mini|Der Gateway Arch des Jefferson National Expansion Memorial in St. Louis, Missouri trägt nur sein eigenes Gewicht und folgt einer Katenoide, um auftretende Biegemomente zu minimieren. mini|Die obige Kurve zeigt den Lastverlauf (also die Verteilung von Eigenlast zuzüglich Auflast über die Spannweite des Bogens) bei dem im unten abgebildeten freistehenden Bogen keine Biegemomente auftreten. Es wären also sehr schwere seitliche Pfosten erforderlich, während der halbkreisförmige Bogen im mittigen Drittel fast kein Gewicht haben dürfte. Andernfalls würden entweder die seitlichen Stützen seitlich ausweichen oder Stützen oder Bogen würden auf Biegung belastet. Halbkreisförmige Bögen aus Mauerwerk werden darum nur in Mauern, Brücken oder allgemein als Teil einer Konstruktion eingesetzt, die in der Lage ist, den seitlichen Schub des Bogens aufzunehmen.
Als Stützlinie bezeichnet man die rechnerisch zu ermittelnde Linie in einem Bogen, längs derer die aus der Belastung entstehenden, zusammengefassten Normalkräfte (Druckkräfte) verlaufen. Der Begriff wurde von Franz Joseph Ritter von Gerstner (1756–1832) Anfang der 1830er Jahre eingeführt.
Ein frei stehender Bogen lässt sich ohne weitere konstruktive Maßnahmen aus einzelnen Mauersteinen nur dann errichten, wenn die Stützlinie innerhalb des Bogens verläuft. Genau mittig verläuft die Stützlinie, wenn der Bogen einer umgekehrten Kettenlinie (Katenoide) folgt. Bei einer Parabelform wäre dies nur dann der Fall, wenn die seitlich vermauerten Steine solchermaßen verschlankt würden, dass der Bogen in jedem Abschnitt die gleiche horizontale Linienlast aufweist. Bei einem Halbkreis oder einem anderen Kreissegment müsste umgekehrt die Mitte des Bogens gegenüber den Seiten verschlankt werden (siehe auch die Abbildung zum halbkreisförmigen Bogen).
Erläuterung Ein Bogen lässt sich errichten, ohne dass Zug- und Biegekräfte auftreten, wenn die Normalkräfte nahe der Achse des Bogens verlaufen. Wird der Bogen aus einzelnen Steinen zusammengesetzt, so treten in diesem Fall an jeder Stelle der Kontaktfläche der Steine Druckkräfte auf. Verläuft die Stützlinie genau durch die Mitte (die Achse) der Steine, dann gibt es auch keine seitlichen Schubkräfte, die die Steine auseinanderschieben könnten.
Auch wenn die Druckkräfte nicht gleichmäßig auf der Kontaktfläche der Steine verteilt sind, bleibt ein frei tragender Bogen stehen, solange die Stützlinie innerhalb des Bogens verläuft. Verläuft die Stützlinie außerhalb des Bogens, treten an der Kontaktfläche der Steine innen oder außen Zugkräfte (negative Druckkräfte) auf, die von lose übereinanderliegenden Steinen nicht aufgenommen werden können. Die außermittig liegende Stützlinie bewirkt ein Biegemoment im Bogen, das Risse verursacht und den Bogen kollabieren lässt, wenn es groß wird.
Bogen oder Gewölbe aus Holz, Stahl oder Stahlbeton können auch Zugkräfte aufnehmen. Der Verlauf der Stützlinie weist hier darauf hin, wie groß die entlang der Stützlinie auftretenden Biegemomente sind.
Die Stützlinie gilt immer nur für eine bestimmte Last. Verändert sich die Belastung eines Bogens, verschiebt sich die Stützlinie und die entstehenden Zugkräfte und Momente können den Bogen instabil werden lassen.
Bei einem nur mit seiner eigenen Gewichtskraft belasteten Bogen folgt die Stützlinie einer umgekehrten Kettenlinie (Katenoide). Sofern der Bogen eine über die Bogenspannweite verteilte Gleichstreckenlast trägt, entspricht die Stützlinie einer quadratischen Funktion (Parabel). Der Materialeinsatz für einen in einer Stützlinie verlaufenden Bogen ist minimal, die Stützlinie repräsentiert damit ein Optimum.
Die Kettenlinie eines durch sein Eigengewicht belasteten Bogens (mit entlang seines Verlaufs gleichmäßig schwerem Querschnitt) lässt sich ermitteln, indem man eine Kette an ihren Enden aufhängt. Weitere auf den Bogen wirkende Kräfte lassen sich durch an der Kette hängende Gewichte simulieren. Wie in einem Seil können in der biegeweichen Kette nur Zugkräfte auftreten, keine Momente oder Druckkräfte. Um die Stützlinie zu erhalten, spiegelt man die Kettenlinie um eine horizontale Achse.
Die Stützlinie leichter Brückenkonstruktionen verschiebt durch die wechselnden Verkehrslasten, was bei der Konstruktion zu berücksichtigen ist.
Berechnung Bei vorgegebener Geometrie eines Gewölbes ist der ideale Lastverlauf für die Baustatik von Interesse. Im Falle eines halbkreisförmigen Bogens ist dies die Funktion:
wobei die senkrechte Belastung in der Mitte des Bogens, der am Halbkreis des Bogens abgetragene Winkel und der zur dritten Potenz erhobene Sinus dieses Winkels ist. An den Auflagern des Bogens wird q unendlich groß (siehe Abbildung), wobei obendrein eine unbegrenzte senkrechte Belastbarkeit der Auflager vorausgesetzt werden muss. Dies zeigt, dass sich ein feingliedriger halbkreisförmiger Bogen im Gegensatz zur (umgekehrten) Katenoide kaum freistehend konstruieren lässt. Es müsste nahe der Auflager sehr viel Masse auf dem Bogen lasten, während er zum Scheitel hin fast gewichtslos auszuführen wäre. Halbkreisförmige Bögen und sogar horizontal verlaufende Stürze sind dennoch stabil, wenn sie unverschieblich in das darüberliegende Mauerwerk eingebunden sind, das in der Lage ist, die entstehenden seitlichen Schubkräfte aufzunehmen.
Zur Dimensionierung eines Bogens werden die Druckspannungen entlang der Stützlinie ermittelt. Nach der Stabilitätstheorie müssen Bogenkonstruktionen zusätzlich auf Knicken, Beulen und weitere Lastfälle hin untersucht werden.
Das Konzept der Stützlinie ist vergleichbar mit dem der Spannungstrajektorien.
Siehe auch Seilstatik
Literatur José Luis Moro: Baukonstruktion. Vom Prinzip zum Detail. Band 2: Konzeption. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-27790-3, Absatz 4.2, S. 194 f.: Die Begriffe der Seil- und der Stützlinie. Wormuth / Schneider (Hrsg.): Baulexikon online - Stützlinie; Bauwerk-Verlag.
Weblinks
P. Will: Auszug aus Technische Mechanik - Lehrbuch, Kompendium, Formelsammlung (EPUB: pp. 51-64) P. Will: Java-Applikation zur Darstellung von Stützlinien unter: Download: Stützlinie (Website – Spalte rechts). Voraussetzung ist eine aktuelle Java-Umgebung. In: HS-Mittweida.de
Einzelnachweise
Kategorie:Technische Mechanik