mini|287px|Poststempel mit der 23. Mersenne-Primzahl, die 1963 an der UIUC von Donald B. Gillies gefunden wurde
Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form . Im Speziellen bezeichnet man mit die -te Mersenne-Zahl. Die ersten sieben Mersenne-Zahlen sind ().
Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen sind () für die Exponenten ().
Bei der Darstellung im Dualsystem zeigen sich Mersennezahlen als Einserkolonnen, d. h. Zahlen, die ausschließlich aus Einsen bestehen. Die -te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit Einsen (Beispiel: ). Mersenne-Zahlen zählen im Binären zu den Zahlenpalindromen, Mersenne-Primzahlen dementsprechend zu den Primzahlpalindromen.
+Vermutungen von Mersenne für p ≤ 263P: Mp ist prim—: Mp ist eine zusammengesetzte Mersenne-ZahlCyan: richtig bei MersenneRosa: hier irrte Mersenne p 2 3 5 7 11 13 17 19 Mp P P P P — P P P p 23 29 31 37 41 43 47 53 Mp — — P — — — — — p 59 61 67 71 73 79 83 89 Mp — P — — — — — P p 97 101 103 107 109 113 127 131 Mp — — — P — — P — p 137 139 149 151 157 163 167 173 Mp — — — — — — — — p 179 181 191 193 197 199 211 223 Mp — — — — — — — — p 227 229 233 239 241 251 257 263 Mp — — — — — — — —
Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588–1648), der im Vorwort seiner Cogitata Physico-MathematicaMarin Mersenne: Cogitata Physico-Mathematica. In quibus tam naturae quàm artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur. Paris: Bertier, 1644, Praefatio generalis, Nr. XIX. behauptete, dass für und die Zahl eine Primzahl sei.
Er irrte sich jedoch bei den Zahlen und und übersah die Mersenne-Primzahlen , und . Dass keine Primzahl ist, hat Édouard Lucas 1876 gezeigt, aber erst im Jahre 1903 konnte der Mathematiker Frank Nelson Cole die Primfaktoren dieser Zahl benennen. Um den Nachweis zu führen, dass keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet. Bei der Zahl handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er mit verwechselte.
Mersenne-Zahlen kommen auch beim Mersenne-Twister vor, einem Pseudozufallszahlengenerator.
Geschichte Mersenne-Zahlen wurden zuerst in der Antike im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen untersucht. Eine natürliche Zahl wird vollkommen genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (Beispiel: ). Schon Euklid hatte gezeigt, dass die Zahl vollkommen ist, wenn eine Primzahl ist ( liefert die Zahl ). 2000 Jahre später wurde von Euler die Umkehrung für gerade vollkommene Zahlen gezeigt: Jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form , wobei eine Primzahl ist.
Ungerade vollkommene Zahlen sind bisher nicht gefunden worden, allerdings konnte ihre Existenz bis heute weder bewiesen noch widerlegt werden.
Die ersten vier vollkommenen Zahlen 6, 28, 496 und 8128 waren schon in der Antike bekannt. Die Suche nach weiteren vollkommenen Zahlen motivierte die Suche nach weiteren Mersenne-Primzahlen. Denn die vollkommenen Zahlen sind exakt die Dreieckszahlen aus den Mersenne-Primzahlen. Die wichtigste dabei zu beachtende Eigenschaft ist die folgende: Ist eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch eine zusammengesetzte Zahl. Dass von und von ohne Rest geteilt wird, kann mit Hilfe einer Polynomdivision gezeigt werden, falls und natürliche Zahlen ohne die Null sind. Daraus folgt unmittelbar, dass der Exponent einer Mersenne-Primzahl selbst eine Primzahl ist. Durch diese Eigenschaft wird die Suche nach Mersenne-Primzahlen erleichtert, da nur noch Mersenne-Zahlen mit Primzahlexponent betrachtet werden müssen.
Der Umkehrschluss, dass prim ist, wenn prim ist, ist jedoch falsch, da beispielsweise keine Primzahl ist. Solche Zahlen, also Mersenne-Zahlen , die für eine Primzahl zusammengesetzt sind, nennt man Mersenne-Pseudoprimzahlen.
Mersenne-Primzahlen sind selten: Bislang (Stand Oktober 2024) sind erst 52 davon gefunden worden. Da es einen besonders effizienten Primzahltest für sie gibt, sind die größten bekannten Primzahlen Mersenne-Primzahlen.