miniatur|Beim Keplerproblem sind die Bahnkurven der beiden Körper Ellipsen mit gleicher Apsidenlinie, gleicher Exzentrizität und gleicher Umlaufzeit um ihr als feststehend betrachtetes Baryzentrum (+). Sie erreichen ihre Periapsis und Apoapsis stets gleichzeitig. Die Größen der Ellipsen stehen im umgekehrten Verhältnis der beiden Massen. miniatur|Die Ellipsen können sich auch schneiden. In diesem Beispiel sind beide Massen gleich groß, daher sind auch die Ellipsen gleich groß. miniatur|Bei geeigneten Startbedingungen bewegen sich beide Körper (hier: verschiedene Massen) auf Kreisbahnen.
In der Physik bezeichnet man als Zweikörperproblem die Aufgabe, die Bewegung zweier Körper zu berechnen, die ohne zusätzliche äußere Einflüsse nur miteinander wechselwirken. Sie bilden ein Zweikörpersystem. Ein typischer Fall ist der Stoß zweier Körper, soweit man alle weiteren eventuell vorhandenen äußeren Kräfte wenigstens kurzzeitig vernachlässigen kann. Ein anderer typischer Fall ist ein Zweikörpersystem, in dem die beiden Körper sich gegenseitig mit einer Kraft anziehen oder abstoßen, die entlang der Verbindungslinie zwischen den Körpern wirkt, und deren Stärke umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Es folgen zwei Beispiele für den zuletzt genannten Fall.
Erstes Beispiel: Das Zweikörperproblem in der Astronomie. Es beschreibt zwei Himmelskörper, die sich gegenseitig mit der Gravitationskraft anziehen. Oft sind diese Objekte aneinander gebunden und bewegen sich umeinander, beispielsweise im Erde-Mond-System oder bei Doppelsternen. Bei sehr unterschiedlichen Massen wird der größere auch Zentralkörper genannt.
Zweites Beispiel: Zwei geladene Teilchen, die sich durch die elektrostatische Kraft anziehen oder abstoßen. Zwei konkrete Beispiele dafür sind: Erstens: Proton und Elektron im Wasserstoffatom, Zweitens: Alphateilchen beim Stoß mit einem Atomkern.
Astronomie, Mechanik, Elektrostatik
Das Zweikörperproblem in der Astronomie wird auch als Keplerproblem bezeichnet, weil Johannes Kepler in den drei nach ihm benannten Gesetzen als Erster die genaue Form der Bewegung für gebundene Zweikörpersysteme angeben konnte. Ihre Herleitung ist eine Standardaufgabe der klassischen Mechanik, die zuerst von Isaac Newton gelöst wurde.Isaac Newton: Die mathematischen Prinzipien der Physik. Übersetzt und herausgegeben von Volkmar Schüller, de Gruyter, Berlin (u. a.) 1999, ISBN 3-11-016105-2, (S. 184 ff., Proposition LVII bis LXIII).
Die nach der klassischen Mechanik berechneten Bewegungen zeigen sich auch dann, wenn zusätzliche äußere Kräfte wirken, diese sich aber für jeden der beiden Körper gerade aufheben. Ein Beispiel ist das reibungsfreie Gleiten zweier schwerer Körper auf einer horizontalen Fläche, die die Gewichtskräfte gerade neutralisiert, z. B. (näherungsweise) beim Paarlaufen auf dem Eis oder beim Stoß zweier gleitender oder rollender Körper. Auch wenn das Zweikörpersystem sich in einem homogenen Schwerkraftfeld befindet, gelten in seinem Schwerpunktsystem die Gesetze des Zweikörperproblems.
Mit einem elektrostatischen Kraftfeld hat das Keplerproblem dieselben Lösungen wie mit der Gravitation. Da die Anwendungen sich hier aber vor allem auf das Innere von Atomen beziehen (siehe Bohr-Sommerfeldsches Atommodell), ist die Quantennatur der atomaren Teilchen zu berücksichtigen. Daher ist für eine befriedigende Darstellung das quantenmechanische Zweikörperproblem zu lösen. Dies zeigt im Fall zweier ununterscheidbarer Teilchen, z. B. beim Stoß zweier Elektronen oder zweier gleicher Atomkerne, ein grundsätzlich anderes Verhalten als nach der klassischen Mechanik.
Die keplersche Lösung Johannes Kepler hat das später nach ihm benannte Problem weder aufgestellt noch gelöst. Aber er hat in der kompakten Form der drei Keplerschen Gesetze die resultierenden Bahnen mathematisch korrekt beschrieben. Isaac Newton konnte 1687 die erste Lösung veröffentlichen. Die Keplerschen Gesetze bildeten einen entscheidenden Prüfstein für die von Newton geschaffene Newtonsche Mechanik. Genau genommen handelt es sich bei ihnen um die Lösungen des äquivalenten Einkörperproblems, bei dem eine Schwerkraftquelle fest im Raum steht und einen einzelnen Körper anzieht, ohne dass dieser eine Rückwirkung auf die Quelle ausübt. mini|Bahnformen der Lösung des Keplerproblems
Die Lösung des Problems gliedert sich in folgende Teile: 1. und 2. Keplersches Gesetz (gefunden 1599 bis 1609, der Ellipsen- und der Flächensatz) und 3. Keplersches Gesetz (1619, in der Weltharmonie veröffentlicht). Die Keplergleichung.
Als mögliche Bahnen (Keplerbahnen) kommen Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln in Frage. Bei Kreisen und Ellipsen sind die Körper aneinander gebunden wie die Planeten an die Sonne. Ist die Bahnform parabolisch oder hyperbolisch, so findet nur eine Begegnung statt, wie dies z. B. bei manchen Kometen der Fall ist.
Die nebenstehende Zeichnung stellt verschiedene Bahnkurven dar. Sie werden durch ihre numerische Exzentrizität charakterisiert, die eine nichtnegative reelle Zahl ist. Gebundene Bahnen (Kreise und Ellipsen) haben , wobei der Kreis einer Exzentrizität entspricht. Größere Exzentrizitäten führen zu offenen Bahnen (Parabeln mit ) und Hyperbeln (mit ). Diese offenen Bahnen wurden von Kepler noch nicht erwähnt.
Zur genauen Beschreibung eines heliozentrischen Planetensystems reicht Keplers Lösung aber nicht aus, denn im Planetensystem wirkt auch die ebenfalls von Newton entdeckte gegenseitige Anziehung aller Himmelskörper. Daher stellt das Keplerproblem eine physikalische Idealisierung dar. Beim Sonnensystem wie bei vielen weiteren astronomischen Systemen ist der Einfluss der weiteren Körper aber relativ gering, sodass die Lösung des Zweikörperproblems eine gute Näherung der exakten Bahnen liefert. Daher ist die Lösung des Zweikörperproblems die Grundlage moderner Himmelsmechanik.
Mathematische Beschreibung und Analyse Es wechselwirken zwei Körper mit den Massen und miteinander, deren Massenmittelpunkte durch die Ortsvektoren und beschrieben werden. Die Kraft, die Körper 2 auf Körper 1 ausübt, wird mit bezeichnet, und entsprechend ist die Kraftwirkung von Körper 1 auf Körper 2. Ansonsten wirken keine Kräfte auf die Körper ein. Nach dem 2. Newtonschen Axiom lauten die Bewegungsgleichungen der beiden Körper dann
Dabei können die Kräfte nach dem Relativitätsprinzip nur von der relativen Position der Körper zueinander abhängen. Der Verbindungsvektor beschreibt die Lage des zweiten Körpers relativ zum ersten, der Vektor ist der Ortsvektor des Schwerpunkts oder Baryzentrums des Systems. Zudem sind die beiden Kräfte nach dem 3. Newtonschen Axiom entgegengesetzt gleich:
Bei den obigen Bewegungsgleichungen handelt es sich um ein System von zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dieses lässt sich nicht ohne weiteres lösen, da die Lösung der Bewegungsgleichung des einen Körpers jeweils die vorherige Lösung der des anderen Körpers voraussetzt. Der Ausweg besteht darin, die Bewegungsgleichungen aufzuspalten in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung.
Übergang zum äquivalenten Einkörperproblem miniatur|hochkant=1.5|Mathematische Modellierung der Lage zweier Körper im Raum, und sind vom Koordinatenursprung ausgehende Positionsvektoren. Dazu geht man zu den Relativ- und Schwerpunktkoordinaten
über, wobei die Gesamtmasse des Systems bedeutet. Die Schwerpunktkoordinate hat den gleichen Bezugspunkt wie das ursprüngliche System, während der Ursprung der Relativkoordinate im Massenmittelpunkt von Körper 2 liegt (siehe Abbildung).
Die Addition der beiden obigen Bewegungsgleichungen liefert bei Berücksichtigung von für den Schwerpunkt die Bewegungsgleichung
Sie besagt, dass der Massenschwerpunkt unbeschleunigt ist; folglich bewegt er sich geradlinig gleichförmig.
