Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall bezüglich der Gewichtsfunktion mit . Sie haben die explizite FormAbramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion :

Rodrigues-Formel

Rekursionsformeln Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

mit den Konstanten:

Eigenschaften Der Wert für ist .

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

woraus sich der Wert für ergibt:

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

Ableitungen Aus der expliziten Form können die -ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

Nullstellen Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

mit

stimmen mit den Nullstellen von überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall liegen.

Asymptotische Darstellung Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

Erzeugende Funktion Für alle gilt

Die Funktion

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden: für : Legendre-Polynome Gegenbauer-Polynome Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung der Radialterm der Zernike-Polynome

Kugelsymmetrische Gewichtung auf dem Intervall [0,1]

Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius abhängen. Dabei treten häufig Integrale mit Gewicht auf, etwa bei elektrischen Feldern, Dichteprofilen oder Temperaturverteilungen in Kugelkoordinaten. Durch die Transformation lassen sich die Jacobi-Polynome auf das Intervall mit Gewicht übertragen.

Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:

Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:

Die Funktionen bilden eine normierte, monomiale Basis und sind insbesondere nützlich für radial gewichtete Funktionen auf Kugelintervallen. Sie entsprechen (bis auf Normierung) den Jacobi-Polynomen .

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Analysis Kategorie:Polynom Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber