mini|Visualisierung einer FEM-Simulation der Verformung eines Autos bei asymmetrischem Frontalaufprall mini|Darstellung der Wärmeverteilung in einem Pumpengehäuse mit Hilfe der Wärmeleitungsgleichung. Die „finiten Elemente“ sind mit den Elementkanten als schwarze Linien zu sehen.
Die Finite-Elemente-Methode (FEM), auch Methode der finiten Elemente und Finite Element Analysen (FEA) genannt, ist ein allgemeines, bei unterschiedlichen physikalischen Aufgabenstellungen angewendetes numerisches Verfahren. Am bekanntesten ist die Anwendung der FEM bei der Festigkeits- und Verformungsuntersuchung von Festkörpern mit geometrisch komplexer Form, weil sich hier der Gebrauch der klassischen Methoden (z. B. die Balkentheorie) als zu aufwändig oder nicht möglich erweist. Logisch basiert die FEM auf dem numerischen Lösen eines komplexen Systems aus Differentialgleichungen.
Das Berechnungsgebiet (z. B. der Festkörper) wird in endlich viele Teilgebiete (z. B. Teilkörper) einfacher Form aufgeteilt, z. B. in viele kleine Quader oder Tetraeder. Sie sind die „finiten Elemente“. Ihr physikalisches Verhalten kann aufgrund ihrer einfachen Geometrie mit bekannten Ansatzfunktionen gut berechnet werden. Das physikalische Verhalten des Gesamtkörpers wird dadurch nachgebildet, wie diese Elemente auf die Kräfte, Lasten und Randbedingungen reagieren und wie sich Lasten und Reaktionen beim Übergang von einem Element ins benachbarte fortpflanzen durch ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen, die die Ansatzfunktionen erfüllen müssen.
Die Ansatzfunktionen enthalten Parameter, die in der Regel eine physikalische Bedeutung besitzen, wie z. B. die Verschiebung eines bestimmten Punkts im Bauteil zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Suche nach der Bewegungsfunktion ist auf diese Weise auf die Suche nach den Werten der Parameter der Funktionen zurückgeführt. Indem immer mehr Parameter (z. B. immer mehr, kleinere Elemente) oder immer höherwertige Ansatzfunktionen benutzt werden, kann die Genauigkeit der Näherungslösung verbessert werden.
Die Entwicklung der FEM war in wesentlichen Etappen nur mittels der Entwicklung leistungsfähiger Computer möglich, da sie erhebliche Rechenleistung benötigt. Daher wurde diese Methode von vornherein computergerecht formuliert. Sie brachte einen wesentlichen Fortschritt bei der Behandlung von Berechnungsgebieten beliebiger Form.
Einführung mini|Generiertes Strukturmodell eines Hubkolbens (Dieselmotor) als Komponente eines Verbrennungsmotors zum Zwecke der Spannungsanalyse
Mit der FEM können Probleme aus verschiedenen physikalischen Disziplinen (statische, dynamische und nichtlinear thermo-physikalische Probleme) berechnet werden, da es sich grundsätzlich um ein numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen handelt. Zunächst wird das Berechnungsgebiet („Bauteil“) in eine große Anzahl von Elementen unterteilt – ausreichend fein. Diese Elemente sind endlich klein (finit), ihre tatsächliche Größe bleibt jedoch mathematisch relevant – sie sind nicht „unendlich klein“ (infinit). Das Aufteilen des Gebiets/Bauteils in eine bestimmte Anzahl Elemente finiter Größe, die sich mit einer endlichen Zahl von Parametern beschreiben lassen, gab der Methode den Namen „Finite-Elemente-Methode“.
Für diese Elemente gibt es Ansatzfunktionen (z. B. lokale Ritz-Ansätze je Element), die beschreiben, wie ein Element auf äußere Einflüsse und Randbedingungen reagiert. Setzt man diese Ansatzfunktionen für alle Elemente in die schwache Formulierung des zu lösenden Differentialgleichungsproblems ein, das die physikalischen Gesetze beschreibt, erhält man zusammen mit den Anfangs-, Rand- und Übergangsbedingungen ein meist sehr großes Gleichungssystem. Es (zumindest näherungsweise) zu lösen, ist die Aufgabe des FE-Gleichungslösers. Die Größe des zu lösenden Gleichungssystems hängt maßgeblich von der Anzahl der finiten Elemente ab. Seine Lösung stellt letztlich die numerische Lösung des betrachteten Differentialgleichungsproblems dar.