Subtrahiert man hingegen die durch die jeweilige Masse dividierten Bewegungsgleichungen der Körper, so erhält man die Gleichung
An dieser Stelle ist es zweckmäßig, die reduzierte Masse
einzuführen, womit sich die Bewegungsgleichung für liest als
Das bedeutet, dass die Relativkoordinate sich so verhält wie ein Körper der Masse in einem ortsfesten Kraftfeld . Dies ist das äquivalente Einkörperproblem. Für alle Fälle, in denen die Stärke der Kraft von einer Potenz des Abstandes abhängt, ist es zuerst von Newton gelöst worden.
Gemeinsame Bewegung miniatur|hochkant=1.5|Taumelbewegung zweier ungleich großer Massen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt (als kleiner gelber Kreis an der Spitze der gepunkteten Linie dargestellt) Nachdem das Einkörperproblem durch die Bahnkurve gelöst ist und die Bewegung des Schwerpunktes ebenfalls bekannt ist, kann man wieder in die ursprünglichen Koordinaten umrechnen, um auf die tatsächliche Bewegung der Körper zu kommen. Dazu löst man das Gleichungssystem
nach den Unbekannten und auf und erhält
Im Schwerpunktsystem betrachtet (mathematisch, indem man eine Koordinatentransformation, genauer eine Verschiebung, um anwendet), bewegen sich also beide Körper um den Schwerpunkt, der stets auf ihrer Verbindungslinie liegt, und beschreiben zwei zur Kurve ähnliche Kurven, deren Größenverhältnis durch das reziproke Massenverhältnis bestimmt ist. Durch zweimaliges Differenzieren von und Einsetzen von sieht man, dass für den ersten Körper die Bewegungsgleichung
erfüllt ist, als ob der Körper sich in einem effektiven Kraftfeld
bewegen würde, dessen Zentrum ortsfest am Schwerpunkt bleibt und dessen Stärke mit dem wirklichen Kraftfeld in einer durch das Massenverhältnis bestimmten größeren Entfernung übereinstimmt – genauso für den anderen Körper.
Wenn sich der Schwerpunkt selbst geradlinig und gleichförmig bewegt, und weitere geeignete Startbedingungen erfüllt sind, dann beschreiben die Bahnen der beiden Körper eine Art „Schlangenkurve“ um die Bahn des Schwerpunktes. In der Astronomie erlaubt diese sogenannte Taumelbewegung eine indirekte Beobachtung unsichtbarer Begleiter von Sternen wie z. B. Exoplaneten.
Drehimpulserhaltung Die Kraft liegt parallel zur Verbindungslinie (entsprechend der Problemdefinition), deshalb ist sie eine Zentralkraft und übt kein Drehmoment auf den umlaufenden Körper aus, denn dieses ist durch das Vektorprodukt von Radiusvektor und Kraft gegeben:
Daher ist der Drehimpuls nach Betrag und Richtung zeitlich konstant. Er ist ein Integral der Bewegung. Somit erfolgt die Bewegung in einer festen Ebene, denn die Vektoren und liegen stets in der Ebene senkrecht zu .
Aus der Konstanz des Drehimpulses folgt auch das 2. Keplersche Gesetz oder der Flächensatz, der also für jedes Zentralkraftfeld gilt.
In ebenen Polarkoordinaten zerfällt die vektorielle Bewegungsgleichung des Einkörperproblems in zwei gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen:
Die zweite dieser Gleichungen zeigt noch einmal die Erhaltung des Drehimpulses , denn
Energieerhaltung Für das Keplerproblem im engeren Sinn ist die Kraft durch die Gravitation gegeben:
Verwendet man die Definition des Drehimpulses in Polarkoordinaten, um aus der anderen Differentialgleichung die Winkelgeschwindigkeit zu eliminieren, erhält man ein Gesetz für den Abstand , die Radialgleichung
Dies kann nach Multiplikation mit und in der Form
geschrieben werden. Die drei Summanden in dieser Gleichung entsprechen der Reihenfolge nach dem Radialanteil der kinetischen Energie, dem Winkelanteil der kinetischen Energie, der als Zentrifugalpotential wie eine potentielle Energie die Radialbewegung beeinflusst, sowie der potentiellen Energie des Körpers im äußeren Zentralpotential. Gemeinsam ergeben sie seine Gesamtenergie
die laut obiger Gleichung zeitlich konstant und somit ebenfalls ein Integral der Bewegung ist. Die Gesamtenergie muss natürlich schon allein deshalb erhalten sein, weil es sich bei einem Gravitationsfeld um ein konservatives Feld handelt. Siehe auch den Artikel Spezifische Bahnenergie, der sich näher damit befasst.
Bahnkurve Kegelschnittform