Als Energie-Zeit-Unschärferelationen werden Formeln bezeichnet, in denen die Ungenauigkeit einer Bestimmung der Energie mit einem passend definierten Zeitintervall in Beziehung gesetzt wird, das für das jeweils betrachtete System charakteristisch ist oder bei der Energiemessung eine maßgebende Rolle spielt.
Die Bezeichnung deutet auf eine Verwandtschaft mit der allgemeinen Heisenbergschen Unschärferelation zweier komplementärer Observablen hin. Als Spezialfall dieser allgemeinen Unschärferelationen lässt sich die Beziehung von Energie und Zeit jedoch nicht ableiten, da die Zeit in der traditionellen Form der Quantenmechanik nach John von Neumann keine Observable (mit einem zugehörigen Operator) ist, sondern ausschließlich ein reeller Parameter t. „Energie-Zeit-Unschärferelationen“ sind daher immer Ungleichungen (im Einzelfall auch Gleichungen oder Schätzwerte), welche bestimmte charakteristische Zeitintervalle, wie Messwechselwirkungsdauern, Durchgangszeiten, Zerfallszeiten oder statistische Trennzeiten in eine Beziehung zur Energiestreuung (im Einzelfall auch Energieintervalle oder Schätzwerte) setzen und dabei die einfache Form einer Unschärferelation annehmen.
Nur für bestimmte physikalische Fragestellungen lässt sich auf Grundlage eines verallgemeinerten Observablen-Begriffs, wie er in der algebraischen Form der Quantenmechanik gebildet werden kann, die Zeit als Zeit-Operator darstellen. Für diese Fälle gilt die Analogie zur Heisenbergschen Unschärferelation zwischen konjugierten Observablen streng.
Historische und theoretische Einordnung Werner Heisenberg fand 1927 eine quantenmechanische Unschärferelation für die gleichzeitigen Werte von Ort und Impuls und eine erste Variante einer solchen Unschärferelation für Energie und Zeit.W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, in: Zeitschrift für Physik, Band 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198, doi:10.1007/BF01397280 (Originalarbeit [PDF; 2,7 MB]). Er stützte sich dabei auf eine Betrachtung des Stern-Gerlach-Versuchs, wo die Genauigkeit einer Energiemessung und die dazu erforderliche Messzeit mit eine ähnliche Beziehung erfüllen wie die Genauigkeiten der Messungen von Ort und Impuls am selben Quantensystem.
Wie bei der Ort-Impuls-Unschärferelation fasste Heisenberg seine Energie-Zeit-Unschärferelation nicht als Folge unzulänglicher Messungen auf, sondern als prinzipielle Grenze, der jede genaue Bestimmung einer Energiemenge hinsichtlich der dafür benötigen Zeit unterliegt.
Die Energie-Zeit-Unschärferelationen und ihre korrekte Interpretation waren in der Folgezeit und sind bis heute Gegenstand kontroverser Diskussionen.V. V. Dodonov, Energy-time and frequency-time uncertainty relations: Exact inequalities, Physica Scripta · June 2015 DOI:10.1088/0031-8949/90/7/074049 · Source: arXiv;https://arxiv.org/pdf/1504.00862.pdf In diesem Artikel befindet sich die wohl größte Literatursammlung zum Thema "Energie-Zeit-Unschärfe", die 300 Veröffentlichungen umfasst.
Bereits 1928 veröffentlichte Niels Bohr eine eigene Ableitung einer Energie-Zeit-Unschärfe.N. Bohr: Das Quantenpostulat und die neuere Entwicklung der Atomistik, Naturwiss. 16, 245 (1928) Er betrachtete die Durchgangsdauer eines Wellenpakets durch ein bestimmtes Raumgebiet und kam dabei zu dem Schluss, dass es eine minimale Durchgangszeit gibt, die von der Breite des Energiebereichs abhängt, welcher (in Gestalt von Fourier-Komponenten) im jeweiligen Wellenpaket enthalten ist. Diesen Zusammenhang brachte er ebenfalls in die von Heisenberg angegebene Form.
