Der Subtrahierer ist eine elektronische Schaltung der Analogtechnik zur Messung von elektrischen Potentialdifferenzen.
In der Praxis werden Subtrahierer aus Operationsverstärkern, gegengekoppelten Differenzverstärkern oder mit geschalteten Kondensatoren (Switched-Capacitor-Technik) realisiert.
Eingangswiderstand und Güte Beim Subtrahierer ist der Eingangswiderstand von besonderem Interesse, da es bei Messungen der Potentialdifferenz mit
wichtig ist, die Potenzialdifferenz möglichst unabhängig von der der Differenz überlagerten Gleichtaktspannung mit
zu messen, da die Gleichtaktspannung in der Praxis häufig um den Faktor 104 oder mehr größer sein kann.
Die Güte der Gleichtaktunterdrückung (engl.: CMRR – common mode rejection ratio) ist durch die Gleichung
beschrieben. Der Wert der Güte des Subtrahierers muss dabei wesentlich größer sein als das Verhältnis von der minimalen zu messenden Potenzialdifferenz zur maximalen Gleichtaktspannung, um einen korrekten Wert zu liefern.
Weitere Probleme können sich zudem ergeben, wenn die Gleichtaktspannung eigene Frequenzen aufweist, da hier auch das Frequenz- und Laufzeitverhalten – sowie die veränderte Verstärkung – der Schaltung berücksichtigt werden muss.
Aufbau mit Operationsverstärker gerahmt|Subtrahierer aus Inverter und Addierer Eine Subtraktion lässt sich auf eine Addition zurückführen, indem man das zu subtrahierende Signal invertiert und anschließend die beiden Signale addiert. Bei der im Bild gezeigten Schaltung wird die Eingangsspannung U2 am Operationsverstärker N1 invertiert. Der Operationsverstärker N2 bildet eine Additionsschaltung und addiert die Spannung U1 mit dem invertierten Signal. Dadurch ergibt sich für die Ausgangsspannung der Zusammenhang
wobei A1 und A2 die Verstärkungen der jeweiligen Schaltungen mit N1 bzw. N2 darstellen. Eine reine Differenzverstärkung ergibt sich, wenn man die beiden Verstärkungen gleich groß wie die geforderte Differenzverstärkung wählt
Zur Berechnung der Gleichtaktverstärkung (d. h. die Abweichung von der idealerweise reinen Differenzverstärkung) ist in dieser Schaltung gegeben durch
Durch Einsetzen von
und
erhält man
Hierbei ist UGl die Gleichtaktspannung, AGl die Gleichtaktverstärkung, UD die Differenzspannung und AD die Differenzverstärkung.
Die Gleichtaktunterdrückung ergibt sich folglich aus
Um eine maximale Gleichtaktunterdrückung zu erreichen, muss also
gelten. Dies wird als Koeffizientenbedingung bezeichnet. In diesem Fall gilt weiter:
Durch Einsetzen erhält man
Dies bedeutet, dass die Gleichtaktunterdrückung gleich dem Kehrwert der relativen Paarungstoleranz der beiden Verstärkungen ist.
Subtrahierverstärker gerahmt|Subtrahierer mit einem Operationsverstärker Ein Subtrahierer kann auch vereinfacht mit nur einem Operationsverstärker aufgebaut werden. Dazu schließt man das zu subtrahierende Signal an den jeweils inversen Anschluss des Operationsverstärkers. Hierbei nutzt man aus, dass der Operationsverstärker nur die Differenzspannung zwischen dessen N- und P-Eingang verstärkt.
