300px|mini|Julia-Menge (weiße Linie) eines quadratischen Polynoms. Die dunkle Fatou-Menge ist grün bzw. violett schattiert. mini|rechts|Zoomfahrt in eine Julia-Menge in der komplexwertigen z-Ebene mit der komplexwertigen Polynomfunktion zweiten Gradesund den Parameterncre = cim = -0.5251993
Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou beschrieben, sind Teilmengen der komplexen Zahlenebene, wobei zu jeder holomorphen oder meromorphen Funktion eine Julia-Menge gehört. Oft sind die Julia-Mengen fraktale Mengen. Das Komplement der Julia-Menge heißt Fatou-Menge.
Wendet man eine auf ganz definierte Funktion immer wieder auf ihre Funktionswerte an, dann ergibt sich für jedes eine Folge komplexer Zahlen:
Abhängig vom Startwert kann diese Folge zwei grundlegend verschiedene Verhalten zeigen: Eine kleine Änderung des Startwertes führt zu praktisch der gleichen Folge, die Dynamik ist in gewissem Sinne stabil: Der Startwert wird der Fatou-Menge zugeordnet. Eine noch so kleine Änderung des Startwertes führt zu einem komplett anderen Verhalten der Folge, die Dynamik hängt „chaotisch“ vom Startwert ab: Der Startwert gehört zur Julia-Menge.
Hintergrund
Das Newton-Verfahren ist eines der bekanntesten und am weitesten verbreiteten Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. Hat man die zu lösende Gleichung in der Form
geschrieben, dann sind Nullstellen einer Funktion zu finden. Ist die Funktion differenzierbar, dann transformiert das Newton-Verfahren das statische Problem in einen dynamischen Prozess: Es liefert eine Iterationsvorschrift der Gestalt
mit folgenden Eigenschaften: Die Nullstellen von werden zu anziehenden Fixpunkten von Liegt der Startwert der Iteration nahe an einer Nullstelle von dann konvergiert die Newton-Iteration gegen den zugehörenden Fixpunkt von und damit gegen diese Nullstelle.
Man muss also nur eine ungefähre Lösung des Problems haben. Die Fixpunkte agieren dabei ähnlich wie die Zentren von Kraftfeldern, die Teilchen in ihrer Nähe anziehen. Mit jedem Iterationsschritt wandern die Teilchen näher zur Kraftquelle.
Von seiner Konzeption her ist das Newton-Verfahren also – wie andere Fixpunktiterationen auch – ein lokales Verfahren, dessen Verhalten bekannt ist, wenn man sich nahe an einer Nullstelle befindet. Was geschieht jedoch, wenn wir uns weiter von den Anziehungspunkten entfernen, und wie sehen die Grenzen zwischen den Einzugsbereichen der einzelnen Kraftquellen aus?
hochkant=1.4|mini|Julia-Menge der Newton-Iteration (das Newton-Fraktal) des Polynoms :Die türkis-, beige- und pinkfarbene Areale sind die Einzugsgebiete der drei Nullstellen des Polynoms. Startwerte aus den roten Arealen werden von einem Zyklus der Länge 2 angezogen, konvergieren damit nicht gegen eine der Nullstellen. Startwerte aus der weißen Arealen, welche die Grenze zwischen den einzelnen Einzugsgebieten bildet, hüpfen wild umher und konvergieren ebenfalls nicht gegen eine der Nullstellen. Ernsthafte Untersuchungen über die globale Dynamik des Verfahrens reichen zurück bis ins Jahre 1879, als Lord Arthur Cayley das Problem von den reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen ausdehnte und globale Untersuchungen vorschlug:
Dabei stieß er jedoch schon für den Fall, dass ein Polynom dritten Grades ist, auf unüberwindliche Probleme, sodass er seine Untersuchungen schließlich einstellte:
Vor diesem Hintergrund entwickelten die Franzosen Pierre Fatou und Gaston Julia zu Beginn des 20. Jahrhunderts ihre Theorie der Iterationen rationaler Funktionen in der komplexen Ebene, das heißt die Theorie diskreter dynamischer Systeme der Form
mit einer meromorphen Funktion
Eigenschaften
Sei also eine meromorphe Funktion auf dem Abschluss der komplexen Zahlen, also der Quotient einer holomorphen Funktion und eines Polynoms (deren gemeinsame Nullstellen bereits gekürzt seien, z. B. der Quotient zweier teilerfremder Polynome, oder einer Sinus-Funktion durch ein Polynom, wobei Nullstellen an ganzzahligen Vielfachen gekürzt seien). Zudem sei der Grad von größer als Der Grad einer meromorphen Funktion ist das Maximum der Grade der teilerfremden Polynome in Zähler und Nenner. Der Grad gibt im Allgemeinen an, wie viele Urbilder ein Punkt besitzt. Je nachdem, welche Dynamik der Prozess für einen bestimmten Startwert zeigt, wird dieser Wert einer von zwei Mengen zugeordnet: Fatou-Menge Die Startwerte aus dieser Menge führen unter Iteration zu einer stetigen Dynamik, das heißt: Wenn sich der Startwert nur ein klein wenig ändert, dann zeigt auch die Dynamik ein ähnliches Verhalten. Julia-Menge Die Punkte in dieser Menge führen zu instabilen Prozessen: Jede noch so kleine Änderung des Startwertes führt zu einer komplett anderen Dynamik.