1931 stellten Landau und Peierls ein viel beachtetes Gedankenexperiment zu diesem Thema vor. Sie ließen darin zwei Teilchen kollidieren und betrachten auf der Grundlage der Störungstheorie das eine Teilchen als Objekt der Messung, das andere als Teil des Messgeräts. Die Autoren leiteten wie Heisenberg eine Relation zwischen der Genauigkeit der Energiemessung und der dafür benötigten Zeit ab, wiesen jedoch seine Interpretation zurück.Spätere Ablehnungen der Heisenbergschen Interpretation finden sich auch bei Y. Aharonov, D. Bohm: Phys. Rev. 122, 1649 (1961) und deren Bestätigung durch P. Busch 2008, The Time–Energy Uncertainty Relation, S. 77ff. https://www.researchgate.net/publication/226251302_The_Time-Energy_Uncertainty_Relation Sie argumentierten, dass die abgeleitete Energie-Zeit-Relation sich nur auf den Unterschied zwischen dem Messergebnis für die Energie und dem Energiezustand des Messobjektes nach (bzw. infolge) der Messung beziehe. Je kürzer die Messung dauere, desto größer werde dieser Unterschied. Man dürfe die Relation nicht so interpretieren, dass die Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt grundsätzlich nicht genau bestimmt sein könne, sondern es gehe lediglich um die Reproduzierbarkeit von Energiemessungen infolge der mit der Messung verbundenen Einwirkung.
Wolfgang Pauli zeigte 1933, dass in der 1932 von John von Neumann formalisierten QuantenmechanikJohn v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 2. Auflage. Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-59207-5 (zuerst 1932) die Bildung eines Zeitoperators unmöglich ist: Wenn der selbstadjungierte Hamilton-Operator halb-beschränkt ist (d. h. dass es einen Zustand tiefster Energie gibt), existiert kein selbstadjungierter Operator , der die für komplementäre Observable zwingende Kovarianzeigenschaft erfüllt. Für diese Aussage gibt es auch mehrere neuere Beweise.z. B. Srinivas, M.D., Vijayalakshmi, R.: The ‘time of occurrence’ in quantum mechanics. Pramana - J. Phys. 16, 173–199 (1981). https://doi.org/10.1007/BF02848181, die sich dabei auf das Lemma von Borchers (1967) stützen
Durch dieses Theorem von Pauli wurde zunächst bewiesen, dass es eine strenge Analogie zwischen einer Energie-Zeit-Unschärfe und den Unschärferelationen, wie sie zwischen nicht-kommutierenden Observablen bestehen, in der bis dahin formulierten Theorie nicht geben kann.
Herleitungen Eine gemeinsame, allgemeine Herleitung der Energie-Zeit-Unschärfe-Relationen bietet sich wegen der verschiedenen physikalischen Zusammenhänge, in denen jeweils ein charakteristisches Zeitintervall definiert werden kann, nicht an.
Aharonov und David Bohm kritisierten 1961 die vorliegenden Ableitungen und Interpretationen und wiesen deutlich auf deren Mängel hin.Y. Aharonov, D. Bohm, Time in Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy, Phys. Rev. 122, 1649 (1961) Hier findet sich auch ein Überblick über verschiedene Varianten und Interpretationen der Energie-Zeit-Unschärfe. Nach Aharonov und Bohm sind diese Herleitungen stets auf geeignet gewählte Beispiele bezogen und werden dann ohne überzeugende Begründung verallgemeinert. Im Sinne eines Gegenarguments legten die Autoren das theoretische Modell für eine Energiemessung vor, bei dem sowohl die Reproduzierbarkeit der Energiemessung gegeben ist (gegen Landau/Peierls) als auch die erforderliche Messzeit für die Genauigkeit der Messung unterschritten wird (gegen Heisenberg).Eine neuere Darstellung dieses Modells mit einigen Ausarbeitungen, in: Paul Busch, The Time-Energy Uncertainty Relation, https://arxiv.org/abs/quant-ph/0105049
Energieunschärfe und Lebensdauer Eine der verbreitetsten Beziehungen, welche als „Energie-Zeit-Unschärfe“ mit charakteristischem Zeitintervall bezeichnet werden, besteht zwischen der mittleren Lebensdauer von instabilen Systemzuständen und der Halbwertsbreite ihrer Energie. Es gilt exakt:
Darin ist die reduzierte Planck-Konstante. Diese Gleichung ist in der Atom-, Kern- und Elementarteilchenphysik gebräuchlich zur Bestimmung der Lebensdauer oder spektralen Linienbreite eines Zustands, wenn eine der beiden bekannt ist. Sie kann als Variante einer „Unschärferelation“ für exponentielle Zerfallsprozesse interpretiert werden, wobei die Lebensdauer gerade die Standardabweichung der Verteilung der Zerfallszeitpunkte ist. Eine entsprechend allgemeine Ableitung dieser Beziehung kann für uneigentliche Eigenzustände des Energieoperators bei exponentiellem Zerfall formuliert werden.P. Busch, The Time–Energy Uncertainty Relation, 2008, S. 77ff. https://www.researchgate.net/publication/226251302_The_Time- Bereits 1959 zeigten Blatt und Weisskopf die Gültigkeit der Gleichung im Rahmen der Resonanztheorie für die Streuung an einem Potentialtopf.John M. Blatt, Victor Weisskopf: . 1. Auflage. B.G.Teubner, Leipzig 1959, S. 354 ff. Für eine neuere Darstellung siehe F. Schwabl, Quantenmechanik, 1992, S. 80 ff.Cohen-Tannoudji, Claude, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg: Atom-photon interactions: basic processes and applications. John Wiley & Sons, 1998, S. 56ff.
