Die abc-Vermutung () ist eine im Jahre 1985 von David Masser und Joseph Oesterlé aufgestellte mathematische Vermutung, die in den letzten Jahren mehr und mehr Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat. Es geht dabei um die Abschätzung einer drei teilerfremden natürlichen Zahlen zugeordneten Größe für den Fall, dass eine der drei Zahlen die Summe der beiden anderen ist. Im Wesentlichen besagt die Vermutung von Masser und Oesterlé, dass bei drei „großen“ natürlichen Zahlen, die in der beschriebenen Weise additiv verknüpft sind, nicht alle Primfaktoren „klein“ sein können.
Einer bekannten Heuristik zufolge beruht die abc-Vermutung darauf, dass natürliche Zahlen mit zahlenmäßig vielen mehrfach auftretenden Primfaktoren – sogenannte hochpotente oder auch „reiche“ Zahlen – vergleichsweise selten vorkommen. In Anlehnung an eine Definition von Barry Mazur kann eine natürliche Zahl als multiplikativ hochpotent bezeichnet werden, wenn ihre Binärdarstellung wesentlich länger ist als die Binärdarstellung ihres größten quadratfreien Teilers, also des Produktes aller enthaltenen verschiedenen Primfaktoren. Dann besagt die abc-Vermutung für zwei teilerfremde hochpotente Zahlen und , dass weder ihre Summe noch ihre Differenz hochpotent sein kann,Noam Elkies: The ABC´s of Number Theory (PDF; 417 kB) eventuell mit Ausnahmen, wenn klein ist.
Die Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Sie gilt aber wegen ihrer Schwierigkeit und wegen ihrer Bedeutung als prominenter Nachfolger der inzwischen bewiesenen Fermatschen Vermutung. Es ist bereits eine Vielzahl weitreichender zahlentheoretischer Theoreme bekannt, die unter der Voraussetzung der Gültigkeit der abc-Vermutung hergeleitet werden können.Gerhard Frey: Die ABC-Vermutung. Spektrum d. Wiss. Februar 2009, S. 70–77
Dorian Goldfeld bezeichnete sie sogar als wichtigstes ungelöstes Problem der diophantischen Analysis.Dorian Goldfeld: Beyond the last theorem. In: The Sciences, März–April 1996, Volume 36, S. 34–40. doi:10.1002/j.2326-1951.1996.tb03243.x Formulierung Das Radikal einer positiven ganzen Zahl ist das Produkt der unterschiedlichen Primfaktoren von .
Mit anderen Worten: Es ist die Gleichung
gegeben.Primfaktoren, die in der Primfaktorzerlegung von mehrfach vorkommen, werden bei der Berechnung von also nur einmal berücksichtigt. Beispielsweise ist .Erfüllen drei ganze Zahlen die Gleichung und sind sie teilerfremd, so sind sie aufgrund elementarer Eigenschaften der Teilbarkeitsbeziehung auch paarweise teilerfremd.
Legt man dies zugrunde, so lautet die abc-Vermutung in ausformulierter Form: Für jedes reelle existiert eine Konstante , so dass für alle Tripel teilerfremder positiver ganzer Zahlen mit die Ungleichung
erfüllt ist.
Zu beachten ist, dass die Vermutung für formuliert wird, da die entsprechende Aussage mit nachweislich falsch ist.
Man kann die Vermutung auch für Tripel beliebiger (positiver oder negativer) ganzer Zahlen formulieren, die teilerfremd sind und dabei die Gleichung erfüllen, und erhält dann eine verwandte Ungleichung, auf deren linker Seite statt die Zahl erscheint.Andere bzw. verwandte Formulierungen der Vermutung werden im weiteren Verlauf dargestellt.
Über abc-Tripel Vorliegende Resultate für abc-Tripel Ein Tripel von Zahlen heißt abc-Tripel, wenn , und teilerfremde positive ganze Zahlen sind und ist.Erfüllen drei ganze Zahlen die Gleichung , so sind teilerfremd genau dann, wenn teilerfremd sind. Dies ergibt sich daraus, dass jeder gemeinsame Teiler von und auch ein Teiler von ist. Mit anderen Worten: Hinsichtlich der Teilermengen gilt .
Gilt für ein abc-Tripel die Ungleichung , so wird es als abc-Treffer bezeichnet. Beispiele sind (1, 8, 9), (5, 27, 32), (32, 49, 81) und das von Éric Reyssat gefundene Tripel mit , für das der Quotient besonders groß ist. abc-Treffer sind selten. Unter den 15,2 Millionen abc-Tripeln mit gibt es nur 120 abc-Treffer und unter den 380 Millionen abc-Tripeln mit gibt es 276. Sander Dahmen bewies 2006 eine untere Abschätzung für die Anzahl der abc-Treffer bis zu einer gegebenen Schranke und bestätigte damit, dass unendlich viele existieren,Sander Roland Dahmen: Lower bounds for numbers of ABC-hits. (PDF; 113 kB) In: Journal Number Theory, 128, 2008, Nr. 6, S. 1864–1873 allerdings sagt seine Formel lediglich etwa eine Million abc-Treffer unterhalb vorher (und unterschätzt deren Anzahl damit erheblich).