Die Zahlenkugel ist die disjunkte Vereinigung dieser beiden Mengen. Jeder Punkt gehört also entweder zur Fatou-Menge oder zur Julia-Menge. Die Julia-Menge einer Funktion wird als bezeichnet und die Fatou-Menge als
Die historische Definition der Julia-Menge, wie sie von Fatou und Julia stammt und unten nachzulesen ist, ist weder sonderlich intuitiv noch anschaulich. Daher werden hier einige Eigenschaften dieser Mengen zusammengestellt, wozu zunächst ein paar grundlegende Begriffe benötigt werden.
Begriffe
Für jeden Wert definiert die Rekursion
eine Folge von Punkten auf der Riemannschen Zahlenkugel. Diese Folge wird auch als Orbit von bezeichnet:
bedeutet dabei immer -malige Hintereinanderausführung von und ist nicht mit der -ten Potenz zu verwechseln. Die Definition des inversen Orbits erfolgt etwas anders, weil im Allgemeinen nicht eindeutig umkehrbar ist. Der inverse Orbit eines Punktes besteht aus allen Punkten, die irgendwann auf diesen abgebildet werden:
Falls für ein gilt, dann heißt ein periodischer Punkt und der Orbit
heißt periodischer Orbit oder Zyklus. Ist die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt die Periode des Zyklus. Falls dies für zutrifft, wenn also gilt, dann ist ein Fixpunkt von Offenbar ist ein periodischer Punkt von dessen Periode gleich ist, ein Fixpunkt von Anhand der Ableitung kann man die Stabilität eines periodischen Punktes charakterisieren. Sei dazu
Dann heißt der periodische Punkt stark anziehend, wenn anziehend, wenn indifferent, wenn abstoßend, wenn
Durch Anwendung der Kettenregel sieht man, dass für alle Punkte des Zyklus den gleichen Wert hat, und analog heißt dieser Zyklus dann (stark) anziehend, indifferent oder abstoßend.
Diese Namensgebung ist durch folgende Beobachtung motiviert: Für den Fall verhält sich in einer Umgebung des Fixpunktes genauso wie in einer Umgebung von Null. Unter Iteration wandern daher Werte immer näher an den Fixpunkt heran, wenn gilt, und für entfernen sich die Werte immer weiter vom Fixpunkt. Unter der Iteration zieht der Fixpunkt also Werte in seiner Umgebung an oder er stößt sie ab. Für ist der Fall komplizierter, und für werden die Werte mindestens so stark angezogen wie von in einer Umgebung von
Ist ein anziehender Fixpunkt von dann heißt die Menge
das Einzugsgebiet des Fixpunktes. Die Menge besteht also aus allen Punkten, deren Orbit gegen konvergiert. Offenbar enthält diese Menge den inversen Orbit von Das kommt vom englischen basin of attraction (Einzugsgebiet/Sammelbecken des Attraktors, hier also Sammelbecken eines anziehenden Fixpunktes oder Zyklus). Wenn ein anziehender periodischer Zyklus der Periode ist, dann hat jeder der Fixpunkte sein Einzugsgebiet, und bezeichnet die Vereinigung dieser Einzugsgebiete.
Definition
Eine mögliche Definition der Julia-Menge geschieht über die Menge ihrer abstoßenden periodischen Punkte:
wobei „Abschluss“ den topologischen Abschluss meint. Dies ist die Definition, auf der Julia seine Theorie aufbaute. Ausgangspunkt der Fatouschen Arbeit war eine andere, weiter unten angegebene Definition.
Jedes Element der Julia-Menge lässt sich also als Grenzwert einer konvergenten Folge darstellen, die nur aus abstoßenden periodischen Punkten von besteht.
