mini|Abhängigkeit zwischen den Modalitäten im Modallogischen System S4 Die Modallogik ist derjenige Zweig der Logik, der sich mit den Folgerungen um die Modalbegriffe möglich und notwendig befasst. So lassen sich innerhalb der Modallogik nicht nur Aussagen wie „Es regnet“ oder „Alle Kreise sind rund“ analysieren, sondern auch Aussagen wie „Möglicherweise regnet es“ und „Notwendigerweise sind alle Kreise rund“.
Geschichte Die frühesten Ansätze zu einer Modallogik finden sich bei Aristoteles in der ersten Analytik. Dort werden zu jedem kategorischen Syllogismus auch die modallogischen Varianten diskutiert.Friedemann Buddensiek: Die Modallogik des Aristoteles in den Analytica Priora A. Hildesheim 1994. Im Mittelalter untersuchte u. a. Duns Scotus modallogische Begriffe. In der 1662 erstmals veröffentlichten Logik von Port-Royal wurden die Modi „möglich“, „zufällig“, „unmöglich“ und „notwendig“ im Zusammenhang mit der Entstehung von Urteilen behandelt.Arnauld, Nicole: Die Logik oder die Kunst des Denkens, übers. von Christos Axelos, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1994, ISBN 3-534-03710-3, S. 120 ff. Gottfried Wilhelm Leibniz prägte wenig später den Ausdruck „mögliche Welt“, der für die Entwicklung der modallogischen Modelltheorie bedeutsam geworden ist. Seit dem 20. Jahrhundert ist zwischen zwei grundsätzlich verschiedenen Ansätzen zur Präzisierung modaler Aussagen und ihrer logischen Zusammenhänge zu unterscheiden, einem objektsprachlich-axiomatischen und einem metasprachlich-operativen.
Den ersten axiomatischen Ansatz lieferte Clarence Irving Lewis 1912 in seiner Kritik der „materiellen Implikation“ (von Whitehead und Russell), die keineswegs dem herkömmlichen „wenn-dann“ entsprach.Stattdessen benutze Lewis auf Grundlage der „Möglichkeit“ eine „strikte Implikation“; C. I. Lewis: Implucation and the algebra of logic. In: Mind 21 (1912), S. 522–531. Ders.:A Survey of Symbolic Logic. Cambridge 1918. Zusammen mit C. H. Langford stellte er 1932 fünf logische Systeme (S1 bis S5) mit unterschiedlichen modalen Axiomen auf, die mehr oder weniger „plausibel“ erschienen.C. I. Lewis, C. H. Langford: Symbolic Logic. New York 1932. Erst 1963 konnte Saul Kripke eine Semantik für die Vielzahl der bis dahin vorgeschlagenen modallogischen Systeme entwickeln.S. A. Kripke: Semantical Analysis of Logic I. Normal propositional Calculi. In: Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 9 (1963), S. 67–96. Auf dieser axiomatischen Grundlage verwendeten seit den 1970er Jahren Bas van Fraassen (Toronto) und Maria L. Dalla Chiara (Florenz) Modalitäten im Rahmen der Quantenlogik.B. C. van Fraassen: Meaning Relations and Modalities. In: Nous. 3 (1969), S. 155–167. M. L. Dalla Chiara: Quantum Logic and Physical Modalities. In: Journal of Philosophical Logic. 6 (1977), S. 391–404.
Weitgehend folgenlos für die weitere Entwicklung der Modallogik blieben die Versuche des Husserl-Schülers Oskar Becker 1930, die modalen Aussagen von Lewis phänomenologisch zu interpretieren.O. Becker: Zur Logik der Modalitäten. In: Jahrbuch für Philosophie und phänomenologische Forschung. 11 (1930), S. 497–548. Einer Anregung Beckers folgend zeigte Kurt Gödel 1932 eine enge Verbindung zwischen dem System S4 und der intuitionistischen Logik auf.K. Gödel: Eine intuitionistische Interpretation des Aussagenkalküls. In: Ergebnisse Eines Mathematischen Kolloquiums. 4 (1932), S. 39–40.
Grundlegend neu war das metasprachliche Konzept für Modalitäten von Rudolf Carnap 1934. Im Rahmen einer scharfen Kritik an Wittgensteins Auffassung von der grundsätzlichen Beschränktheit sprachlicher AusdrucksfähigkeitL. Wittgenstein: Logisch-philosophische Abhandlung (Tractatus logico-philosophicus). In: Annalen der Naturphilosophie. 14 (1921), insbes. dort Satz 4.21–4.24. behauptete er, die von Lewis vorgenommene Erweiterung der klassischen Logik durch Hinzufügung eines Operators „möglich“ sei zwar nicht falsch, aber überflüssig, „da die Metasprache, die auch zur Beschreibung der axiomatischen Modallogik nötig ist, bei exakter Formulierung bereits sowohl die Folgebeziehung als auch die Modalitäten auszudrücken gestattet.“R. Carnap: Logische Syntax der Sprache. Wien 1934, insbes. S. 196–199. Zitat nach F. J. Burghardt: Modalitäten in der Sprache der Quantenmechanik. Ideen von O. Becker und R. Carnap in der heutigen Grundlagenforschung der Physik (PDF; 1,0 MB), Köln 1981, S. 8. Nach seiner Emigration in die USA verfolgte Carnap selbst dieses Konzept nicht mehr, sondern schloss sich der im anglo-amerikanischen Raum ausschließlich anerkannten axiomatischen Modallogik an, so z. B. 1947 in seinem Buch Meaning and Necessity.
Dieses Konzept Carnaps, Modalitäten nur beim Sprechen über eine Sprache, also metasprachlich zu verwenden, wurde erst wieder 1952 von Becker aufgegriffen und zwei Jahre später von Paul Lorenzen zur Begründung seiner operativen Modallogik verwendet.P. Lorenzen: Zur Begründung der Modallogik. In: Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung. 2 (1954), S. 15–28 (= Archiv für Philosophie 5 (1954), S. 95–108). Die von Lorenzen (später auch von Schwemmer) ausgebaute konstruktive Logik auf der Grundlage einer formalisierten Dialogsemantik wurde erstmals von Peter Mittelstaedt 1961 in die Quantenlogik eingeführt und 1979 von seinem Schüler Franz Josef Burghardt zur „modalen Quantenmetalogik“ weiterentwickelt.P. Mittelstaedt: Quantenlogik. In: Fortschritte der Physik. 9 (1961), S. 106–147. F. J. Burghardt: Modale Quantenmetalogik mit dialogischer Begründung. Köln 1979; P. Mittelstaedt: Sprache und Realität in der modernen Physik. Mannheim 1986. Kap. VI: Möglichkeit und Wahrscheinlichkeit.
Zugrundeliegende Intuition Mit den Begriffen „möglich“ und „notwendig“ bietet die Sprache neben „wahr“ und „falsch“ eine zusätzliche Möglichkeit, Aussagen zu charakterisieren: Manche falsche Aussagen sind doch möglich, manche wahre Aussagen sind darüber hinaus notwendig. Wenn wir feststellen wollen, ob eine Aussage möglich ist, können wir versuchen, uns eine Situation vorzustellen, in der die Aussage wahr ist. Wir können uns beispielsweise vorstellen, dass es Menschen mit grüner Haut geben könnte. Die Aussage „Manche Menschen haben grüne Haut“ ist daher möglich. Wir können uns jedoch nicht vorstellen, dass es eckige Kreise geben könnte. Die Aussage „Es gibt eckige Kreise“ ist daher nicht möglich, d. h. unmöglich. Außerdem gibt es Aussagen, die in jeder vorstellbaren Situation wahr sind. Solche Aussagen bezeichnen wir als notwendig.
In der Modallogik spricht man statt von möglichen oder vorstellbaren Situationen auch von „möglichen Welten“. Die Situation, in der wir tatsächlich leben, ist dabei eine der möglichen Welten, die „tatsächliche Welt“ (engl. actual world, deshalb manchmal auch aktuelle Welt genannt). Eine Aussage ist möglich, wenn sie in einer möglichen Welt wahr ist, sie ist notwendig, wenn sie in allen möglichen Welten wahr ist.
Notwendige Aussagen sind z. B. „Kreise sind rund“ und „Junggesellen sind unverheiratet“. Allerdings erfordern Aussagen wie die des letzten Satzes, dass alle dieselbe Intuition über das, was ein Kreis ist, haben. Das ist mitnichten der Fall. Dann ist sie aber nicht als notwendig, sondern als möglich zu bezeichnen. Im Rahmen des Begriffs „Metrischer Raum“ kann jedes konvexe geometrische Objekt zusammen mit einem Punkt in seinem Inneren als sogenannter Einheitskreis dazu dienen, eine Metrik zu definieren, beispielsweise ein Rechteck, ein konvexer Zylinder oder eine Kugel. Alle weiteren Kreise in dieser Metrik ergeben sich daraus. In diesem Sinn erschiene die apodiktische Aussage „Kreise sind rund“ als eine, die Forderungen an eine eventuell sinnvoll mögliche, von der üblichen Intuition abweichende Begriffsdefinition „rund“ stellt.