Das weltweite Projekt ABC@Home (begonnen 2007) erstellte durch verteiltes Rechnen eine vollständige Liste aller abc-Treffer für . Es fand 23.827.716 abc-Treffer. Die erste Etappe mit wurde im November 2011 mit 14.482.065 Tripeln abgeschlossen, in den Jahren 2012 bis 2015 wurden 9.345.651 weitere abc-Treffer mit gefunden. Das Projekt wurde durch die Programmierung eines Algorithmus möglich, der den Aufwand zur Ermittlung aller abc-Treffer mit vom offensichtlichen proportional zu auf nahezu proportional zu Rechenschritte reduzierte.Willem Jan Palenstijn:
Masser bewies, dass das Verhältnis beliebig klein werden kann, obwohl es meist größer als 1 ist.Ein einfacher Beweis nach Wojtek Jastrzebowski und Dan Spielman findet sich bei Lang, Elemente der Mathematik, Bd. 48, 1993, S. 94. Deren Gegenbeispiel zur abc-Vermutung mit ist . Man beweist durch Induktion, dass durch teilbar ist. Das ergibt eine Ungleichung, die nicht für alle k erfüllt sein kann. Er formulierte allerdings mit Oesterlé eine erweiterte abc-Vermutung, dass für jedes eine positive untere Schranke besitzt, sei auch nur ein beliebig kleines größer als .
Formel für explizit bestimmbare abc-Treffer mit b = 342m+27 Für Zahlen der Form gibt es Zahlen mit , die mit einen abc-Treffer bilden. Damit alle sind, wählt man , so dass sichergestellt ist. Für ergibt dies z. B. ().
m n ... 0 2 262.144549.755.813.888 7.625.597.484.987 1 5 ...1.152.921.504.606.846.9762.417.851.639.229.258.349.412.352 5.070.602.400.912.917.605.986.812.821.504 834.385.168.331.080.533.771.857.328.695.283 2 8 ..., ≈ 1,06 · 1037, ≈ 2,23 · 1043, ≈ 4,68 · 1049 ≈ 9,14 · 1052 3 11 ..., ≈ 9,81 · 1055, ≈ 2,06 · 1062, ≈ 4,31 · 1068 ≈ 9,99 · 1072
Die Eigenschaft der Tripel, abc-Treffer zu sein, kann folgendermaßen gezeigt werden. Zunächst ist , also . Berechnet man die Kongruenzen , so erhält man . Somit ist und .
Weitere Bewertungen eines abc-Treffers Bereits 1986 zeigten Cameron L. Stewart und Robert Tijdeman, dass die „Qualitäts“-Bewertung der abc-Treffer (mit den Bezeichnungen und , )
für wachsendes nicht zu schnell gegen 1 konvergieren kann und damit erneut, dass es kein für gibt. Sie bewiesen die Existenz von unendlich vielen abc-Tripeln mit für jedes . Im Jahre 2000 verschärfte Machiel van Frankenhuysen diese Aussage mit Machiel van Frankenhuysen: A lower bound in the abc conjecture. J. Number Theory 82 (2000), S. 91–95 Das legt nahe zu untersuchen, ob ein gegebenes Tripel mit der Bewertung
die Schranke übersteigt oder nicht, und die Verteilung der gefundenen extremalen Beispiele zu analysieren. Folgende theoretische (heuristische) Überlegungen lassen vermuten, dass diese Bewertung auf der Menge der abc-Treffer unbeschränkt groß werden kann.Machiel van Frankenhuysen: Hyperbolic spaces and the abc conjecture. Dissertation Nijmegen 1995
Aus bewiesenen Ergebnissen über die Verteilung der natürlichen Zahlen mit unterhalb einer gegebenen Schranke und aus (begründeten und vielfach bestätigten, aber unbewiesenen) Annahmen über die Zufälligkeit der Primfaktorzerlegung in unstrukturierten Mengen natürlicher Zahlen konnte van Frankenhuysen die strengere untere Abschätzung mit kleinerem Nenner gilt unendlich oft herleiten. Je nach Ansatz kann man ein bzw. ein wählen, das konnte nicht geklärt werden. Die zweite Variante wurde ebenfalls von C. L. Stewart und G. Tenenbaum gefunden (2007, vgl.Carl Pomerance: Computational Number Theory (Übersichtsartikel, pdf; 249 kB)) und mit Olivier Robert 2014 verschärft.O. Robert, C. L. Stewart, G. Tenenbaum: A refinement of the abc conjecture. (Preprint, pdf; 322 kB) Eine einfache Umformung lässt daraus die elegante Bewertung „merit“
als quadriertes Analogon zu mit der angestrebten Testgröße ansetzen.