Grundlegende Eigenschaften
Einige Eigenschaften der Julia-Menge sind: Die Menge der abstoßenden periodischen Punkte ist dicht in und enthält überabzählbar viele Punkte.
Die Julia-Mengen von und sind identisch. Für jedes aus ist der inverse Orbit dicht in Ist ein anziehender Zyklus von dann gilt für das Einzugsgebiet des Zyklus und dessen Rand: und Sei ein Element der Julia-Menge und eine Umgebung von Dann gibt es eine natürliche Zahl mit Falls die Julia-Menge innere Punkte hat, dann gilt
Erläuterungen
Dies folgt direkt aus der gegebenen Definition. Jede rationale Funktion hat einen beachtlichen Vorrat an abstoßenden periodischen Punkten. Die Julia-Menge ist invariant unter Wendet man punktweise auf die Julia-Menge an, ist das Ergebnis wieder die Julia-Menge. Gleiches gilt für die Menge der Urbilder. Folgt durch Induktion aus dem vorherigen Punkt. Dieser Punkt inspiriert zu einem Verfahren zur Visualisierung der Julia-Menge durch Rückwärts-Iteration. Allerdings sind die Urbilder nicht gleichverteilt in und die Urbilder sind im Allgemeinen nicht einfach zu bestimmen. Diese Eigenschaft ist für ein bildgebendes Verfahren einsetzbar, wenn man einen anziehenden Zyklus kennt. Liegt ein Punkt im Einzugsgebiet dieses Zyklus, färbt man ihn zum Beispiel weiß, ansonsten schwarz. Die Julia-Menge ist dann die Grenze zwischen den beiden Gebieten. Außerdem sagt diese Eigenschaft, dass die Julia-Menge in vielen Fällen fraktale Eigenschaften haben muss. Hat die Funktion z. B. mehr als zwei anziehende Fixpunkte dann gilt das heißt, jeder Punkt der Julia-Menge liegt auf dem Rand jedes Einzugsgebietes; und alle Einzugsgebiete haben denselben Rand. Aus einem beliebig kleinen Stück lässt sich die Julia-Menge rekonstruieren, indem man die Funktion endlich oft (punktweise) darauf anwendet. Zudem besitzt die Julia-Menge keine isolierten Punkte.
Kritische Punkte
Ein Punkt heißt kritischer Punkt von , wenn in keiner Umgebung von umkehrbar ist. Ist differenzierbar, dann ist ein kritischer Punkt durch
charakterisiert. In jedem Einzugsgebiet, das zu einem (stark) anziehenden Attraktor gehört, liegt mindestens ein kritischer Punkt. Indem man die kritischen Punkte einer Funktion betrachtet, können daher Aussagen über die Dynamik dieser Funktion getroffen werden.
Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Mandelbrot-Menge, deren Bezug zu bestimmten Julia-Mengen weiter unten erläutert wird. Die Mandelbrot-Menge kartographiert das unterschiedliche Verhalten des kritischen Punktes der Abbildung für verschiedene Werte von
Julia-Mengen von Polynomen
mini|hochkant=2.6|Julia-Mengen der Funktion für unterschiedliche Parameter . Dieser steht jeweils unter jeder Grafik. Eine einfache Art, die Julia-Menge eines Polynoms zu definieren, ist mittels der Rekursion
mit einem Startwert
Die Menge definiert man als die Menge aller komplexen Zahlen deren Betrag nach beliebig vielen Iterationsschritten beschränkt bleibt. Die Julia-Menge ist dann der Rand dieser Menge. wird als ausgefüllte Julia-Menge oder gelegentlich auch unpräzise als Julia-Menge selbst bezeichnet. Man kann nachweisen, dass beschränkt ist.
Diese Definition ist die direkte Umsetzung der Eigenschaft 6: Für ein Polynom ist ein anziehender Fixpunkt. Die Julia-Menge ergibt sich also als Rand des Einzugsgebietes dieses Fixpunkts. Falls ein Punkt darin liegt, dann konvergiert er schließlich gegen oder – bei Verwendung der Standardmetrik – sein Betrag wächst über alle Grenzen. Bleibt sein Betrag beschränkt, dann gehört er zum Einzugsgebiet eines anderen Attraktors oder zur Julia-Menge selbst.
Diese Definition wird in der Regel zur Erzeugung von Grafiken verwendet, da sie leicht in ein Computerprogramm übersetzt werden kann.
Für meromorphe Funktionen, deren Zählergrad um mindestens größer ist als ihr Nennergrad, kann man die gleiche Definition verwenden, da auch für solche Funktionen ein anziehender Fixpunkt ist.
Dynamik am Beispiel f(z) = z²