Geschichte Der Einsatz der FEM in der Praxis begann in den 1950er Jahren bei einer Strukturberechnung von Flugzeugflügeln in der Luft- und Raumfahrtindustrie (Turner, Clough 1956) und sehr bald auch im Fahrzeugbau. Die Methode basiert hier auf den Arbeiten bei der Daimler AG in Stuttgart, die das selbst entwickelte FEM-Programm ESEM (Elastostatik-Element-Methode) einsetzte, lange bevor die computerunterstützte Konstruktion (CAD) Anfang der 1980er Jahre ihren Einzug hielt. Der Ausdruck Finite-Elemente-Methode wurde erstmals 1960 von R. W. Clough vorgeschlagen und wird seit den 1970er Jahren überall verwendet. Die gängigste deutschsprachige Bezeichnung für industrielle Anwender ist Berechnungsingenieur.
Die Geschichte der Finite-Elemente-Methode erschließt sich aus den Forschungen und Veröffentlichungen der folgenden Autoren (Auswahl): Karl Heinrich Schellbach: Variationsrechnung; Lösung eines Minimalflächenproblems (1851/52) Ernst Gustav Kirsch: Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elastizität fester Körper, hergeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, welche durch elastische Streben verbunden sind (1868)Ernst Gustav Kirsch: Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elastizität fester Körper, hergeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, welche durch elastische Streben verbunden sind. In: Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, Band 7 (1868), Heft 8. John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842–1919): On the theory of resonance. 1870 Walter Ritz (1878–1909): neue Methode zur Lösung von Variationsproblemen, Ritz’sches Verfahren (1908/09) Boris G. Galerkin (1871–1945): Verfahren der gewichteten Residuen (1915) Erich Trefftz (1926): lokal begrenzte Ansatzfunktionen; Gegenstück zum Ritz’schen Verfahren Hans Ebner (1929): Schubblech als ebenes Element im Flugzeugbau Alexander Hrennikoff (1896–1984): Stabmodelle, Ersetzen von Scheiben durch Fachwerke, Platten durch Trägerroste 1940/41 Richard Courant (1888–1972): Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration(s). 1943 (Ansatzfunktionen mit lokalem Träger, elementweise Ansätze für Schwingungsprobleme) William Prager (1903–1980), John Lighton Synge (1897–1995): Approximation in Elasticity based on the concept of function space. 1947 John Argyris (1913–2004): Kraft- und Verschiebungsmethode für Stabtragwerke, Matrizenformulierung (1954/55) M. J. Turner, Ray W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp: Stiffness and deflection analysis of complex structures. 1956 (erste Strukturberechnung von Flugzeugflügeln bei Boeing, erste Anwendung der FEM mit Computerprogramm, erste Anwendung von Flächenelementen) Ray W. Clough (1920–2016): The finite element method in plane stress analysis. 1960 (wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs Finite Elemente) Spierig (1963): Entwicklung von Dreieckelementen, Übertragung auf Schalen Olgierd Cecil Zienkiewicz (1921–2009), Pionier der FEM und erstes Standardwerk (Lehrbuch): The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics, 1967 (mit Y. K. Cheung) Alfred Zimmer (* 1920) und Peter Groth (* 1938), Pioniere der FEM, erstes deutsches FEM-Lehrbuch: Elementmethode der Elastostatik, 1969 Oldenbourg Verlag München, Wien Olga Alexandrowna Ladyschenskaja (1922–2004), Ivo Babuška (1926–2023) und Franco Brezzi (* 1945) – Ladyschenskaja-Babuška-Brezzi-Bedingung für die Stabilität eines gemischten Finite-Elemente-Problems mit Sattelpunktstruktur Ivo Babuška (1926–2023) – adaptive Finite-Elemente-Algorithmen
Anwendung Die erste Anwendung der FEM war die lineare Behandlung von Festkörpern und Strukturen in Form der Verschiebungsmethode, wobei die Bezeichnung „Finite Elemente“ erst später eingeführt wurde. Im weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode immer weiter verallgemeinert und kann nunmehr auf viele physikalische Problemstellungen angewendet werden, welche bei verschiedensten technischen Fragestellungen in den Ingenieurwissenschaften oder auch bei Wettervorhersagen auftreten. Dementsprechend findet die Methode insbesondere in den Branchen Bauingenieurwesen, Fahrzeugbau, Maschinenbau, Medizintechnik sowie Luft- und Raumfahrttechnik weitverbreitete Anwendung. Von zentraler Bedeutung ist die Methode in der Produktentwicklung, wobei durch Simulation am Computer viele Prototypen, Messungen und Tests eingespart werden können. Beispielsweise kann durch mechanische Festigkeitsberechnung kompletter Fahrwerks- und Karosseriestrukturen die Zahl an notwendigen Crashtests erheblich reduziert werden.