Das derzeitige Weltrekord-Tripel bezüglich beider Bewertungen mit und wurde am 28. Oktober 2011 von Ralf Bonse entdecktBart de Smit / ABC triples / by merit und lautet
, ( ist offensichtlich nicht multiplikativ hochpotent) , .
Von besonderem Interesse sind solche abc-Tripel, die den Abfall der Qualität mit wachsendem Betrag von nach unten beschränken. Ein abc-Tripel heißt (englisch) „unbeaten“ (dt. sinngemäß „unübertroffen“), wenn jedes bekannte abc-Tripel mit größerem eine kleinere Qualität aufweist.
Folgerungen und Varianten der abc-Vermutung Folgerungen aus der abc-Vermutung Die Vermutung konnte bisher zwar nicht bewiesen werden, zieht allerdings eine Menge interessanter Konsequenzen nach sich. Viele gelöste und ungelöste diophantische Probleme lassen sich aus dieser Vermutung folgern. Insbesondere der sehr komplexe Beweis des Großen Fermatschen Satzes würde sich etwa auf eine Seite reduzieren.Dies zeigt die Reichweite der abc-Vermutung. Der Große Fermatsche Satz behauptet ja, dass die Gleichung keine Lösung in positiven ganzen Zahlen (die als relativ prim angenommen werden) im Falle habe.
Um dies zu mit Hilfe der abc-Vermutung zu beweisen, setzt man in der Ungleichung der abc-Vermutung ein und benutzt . Die Ungleichung lautet dann: .
Ersetzt man in dieser Ungleichung durch , dann hat man für eine obere Schranke für z:
Das heißt: Die Fermat-Gleichung kann nur endlich viele Lösungen haben und ab einem bestimmten Wert des Exponenten , der nur von abhängt, das durch die abc-Vermutung gegeben wäre, überhaupt keine Lösung mehr, da . Man braucht "nur" alle Fälle bis zu dieser Grenze mit anderen Methoden zu überprüfen, um die Fermat-Vermutung zu beweisen.Für eine große Zahl von Exponenten war das Zutreffen der Vermutung schon vor dem Beweis von Andrew Wiles bekannt.
Zu den Sätzen bzw. Vermutungen, die sich neben dem Großen Fermatschen Satz aus einem Beweis der abc-Vermutung ergeben würden, zählen nicht zuletzt: Satz von Thue-Siegel-Roth, wie Machiel van Frankenhuysen 1999 zeigte. Vermutung von MordellDiese wurde von Gerd Faltings bewiesen und folgt, wie Noam Elkies 1991 zeigte, aus der abc-Vermutung. Die Mordell-Vermutung behauptet die Endlichkeit der Anzahl von Punkten einer algebraischen Kurve vom Geschlecht größer 1 über einem Zahlkörper K.Aus der abc-Vermutung folgt sogar eine Schranke für die Größe (genauer der sogenannten Höhe) der Punkte auf den Kurven über K (in Abhängigkeit von der in der abc-Vermutung auftretenden Konstante). Die abc-Vermutung liefert also eine effektive Version der Mordellvermutung, im Gegensatz zu den bis heute bekannten Beweisen.Machiel van Frankenhuysen: The ABC conjecture implies Roth’s theorem and Mordell’s conjecture, Matemática Contemporânea, Band 16, 1999, S. 45–72 Erdős-Woods-Vermutung (M. Langevin 1993) Catalansche Vermutung Fermat-Catalan-Vermutung die Existenz von unendlich vielen Nicht-Wieferich-Primzahlen. Allgemeiner zeigte Joseph Silverman 1988, dass aus der abc-Vermutung folgt, dass es für , , unendlich viele Primzahlen gibt, für die nicht durch teilbar ist. die schwache Form der Hall-Vermutung, die eine asymptotische untere Schranke für den Betrag der Differenz von Kubikzahlen und Quadratzahlen liefert. die Vermutung von Lucien Szpiro (eine Ungleichung zwischen Führer und Diskriminante elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen). Diese Vermutung ist sogar äquivalent zur abc-Vermutung.William Stein: (englisch) Genauer handelt es sich um die verallgemeinerte Szpiro-Vermutung (siehe unten). die Pillai-Vermutung von S. S. Pillai. eine effektive Form von Siegels Theorem über ganzzahlige Punkte auf algebraischen Kurven. Andrea Surroca, Siegel’s theorem and the abc conjecture, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332
Vermutung von Szpiro