Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe aller ihrer (positiven) Teiler außer sich selbst ist. Eine äquivalente Definition lautet: Eine vollkommene Zahl ist eine Zahl, die halb so groß ist wie die Summe aller ihrer positiven Teiler (sie selbst eingeschlossen), d. h. . Die kleinsten drei vollkommenen Zahlen sind 6, 28 und 496.Auch wenn die 1 die Berechnungsformel erfüllen würde, zählt sie nicht, da sie nur durch sich selbst teilbar ist, was hier außen vor bleibt. Beispiel: Die positiven Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14, 28 und es gilt Alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade und von Mersenne-Primzahlen abgeleitet. Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Schon in der griechischen Antike waren vollkommene Zahlen bekannt, ihre wichtigsten Eigenschaften wurden in den Elementen des Euklid behandelt. Alle geraden vollkommenen Zahlen enden auf 6 oder 8. Vollkommene Zahlen waren oft Gegenstand zahlenmystischer und numerologischer Deutungen.
Gerade vollkommene Zahlen Die Teilersumme einer Zahl ist notwendigerweise kleiner als, größer als oder gleich . Im ersten Fall ist defizient, im zweiten Fall abundant und im dritten Fall vollkommen. Im Gegensatz zu defizienten und abundanten Zahlen sind vollkommene Zahlen sehr selten. Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus dem Term
durch Belegen von mit geeigneten Zahlen ergeben: Für : Für : Für : Für : .
+ Die ersten 12 vollkommenen Zahlen () 2 6 3 28 5 496 7 8.128 13 33.550.336 17 8.589.869.056 19 137.438.691.328 31 2.305.843.008.139.952.128 61 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176 89 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216 107 13.164.036.458.569.648.337.239.753.460.458.722.910.223.472.318.386.943.117.783.728.128 127 14.474.011.154.664.524.427.946.373.126.085.988.481.573.677.491.474.835.889.066.354.349.131.199.152.128
Euklid bewies, dass immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn eine Primzahl ist. Dies sind die sogenannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können: Gerade vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen sind einander umkehrbar eindeutig zugeordnet.
Bis zum Oktober 2024 waren 52 Mersenne-Primzahlen bekannt; und zwar für folgende Exponenten : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1.279, 2.203, 2.281, 3.217, 4.253, 4.423, 9.689, 9.941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457, 32.582.657, 37.156.667, 42.643.801, 43.112.609, 57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933, 136.279.841. ()
Klassische Probleme Offen ist, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Offen ist, ob es unendlich viele gerade vollkommene Zahlen gibt. Diese Frage deckt sich mit der Frage, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Offen ist, ob es überhaupt eine ungerade vollkommene Zahl gibt. Falls eine solche Zahl existiert, hat sie folgende Eigenschaften: Sie ist größer als . Sie hat die Form oder mit einer natürlichen Zahl . (Satz von Jacques Touchard).Judy A. Holdener: A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers. In: Am. Math. Mon. 109, No. 7, 661–663 (2002).Man erhält also den Rest 1 bei ganzzahliger Teilung durch 12 bzw. den Rest 9 bei ganzzahliger Teilung durch 36. Sie besitzt mindestens 9 verschiedene Primteiler (Nielsen). Sie besitzt mindestens 12 verschiedene Primteiler, wenn sie nicht durch 3 teilbar ist (Nielsen). Ist die Anzahl ihrer verschiedenen Primteiler und der kleinste von ihnen, so gilt (Satz von Otto Grün). Sie ist kleiner als , wobei die Anzahl ihrer verschiedenen Primteiler ist (Satz von D. R. Heath-Brown). Sie ist sogar kleiner als (Nielsen). Sollte sie kleiner als sein, dann ist sie durch teilbar mit einer Primzahl , die größer als ist. Sie ist keine Quadratzahl. Ihr größter Primteiler ist größer als (Goto & Ohno). Ihr zweitgrößter Primteiler ist größer als (Iannucci). Ihr drittgrößter Primteiler ist größer als (Iannucci).
Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen Summe der reziproken Teiler Die Summe der Kehrwerte aller Teiler einer vollkommenen Zahl (einschließlich der Zahl selbst) ergibt den Abundanzindex (Abundante Zahl), das heißt die Teilersumme durch die Zahl geteilt, nämlich 2:
Beispiel: Für gilt:
Darstellung von Eaton (1995, 1996) Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung mit und einer nichtnegativen ganzen Zahl .
Umgekehrt erhält man nicht zu jeder natürlichen Zahl eine vollkommene Zahl.
Beispiele: ergibt und (vollkommen). ergibt und (vollkommen). ergibt und (nicht vollkommen).
Summe der Kuben der ersten ungeraden natürlichen Zahlen Mit Ausnahme von 6 lässt sich jede gerade vollkommene Zahl darstellen als
wobei der Exponent der Mersenne-Primzahl aus der Darstellung ist.
Beispiele:
Bemerkung: Für jedes und gilt: (Summenformel ungerader Kubikzahlen). Insbesondere trifft das auch für alle Zweierpotenzen und mit zu:
Mit ungeradem kann man substituieren:
Die Darstellung als Summe von Kubikzahlen ist eine Eigenschaft, die nur sehr mittelbar etwas mit vollkommenen Zahlen mit p = 2, 3, 5, 7, 13, … zu tun hat (erst nach dem Entfernen der ersten vollkommenen Zahl n(p=2)=6 und unter der Annahme, dass es keine ungeradzahligen vollkommenen Zahlen gibt), sondern eine Eigenschaft der Zahlenreihe
ist. Wir sehen auch, warum sie für die erste vollkommene Zahl nicht gelten kann ( ist nicht ungerade und daher nicht ganzzahlig). Diese Gleichung wird übrigens für Zahlen neben acht vollkommenen Zahlen von insgesamt 2.659.147.948.473 Zahlen erfüllt.
Summe der ersten natürlichen Zahlen Jede gerade vollkommene Zahl lässt sich darstellen als
wobei die zugehörige Mersenne-Primzahl ist. Jede gerade vollkommene Zahl ist daher auch eine Dreieckszahl.
Beispiele:
Eine weitere Darstellung
Jede gerade vollkommene Zahl lässt sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl darstellen als
Binärsystem Eine gerade vollkommene Zahl erscheint im Dualsystem als charakteristische Folge von Einsen und Nullen.
Aufgrund ihrer Form stellt sie sich im Zahlensystem zur Basis 2 als Folge von Einsen und Nullen dar:
Quaternärsystem Eine gerade vollkommene Zahl erscheint im Quaternärsystem als charakteristische Folge von Dreien und Nullen.
Aufgrund ihrer Form stellt sie sich im Zahlensystem zur Basis 4 als Folge von Eins, Dreien und Nullen dar:
Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen Eine -vollkommene Zahl ist eine Zahl, deren Summe ihrer positiven Teiler, die kleiner als die Zahl selbst sind, das -Fache der Zahl selbst ergibt. Die vollkommenen Zahlen sind dann genau die -vollkommenen Zahlen. Alle -vollkommenen Zahlen mit sind trivialerweise abundante Zahlen.
Beispiel: 120 besitzt als positive Teiler <120 die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, und 60. Die Summe dieser Zahlen ergibt , womit 120 eine -vollkommene Zahl ist.
Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen Abundante und defiziente Zahlen Abundante Zahlen sind solche natürliche Zahlen , bei denen die Summe der echten Teiler größer als die Zahl selbst ist. Defiziente Zahlen sind solche natürliche Zahlen, bei denen diese Summe kleiner als die Zahl selbst ist.
Die kleinste abundante Zahl ist die 12. Als Teilersumme ergibt sich . Die abundanten Zahlen bis 100 sind die folgenden: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, … () Die defizienten Zahlen sind fast alle anderen: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … () Ist eine Zahl weder abundant noch defizient, so ist sie eine vollkommene Zahl.
Befreundete und gesellige Zahlen Zwei verschiedene natürliche Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler der ersten Zahl die zweite und die der zweiten Zahl die erste ist, nennt man ein befreundetes Zahlenpaar. Die kleinere von ihnen ist abundant und die größere ist defizient.
Beispiel: und bilden das kleinste Paar befreundeter Zahlen.
Werden mehr als zwei natürliche Zahlen benötigt, um auf diese Weise wieder zur Ausgangszahl zurückzukommen, spricht man von geselligen Zahlen (engl. sociable numbers).