Vorgehen bei einer mechanischen Berechnung (exemplarisch) Programme, welche die Finite-Elemente-Methode verwenden, arbeiten nach dem EVA-Prinzip: Der Anwender erstellt in einem CAD-Programm eine (Bauteil-)Geometrie. Anschließend gibt er im sogenannten FE-Präprozessor weitere Eingaben vor. Ein FEM-Gleichungslöser führt die eigentliche Rechnung durch, und der Benutzer erhält die berechneten Ergebnisse, welche er dann im sogenannten FE-Postprozessor in Form grafischer Anzeigen betrachten kann. Oft sind Prä- und Postprozessor in einem Programm kombiniert oder sogar Bestandteil des CAD-Programms. mini|Prozesskette lineare Festigkeitsrechnung
Eingabe: Präprozessor Im CAD-Programm wird das Bauteil konstruiert und mittels einer Direktschnittstelle oder mit einem neutralen Austauschformat wie STEP in den FE-Präprozessor übertragen. Durch die Anwahl von Netzparametern wie Elementgröße und Elementart (z. B. Tetraeder oder Quader im dreidimensionalen Fall) im Vernetzungsmodul des Programms werden mit Hilfe eines Vernetzungsalgorithmus die Finiten-Elemente erzeugt. Für die mechanische Festigkeitsanalyse ist das Materialverhalten einzugeben, denn je nach Werkstoff ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung unterschiedlich und es ergeben sich verschiedene Verformungen. Im einfachsten Fall, der linearen Isotropie, werden für die FE-Berechnung lediglich der Elastizitätsmodul und die Poissonzahl benötigt. Weitere Randbedingungen sind die einwirkenden Belastungen auf das Bauteil (Kräfte, Druck, Temperatur etc.). Schließlich werden die Auflager des Bauteils sowie ggf. vorgegebene Verschiebungen im Modell eingeführt.
Verarbeitung: Gleichungslöser Je nach Programm kommt nun ein separater (eigenständiges Programm) oder ein integrierter Gleichungslöser zum Einsatz. Er berechnet, wie sich die Lasten, Kräfte und Randbedingungen auf die Einzelelemente des Bauteils auswirken, und wie sich die Kräfte sowie die Auswirkungen im Bauteil fortpflanzen und auf benachbarte Elemente auswirken. Die Rechenzeit hierfür wird maßgeblich durch die Anzahl der Finiten Elemente bestimmt, wobei auch die Art der Elemente eine Rolle spielt. Der Aufwand steigt außerdem, wenn die Berechnung im Zuge eines iterativen Verfahrens mehrmals durchgeführt wird, wie im Falle einer nichtlinearen FE-Analyse.
Ausgabe: Postprozessor Im Falle der mechanischen Festigkeitsberechnung erhält der Benutzer als Ergebnis des FEM-Gleichungslösers insbesondere Spannungs-, Deformations- und Dehnungswerte. Diese kann der Postprozessor zum Beispiel in einem Falschfarbenbild darstellen. Die Vergleichsspannungswerte werden beispielsweise zum Festigkeitsnachweis eines Bauteils verwendet.
Allgemeine Funktionsweise Diskretisierung Die Finite-Elemente-Methode ist ein Diskretisierungsverfahren. Das bedeutet, dass für ein unendlichdimensionales Problem eine endlichdimensionale Näherung berechnet wird.
Hierzu wird das Grundgebiet in einfache Teilgebiete, die so genannten finiten Elemente zerlegt (Vernetzung, Vermeshen). Die Bezeichnung „finit“ hebt den Unterschied zur analytischen Betrachtung auf infinitesimalen Elementen hervor. Die Ecken der finiten Elemente heißen Knoten. Diese Knoten bilden die diskrete Untermenge für das numerische Verfahren. Auf den Elementen werden endlichdimensionale Approximationen eingeführt, welche