Die Mandelstam-Tamm-Variante der Energie-Zeit-Unschärferelation Die allgemeinste und ebenfalls verbreitete Form unter den Varianten von Ungleichungen mit einem charakteristischen Zeitintervall ist in der Literatur unter der Bezeichnung „Mandelstam-Tamm-Unschärferelation“ zu finden.Mandelstam, Tamm, The uncertainty relation between energy and time in non-relativistic quantum mechanics, Journal of Physics 9, S. 249, 1945 Das Besondere dieser Variante kann man in der direkten Anknüpfung an die allgemeine Unschärferelation zwischen zwei Observablen sehen. Sie bildet zusammen mit dem Zeitentwicklungsgesetz die einzige Basis bei der Herleitung und diese beiden Elemente sind inhaltlich am ehesten geeignet, die gewünschte Parallelität zu den allgemeinen Unschärferelationen in der Quantenmechanik zu liefern.
Das Produkt der Streuungen für die Messungen der Energie und für die Messungen einer beliebigen Observablen am selben (reinen) Zustand hängt gemäß der allgemeinen Unschärferelation direkt vom Kommutator dieser beiden Observablen ab. (Herleitung im Artikel Heisenbergsche UnschärferelationWolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68868-6, Seite 220ff)
(1)
Darin ist die Standardabweichung des Energieoperators und die Standardabweichung der Observablen im selben Zustand .
Für eine Observable ohne explizite Zeitabhängigkeit ist der Kommutator außerdem direkt ein Maß für die Zeitabhängigkeit des Erwartungswerts von . Das beruht darauf, dass der Energieoperator in der Quantenmechanik zugleich der Generator für die Zeitentwicklung ist. Nach dem Ehrenfest-Theorem gilt dann (hierbei werden beide Operatoren und als nicht explizit zeitabhängig vorausgesetzt):
(2)
Schreiben wir statt , so gilt mit (1) und (2):
(3) , .
Bisher haben wir nur die allgemeine Unschärferelation, die für und gilt, mit Hilfe der Zeitentwicklung für eine Observable präzisiert.
Der entscheidende Schritt im Rahmen dieser Herleitung ist nun die Einführung eines charakteristischen Zeitintervalls . Die Definition dieses Zeitintervalls für die Mandelstam-Tamm-Variante lautet:
(4) , mit 0 für alle t und .
Damit lässt sich die Ungleichung (3) in folgender Weise vereinfachen:
(5)
ist offenbar eine statistische Größe, welche die Dimension der Zeit hat und die der Observablen in dem Zustand (auf den sich die Standardabweichung bezieht) zur Zeit t zugeordnet werden kann.
Um diese Größe genauer zu interpretieren, betrachten wir einen Zeitpunkt . Dort sei die Streuung durch gegeben und sei die Ableitung des Erwartungswertes von zur Zeit . Die durch (4) definierte Größe entspricht dann der Zeitdauer, nach der sich der Erwartungswert der Verteilung um den Betrag ihrer Standardabweichung verschoben hat, sofern man die Funktion bei t0 linear approximiert.