Funktionsweise Über den Überlagerungssatz gilt für die nebenstehende Schaltung die Gleichung
Mit arbeitet der Subtrahierverstärker als Umkehrverstärker:
Mit arbeitet die Schaltung als Elektrometerverstärker (d. h., der Ausgang wird nicht invertiert) mit einem vorgeschalteten Spannungsteiler. Das Potenzial am P-Anschluss des Operationsverstärkers ergibt sich aus
und wird um den Faktor verstärkt. Somit gilt:
Gleiches Widerstandsverhältnis Für den Fall, dass die beiden Widerstandsverhältnisse gleich sind, also:
und damit
gilt, folgt durch Einsetzen in die obenstehende Gleichung:
Für die Ausgangsspannung folgt schließlich:
Ungleiches Widerstandsverhältnis Für den Fall, dass die beiden Widerstandsverhältnisse nicht gleich sind, gilt:
Gleichtaktunterdrückung Zur Berechnung der Gleichtaktunterdrückung verwenden wir wieder obenstehende Gleichungen
und
Durch Einsetzen erhält man
wo
Die Gleichtaktunterdrückung ergibt sich folglich aus
Mit der Koeffizientenbedingung
folgt eine Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung:
Die Gleichtaktunterdrückung ist also invers proportional zur Toleranz der Widerstandsverhältnisse, wenn der Faktor konstant ist. Sind die beiden Widerstandsverhältnisse gleich, gilt:
was jedoch nur mit einem idealen Operationsverstärker erreicht werden kann, der in der Praxis nicht vorkommt. Wird eine möglichst hohe Gleichtaktunterdrückung gefordert, wird etwa so eingestellt, dass die endliche Gleichtaktunterdrückung des Operationsverstärkers möglichst stark kompensiert wird. Zudem ist die Gleichtaktunterdrückung bei einer vorhandenen Widerstandstoleranz mit
annähernd proportional zur eingestellten Differenzverstärkung:
Mehrfach-Subtrahierer gerahmt|Mehrfach-Subtrahierer In der nebenstehenden Abbildung ist die Erweiterung des Subtrahierers für eine beliebige Anzahl von Additionen und Subtraktionen dargestellt. Bei dieser Schaltung muss die Koeffizientenbedingung erfüllt sein, damit die korrekte Arbeitsweise der Schaltung gewährleistet ist. Ist dies nach der Vergabe der Koeffizienten nicht der Fall, wird dem fehlenden Koeffizienten die Spannung 0 addiert bzw. subtrahiert – d. h., man berechnet einen zusätzlichen Additions- bzw. Subtraktionseingang mit einem passenden Koeffizienten und legt diesen auf Masse.
Über die Knotenregel erhält man für den N-Eingang:
daraus folgt:
Ebenfalls über die Knotenregel erhält man für den P-Eingang:
Wenn die zusätzlichen Bedingungen
und
erfüllt sind, folgt durch Subtraktion der beiden Gleichungen die Gleichung
Subtrahierer mit hochohmigen Eingängen gerahmt|Subtrahierer aus Subtrahierverstärker mit Impedanzwandlern Der Aufbau des Subtrahierers mit hochohmigen Eingängen basiert im Wesentlichen auf dem Subtrahierverstärker, bietet jedoch zusätzliche Spannungsfolger an den Eingängen, um die zu messenden Potenziale nicht mit dem Eingangswiderstand des Subtrahierers zu belasten. Zudem lässt sich eine höhere Gleichtaktunterdrückung erzielen, wenn man die Spannungsverstärkung in die Impedanzwandler verlagert und auf dem Subtrahierer die Verstärkung 1 eingestellt wird.
Für den im Bild gezeigten Subtrahierverstärker mit Impedanzwandlern gilt hierbei die folgende Gleichung:
Symmetrischer Elektrometersubtrahierer gerahmt|Elektrometersubtrahierer Ein Spezialfall dieses Typs ist der (symmetrische) Elektrometersubtrahierer, bei dem zwischen den beiden Impedanzwandlern ein zusätzlicher Widerstand geschaltet wird. Dieser Schaltungstyp wird allgemein als Instrumentierungsverstärker, Instrumentenverstärker,Diese Bezeichnung ist missverständlich, da sie auch für elektrische Musikinstrumente verwendet wird, siehe Gitarrenverstärker. Instrumentationsverstärker oder engl. Instrumentation Amplifier, kurz InAmp, bezeichnet. Diese Schaltung ist eine besonders präzise Operationsverstärker-Schaltung mit sehr hochohmigen (typ. 1 GΩ) Eingängen, besonders hoher Gleichtaktunterdrückung und geringer Eingangs-Offsetspannung.
Der Widerstand macht die Differenzverstärkung einstellbar. Bei arbeiten die beiden Operationsverstärker am Eingang als Spannungsfolger, was dem Subtrahierverstärker mit Impedanzwandlern ohne entspricht. Am Widerstand tritt die Potenzialdifferenz auf. Dadurch gilt:
Die Differenz wird dabei an den Ausgang übertragen.
Bei einer reinen Gleichtaktaussteuerung gilt
wodurch die Gleichtaktverstärkung immer den Faktor 1 aufweist. Dadurch ergibt sich für die Gleichtaktunterdrückung der Zusammenhang
wobei der Faktor die relative Paarungstoleranz der Widerstände darstellt.
siehe Hauptartikel: Instrumentierungsverstärker
Asymmetrischer Elektrometersubtrahierer Durch einen asymmetrischen Aufbau des Elektrometersubtrahierers kann der Operationsverstärker am Ausgang entfallen.
gerahmt|Asymmetrischer Elektrometersubtrahierer Der im ersten Bild gezeigte asymmetrische Elektrometersubtrahierer verstärkt das Eingangssignal mit am Operationsverstärker mit der Verstärkung
und das Eingangssignal mit am Operationsverstärker mit der Verstärkung . Zusätzlich addiert sich das in den Flusspunkt induzierte Potenzial mit der Gewichtung . Betragsmäßig werden also die beiden Eingangsspannungen um den Faktor
verstärkt. Daher ergibt sich für die Ausgangsspannung
Wie im zweiten Bild gezeigt, kann durch die Verwendung eines zusätzlichen (regelbaren) Widerstandes zwischen den Potenzialen und die Verstärkung der Schaltung eingestellt werden. Für die Ausgangsspannung gilt die Gleichung
Bei Anwendungen, bei denen nur ein hochohmiger Eingang benötigt wird, kann auch die im dritten Bild gezeigte Schaltung verwendet werden. Diese benötigt nur einen einzigen Operationsverstärker. Allerdings ist die Verstärkung von immer größer als die von , was die Einsatzmöglichkeiten weiter einschränkt, was jedoch beispielsweise bei der Verstärkung und Nullpunktverschiebung von Sensorsignalen keinen Nachteil darstellt. Für die Ausgangsspannung gilt die Gleichung
Zudem erhält man durch das Weglassen von () einen herkömmlichen Verstärker. Setzt man zudem noch so gilt für die Ausgangsspannung der Zusammenhang
Hochspannungssubtrahierer gerahmt|Hochspannungssubtrahierer Auch zur Subtraktion von Hochspannungen werden hochohmige Eingänge benötigt. Da jedoch eine hohe Dämpfung erforderlich ist, um die Hochspannung am Eingang auf eine Niederspannung am Ausgang zu reduzieren, wählt man . Dadurch, dass die beiden Widerstände und damit die Eingänge sehr hochohmig sind, können die Impedanzverstärker am Eingang entfallen. Gleichzeitig wird über den Spannungsteiler, bestehend aus und die Spannung so weit heruntergesetzt, dass man keinen Hochspannungs-Operationsverstärker benötigt.
Der in der ersten Abbildung gezeigte Hochspannungssubtrahierer hat den Nachteil, dass das Differenzsignal ebenfalls sehr stark gedämpft wird. Für die Verstärkung in der ersten Schaltung gilt:
Um bei kleinen Spannungsdifferenzen dennoch eine möglichst große Aussteuerung zu erreichen, muss daher ein zusätzlicher Verstärker am Ausgang eingesetzt werden, wodurch sich jedoch das Signal-Rausch-Verhältnis verschlechtert.
Um dieses Problem zu umgehen, kann man den Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung einsetzen. Bei dieser Schaltung kann die Dämpfung der hohen Eingangsspannungen und die Verstärkung der Differenzspannung getrennt dimensioniert werden. Die Widerstände und bestimmen die Verstärkung, während die Widerstände nur auf die Gleichtaktaussteuerung wirken. Der in der Abbildung gezeigte Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung entspricht dem INA 148 von Burr Brown und hat die Verstärkung 1 für die Spannungsdifferenz.
Nachteilig am Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung ist jedoch, dass die beiden -Widerstände die Eingangssignale des Operationsverstärkers dämpfen. Dadurch reduziert sich die Schleifenverstärkung und folglich auch die Bandbreite der Schaltung. Zudem wird die Offsetspannung und der Offsetspannungsdrift des Operationsverstärkers verstärkt. Dadurch werden in dieser Schaltung wesentlich bessere Operationsverstärker benötigt. Zudem benötigt man für die beiden -Widerstände Bauteile mit sehr geringer Toleranz. Die Widerstände und am nichtinvertierenden Eingang werden nicht zusammengefasst, um eine möglichst geringe Gleichlauftoleranz sicherzustellen.
Aufbau mit Differenzverstärker gerahmt|Elektrometer-Subtrahierer mit gegengekoppelten Differenzverstärkern Durch die manuelle Dimensionierung der Stromgegenkopplung kann man die Differenzverstärkung des Differenzverstärkers einstellen. Zudem lässt sich im Differenzverstärker durch den Einsatz einer Konstantstromquelle am Emitter eine hohe Gleichtaktunterdrückung erzielen. Eine solche Schaltung ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.