grundton – Oberton Nr:Grundton 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Teilton Nr: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Vielfaches der Grundfrequenz:einfachedoppeltedreifachevierfachefünffachesechsf.siebenf.achtf.neunf.zehnfacheelffachezwölffachedreizehnf.vierzehnf. fünfzehnf.sechzehnf. Beispiel f in Hz: 66 132 198 264 330 396 462 528 594 660 726 792 858 924 990 1056Note:40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px Tonname: C c g c1 e1 g1 ≈ b1 c2 d2 e2 ≈ f2 g2 ≈ as² ≈ b2 h2 c3 Verhältnis zum Ton darunter: 1:1 2:1 3:2 4:3 5:4 6:5 7:6 8:7 9:8 10:9 11:10 12:11 13:12 14:13 15:14 16:15 Intervall zum Ton darunter: Prime Oktave reine Quinte reine Quarte große Terz kleine Terz – – großer Ganzton kleiner Ganzton – – – – – diatonischer Halbton

Tabellenfußnoten Eine kleine Terz (Frequenzverhältnis ) über dem Kammerton a′ mit 440 Hz liegt der Ton c2 mit 528 Hz. Das drei Oktaven tiefer liegende C hat demnach die Frequenz von 66 Hz. 7. Oberton = 462 Hz (Naturseptime). Abweichung von b1 = 475,2 Hz der reinen Stimmung ≈ 49 Cent. Hinweis: Vor allem für die Darstellung der feinen Größenunterschiede der Intervalle verwendet man die Einheit Cent, wobei ein gleichstufiger Halbton 100 Cent und eine Oktave 1200 Cent entsprechen. Die Berechnung erfolgt über den Logarithmus des Frequenzverhältnisses zur Basis 2. Hier 1200 log2 (475,2/462) ≈ 49 Cent. 11. Oberton = 726 Hz (Alphorn-Fa). Abweichung von f2 = 704 Hz bzw. fis² = 742,5 Hz der reinen Stimmung ≈ 53 Cent bzw. 39 Cent. 13. Oberton = 858 Hz. Abweichung von as² = 844,8 Hz der reinen Stimmung ≈ 27 Cent. 14. Oberton = 924 Hz (Naturseptime). Abweichung von b2 = 950,4 Hz der reinen Stimmung ≈ 49 Cent. Das musikalische Intervall einer Oktave entspricht einer Verdopplung der Frequenz. Aus der letzten Zeile der Tabelle wird ersichtlich, dass sich alle Intervalle der diatonischen Tonleiter (siehe reine Stimmung) aus der Obertonreihe herleiten lassen. Insbesondere: Halbton (Frequenzverhältnis ), großer und kleiner Ganzton ( und ), kleine Terz (), große Terz (), Quart (), Quint () und Oktave ().

Grenzen des einfachen Modells

Bei vielen Musikinstrumenten oder bei Vokalen der menschlichen Stimme besteht ein wesentlicher Teil des Klangs aus periodischen Schwingungen, die sich mit der vereinfachten Modellvorstellung von Grundton und harmonischen Obertönen in guter Näherung beschreiben lassen, so beispielsweise bei schwingenden Saiten von Saiteninstrumenten (Chordophonen) oder schwingenden Luftsäulen von Blasinstrumenten (Aerophonen). Jedoch treten dabei in der Realität mehr oder weniger starke Abweichungen von der theoretischen Ganzzahligkeit der Obertöne auf.

Inharmonizität

Abweichungen von den harmonischen Verhältnissen der Teiltöne treten bei vielen Instrumenten auf. Diese unter dem Begriff Inharmonizität bekannten Abweichungen werden zum Beispiel beim Klavier im Wesentlichen durch das Biegemoment der Saite hervorgerufen.Sam Howison: Practical Applied Mathematics. Modeling, Analysis, Approximation. 2005, ISBN 0-521-60369-2, Kapitel 15.3, S. 209 ff. Besonders die dicken Basssaiten sind hiervon betroffen. Höhere Obertöne sind stärker betroffen als niedrigere. Die genauere Analyse derartiger Obertöne ist aufwändiger und erfordert zur Beschreibung komplexere Modelle als die Analyse und Beschreibung von „sehr harmonischen“ Tönen (siehe auch: Audiosignal)

Geräuschanteile Außerdem treten auch nicht-periodische Schwingungen auf, die ein eher breitbandiges Frequenzspektrum besitzen und sich nicht durch Grundton und harmonische Obertöne beschreiben lassen, z. B. Anschlaggeräusche bei Saiteninstrumenten, Anblasgeräusche bei Blasinstrumenten und Orgelpfeifen sowie Konsonanten bei der menschlichen Stimme. Die Analyse dieser Klangkomponenten erfordert moderne elektronische Messtechnik und mathematische Modelle, deren Lösungen nur mit leistungsfähigen Computern berechenbar sind.

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