Beispiel für 5 gesellige Zahlen: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264
Pseudovollkommene Zahlen Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommen, wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.
Beispiel: ist pseudovollkommen, aber nicht vollkommen, weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt.
Alle pseudovollkommenen Zahlen sind entweder vollkommen oder abundant.
Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen bilden die primär pseudovollkommenen Zahlen: Sei eine zusammengesetzte Zahl und die Menge der Primteiler von . Die Zahl heißt primär pseudovollkommen, wenn gilt:
Äquivalent dazu ist die folgende Charakterisierung: Eine zusammengesetzte Zahl mit der Menge der Primteiler ist genau dann primär pseudovollkommen, wenn gilt: . Daran zeigt sich die enge Beziehung der primär pseudovollkommenen Zahlen zu den Giuga-Zahlen, die durch charakterisiert sind.
Die kleinsten bekannten primär pseudovollkommenen Zahlen sind (): 2 = 2 6 = 2 × 3 42 = 2 × 3 × 7 1.806 = 2 × 3 × 7 × 43 47.058 = 2 × 3 × 11 × 23 × 31 2.214.502.422 = 2 × 3 × 11 × 23 × 31 × 47.059 52.495.396.602 = 2 × 3 × 11 × 17 × 101 × 149 × 3.109 5.998.279.018.951.962.402 = 2 × 3 × 11 × 17 × 101 × 157 × 1.979 × 10.093 × 16.879 8.490.421.583.559.688.410.706.771.261.086 = 2 × 3 × 11 × 23 × 31 × 47.059 × 2.217.342.227 × 1.729.101.023.519 Es ist unbekannt, ob es unendlich viele primär pseudovollkommenen Zahlen gibt oder ob es ungerade primäre pseudoperfekte Zahlen gibt. (A054377)
Eigenschaften der primär pseudovollkommenen Zahlen: Alle primär pseudovollkommenen Zahlen sind quadratfrei. Die Zahl 6 ist die einzige primär pseudovollkommene Zahl, die zugleich vollkommen ist. Alle anderen primär pseudovollkommenen Zahlen sind abundant. Es existieren nur endlich viele primär pseudovollkommenen Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele primär pseudovollkommene Zahlen gibt.
Weird Numbers oder merkwürdige Zahlen
Eine natürliche Zahl heißt weird (zu deutsch „merkwürdig“), wenn sie abundant, aber nicht pseudovollkommen ist. Sie lässt sich also nicht als Summe einiger ihrer echten Teiler darstellen, obwohl die Gesamtsumme ihrer echten Teiler die Zahl übersteigt.
Beispiel: Die Zahl 70 ist die kleinste merkwürdige Zahl. Sie kann nicht als Summe von Zahlen aus der Teilermenge geschrieben werden. Die nächsten merkwürdigen Zahlen sind 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430. ()
Eigenschaften: Es existieren unendlich viele merkwürdige Zahlen. Alle bekannten merkwürdigen Zahlen sind gerade. Es ist unbekannt, ob eine ungerade merkwürdige Zahl existiert.
Erhabene Zahlen
Sind sowohl die Teileranzahl als auch die Summe der Teiler einer natürlichen Zahl vollkommene Zahlen, dann bezeichnet man als erhaben. Zur Zeit (2010) sind nur zwei erhabene Zahlen bekannt: die 12 und eine Zahl mit 76 Stellen ().
Quasivollkommene Zahlen
Quasivollkommene Zahlen () ergeben sich als naheliegende Modifikation der vollkommenen Zahlen. Dazu nimmt man statt der ganzen Teilermenge einer natürlichen Zahl nur die nichttrivialen Teiler, also alle Teiler außer und selbst, und fordert, dass deren Summe gleich der Zahl sei. Ein ist demgemäß genau dann quasivollkommen, wenn die Gleichung
erfüllt ist.
Bislang (Stand: 2006) ist keine quasivollkommene Zahl bekannt. Man hat lediglich eine Reihe von notwendigen Bedingungen gefunden, denen jede quasivollkommene Zahl zu genügen hat, so etwa:
hat mindestens 7 verschiedene Primfaktoren.