Wenn man eine Aussage in diesem Sinn als möglich bezeichnet, nimmt man nicht Stellung dazu, ob die Aussage auch falsch sein könnte. Aus diesem Grund sind alle notwendigen Sachverhalte auch möglich: Wenn eine Aussage in allen möglichen Welten wahr ist, dann ist sie trivialerweise auch in mindestens einer möglichen Welt wahr. Von diesem Möglichkeitsbegriff unterscheidet sich der Begriff der Kontingenz: Kontingent ist eine Aussage genau dann, wenn sie in mindestens einer möglichen Welt wahr und in mindestens einer möglichen Welt falsch ist, wenn sie also möglich, aber nicht notwendig ist.
Wahrheitsfunktionalität der Modallogik Im Gegensatz zur klassischen Aussagenlogik ist die Modallogik nicht wahrheitsfunktional. Das heißt, dass, wenn man in einer Aussage, die modallogische Ausdrücke enthält, eine Teilaussage durch eine andere mit gleichem Wahrheitswert ersetzt, der Wahrheitswert der Gesamtaussage nicht unbedingt erhalten bleibt. Betrachten wir als Beispiel die Aussage „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“. Diese Aussage ist wahr (wir können uns vorstellen, dass Sokrates sich niemals für Philosophie interessiert hätte) und enthält als Teilaussage die falsche Aussage „Sokrates ist kein Philosoph“. Ersetzen wir nun diese Teilaussage durch die ebenfalls falsche Aussage „Es gibt eckige Kreise“, so erhalten wir „Es ist möglich, dass es eckige Kreise gibt“. Dies ist aber, im Gegensatz zu unserer Ausgangsaussage, falsch (denn wir können uns, wie gesagt, keine eckigen Kreise vorstellen). Damit ist gezeigt, dass die Modallogik nicht wahrheitsfunktional ist.
Notation SchreibweiseSprechweiseEs ist möglich, dass pEs ist notwendig, dass pp ist kontingent
In der Modallogik wird der Ausdruck „möglich“ (genauer: der Satzoperator „es ist möglich, dass…“) durch eine auf die Spitze gestellte Raute dargestellt, die auch „Diamond“ (engl. für Raute) heißt, und der Ausdruck „notwendig“ (genauer: „es ist notwendig, dass…“) durch ein kleines Quadrat, das auch „Box“ genannt wird.
Modallogische Folgerungen Modaloperatoren und Negation Verbinden sich die Modaloperatoren mit der Negation, also dem „nicht“ (in formaler Darstellung: ), so macht es einen Unterschied, ob die Negation sich auf den ganzen, aus Modaloperator und Aussage zusammengesetzten Ausdruck bezieht oder nur auf den dem Modaloperator nachgestellten Ausdruck. „Es ist nicht möglich, dass Sokrates Philosoph ist“ () bedeutet also etwas anderes als „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“ (), die erste Aussage ist falsch, die zweite wahr. Ferner ist zu beachten, dass sich Aussagen mit dem Möglichkeitsoperator in Aussagen mit dem Notwendigkeitsoperator übersetzen lassen und umgekehrt. „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“ ist gleichbedeutend mit „Es ist nicht notwendig, dass Sokrates ein Philosoph ist“, „Es ist nicht möglich (es ist unmöglich), dass Sokrates ein Elefant ist“ mit „Es ist notwendig, dass Sokrates kein Elefant ist“. In formaler Schreibweise: ist äquivalent zu ist äquivalent zu „Es ist möglich, dass Sokrates Philosoph ist“ ist darüber hinaus gleichbedeutend mit „Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Philosoph ist“ und „Es ist notwendig, dass Sokrates ein Mensch ist“ mit „Es ist nicht möglich, dass Sokrates kein Mensch ist“. ist äquivalent zu ist äquivalent zu Aufgrund dieser letzten beiden Äquivalenzen lässt sich der Möglichkeitsoperator durch den Notwendigkeitsoperator definieren bzw. umgekehrt.
Disjunktion und Konjunktion Die Disjunktion (Oder-Verknüpfung, symbolisch: ) zweier möglicher Aussagen ist gleichbedeutend mit der Möglichkeit ihrer Disjunktion. Aus „Es ist möglich, dass Sokrates ein Philosoph ist oder es ist möglich, dass er ein Schreiner ist“ folgt „Es ist möglich, dass Sokrates ein Philosoph oder ein Schreiner ist“ und umgekehrt. ist äquivalent zu Ähnliches gilt für den Notwendigkeitsoperator und die Konjunktion (Und-Verknüpfung, symbolisch: ): „Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind, und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind“ ist äquivalent mit „Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind“. ist äquivalent zu