mini|hochkant=1.25|Abb. 1: Plot der Funktion f im Ausschnitt: −1 < x < 5, 0 < y < 12 mini|hochkant=1.25|Abb. 2: Plot der Funktion f im Ausschnitt: 1,995 < x < 2,005, 1,999999999995 < y < 2,000000000005
Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf dessen geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw. Diese Informationen erlauben es, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind.
Es ist heute hingegen nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, den Menschen dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des Graphen der Funktion zu produzieren: das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) besser.
Ziel der Kurvendiskussion ist vielmehr, die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen exakt zu bestimmen (aus einem Funktionsplot lassen sich lediglich ungefähre Werte ablesen); charakteristische Eigenschaften wie Symmetrie oder Verhalten im Unendlichen zu beweisen. Aus einem Funktionsplot kann man immer nur Aussagen über den abgebildeten Ausschnitt des Koordinatensystems ablesen, z. B. für den Bereich , . Ob der Graph einer Funktion aber z. B. bei noch einmal einen „Schlenker“ macht oder nicht, darüber kann nur auf der Grundlage einer Kurvendiskussion eine zuverlässige Aussage getroffen werden. genauer hinzusehen: ein augenscheinliches globales Minimum kann sich – bei entsprechender Vergrößerung – als ein lokales Maximum herausstellen. Man vergleiche etwa die beiden Plots der Funktion
in Abbildung 1 bzw. Abbildung 2. Eine Kurvendiskussion deckt solche Phänomene stets auf, ob sie sich im Molekülbereich oder in astronomischen Dimensionen abspielen: weil eine Kurvendiskussion nicht – wie ein Funktionsplot – von der Auflösung abhängt.
Zudem lässt sich eine Kurvendiskussion auch ganz ähnlich bei Funktionen durchführen, die von vielen Variablen abhängen (also z. B. von , und anstelle von nur ). Eine Visualisierung einer derartigen Funktion mit mehr als zwei Variablen ist nicht mehr einfach möglich.
Die Bedeutung der Kurvendiskussion wird auch deutlich vor dem Hintergrund, dass in entscheidungsunterstützenden Systemen Hoch- bzw. Tiefpunkte automatisch, d. h. ohne Benutzerinteraktion, zu berechnen sind. Soll beispielsweise die Auswirkung der Veränderung einer Randbedingung auf die zu optimierende Größe untersucht werden, so würde solch ein System den jeweiligen Extremwert anzeigen bzw. grafisch visualisieren, während ein Wert, der die Randbedingung beschreibt (etwa die Höhe einer Ressource), variiert wird.
Definitionsbereich Bei einer Kurvendiskussion wird fast immer die Menge aller reellen Zahlen als Grundmenge vorausgesetzt. Der maximale Definitionsbereich einer Funktion ist also die Menge aller reellen Zahlen , für welche die Funktion definiert ist. Für ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ist der maximale Definitionsbereich gleich . Bei gebrochenrationalen Funktionen gehören alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners zum maximalen Definitionsbereich.
Beispiele:
Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich 0 sein. Daher sind die -Werte 0 und 3 ausgeschlossen.
Der Radikand, also der Rechenausdruck unter der Quadratwurzel, muss größer oder gleich 0 sein. Diese Bedingung ist genau für die Zahlen erfüllt, deren Betrag kleiner oder gleich 5 ist.
Die natürliche Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert. Also muss gelten.
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Die Schnittpunkte des Graphen von mit der -Achse sind die Nullstellen von . Um diese zu finden, wird die Lösungsmenge der Gleichung bestimmt. Die genaue Vorgehensweise hängt davon ab, welche Funktion untersucht wird. Ist beispielsweise eine quadratische Funktion, so muss eine quadratische Gleichung gelöst werden, etwa durch quadratische Ergänzung oder mithilfe einer Lösungsformel.
Um den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der -Achse zu bestimmen, wird in der Funktionsgleichung für der Wert 0 eingesetzt. Der y-Achsenabschnitt liegt dann folglich bei .
Symmetrieeigenschaften Bei der Beantwortung der Frage, ob der Graph der gegebenen Funktion in irgendeiner Weise symmetrisch ist, müssen mehrere Fälle berücksichtigt werden.
Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse Der Graph einer Funktion ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der -Achse, wenn für beliebige -Werte des Definitionsbereiches gilt:
Bei ganzrationalen Funktionen bedeutet diese Bedingung, dass nur gerade Exponenten auftreten.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs Der Graph einer Funktion ist genau dann punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn für beliebige -Werte des Definitionsbereiches gilt:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen.
Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen Achse Achsensymmetrie in Bezug auf die Gerade mit der Gleichung (parallel zur -Achse) lässt sich überprüfen mithilfe der Bedingung
Achsensymmetrisch sind unter anderem die Graphen der quadratischen Funktionen. Die Symmetrieachse ergibt sich in diesem Fall aus der -Koordinate des (Parabel-)Scheitels.
Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Zentrums Die Bedingung für Punktsymmetrie bezüglich des Punktes lautet
oder (äquivalent)
Die Graphen aller kubischen Funktionen sind punktsymmetrisch. Symmetriezentrum ist jeweils der (einzige) Wendepunkt (siehe unten).
Extrempunkte
Um die Extrempunkte – das heißt Hoch- und Tiefpunkte – einer stetig differenzierbaren Funktion zu bestimmen, wird die erste Ableitung von gleich 0 gesetzt und die dadurch entstehende Gleichung aufgelöst. Alle Lösungen dieser Gleichung sind mögliche sogenannte Extremstellen.
Die Bedingung ist allerdings nur eine notwendige Bedingung für Extremstellen. Eine Stelle mit der Steigung 0 könnte auch ein Sattelpunkt sein. Das Standardbeispiel ist an der Stelle 0. Obwohl gilt, ist der Punkt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt.
Zum Nachweis der Extrempunkteigenschaft benötigt man daher eine der weiter unten genannten hinreichenden Bedingungen.
Notwendige Bedingung Es leuchtet anschaulich ein, dass die Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Extrempunkt parallel zur -Achse verlaufen muss. Die Steigung einer solchen Tangente muss also den Wert 0 haben. Präziser gilt:
sei eine reelle Funktion, die auf einem offenen Intervall definiert und an der Stelle (mit ) differenzierbar ist. Nimmt an der Stelle ein relatives Extremum (also ein relatives Maximum oder Minimum) an, so gilt .
Am Rand des Definitionsbereichs und an Stellen, an denen die gegebene Funktion nicht differenzierbar ist, sind die Voraussetzungen dieser Bedingung nicht erfüllt. Relative Extrema an solchen Stellen lassen sich also im Allgemeinen nicht durch Nullsetzen der Ableitung bestimmen.
Hinreichende Bedingung: Wert der zweiten Ableitung Die folgende hinreichende Bedingung bietet oft eine bequeme Möglichkeit, den Nachweis für ein relatives Extremum zu führen und zugleich die Art (Maximum oder Minimum) zu bestimmen. Da auch die zweite Ableitung benötigt wird, spricht man gelegentlich vom -Test.
sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall definiert und zweimal differenzierbar ist.
Gilt an einer Stelle zugleich und , so hat an dieser Stelle ein relatives Minimum.
Gilt dagegen zugleich und , so hat an dieser Stelle ein relatives Maximum.
Beispiel:
Durch Nullsetzen der ersten Ableitung () erhält man . Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt (Bedingung für ein relatives Maximum). Der Graph von hat also genau einen Extrempunkt, nämlich einen Hochpunkt mit der -Koordinate 4.
Gelegentlich gilt sowohl als auch . In diesem Fall sind weitere Untersuchungen nötig, um zu entscheiden, ob eine Extremstelle vorliegt oder nicht. Das bedeutet konkret, dass solange abgeleitet werden muss, bis eine Ableitung gerader Ordnung – vierter, sechster, … Ordnung – vorliegt, die an dieser Stelle ungleich 0 ist.
Das einfachste Beispiel ist . Die ersten drei Ableitungen an der Stelle , also , und haben jeweils den Wert 0. Erst die vierte Ableitung ermöglicht wegen den Nachweis des Extremums. Das positive Vorzeichen lässt erkennen, dass sich an der Stelle ein relatives Minimum befindet.
In seltenen Fällen versagt auch dieses allgemeinere Kriterium, nämlich dann, wenn alle Ableitungen an der Stelle gleich 0 sind.
Hinreichende Bedingung: Vorzeichen der ersten Ableitung Ein weiteres Verfahren zum Nachweis der Extrempunkteigenschaft kommt ohne die Berechnung der zweiten Ableitung aus. Es wird untersucht, ob die erste Ableitung an der betrachteten Stelle ihr Vorzeichen wechselt. Diese Methode, gelegentlich als Vorzeichenwechsel-Verfahren (VZW-Verfahren) bezeichnet, lässt sich folgendermaßen anschaulich deuten:
Durchläuft man den Funktionsgraphen in der Umgebung eines Hochpunkts von links nach rechts, so lässt sich das Aussehen dieser Kurve wie folgt beschreiben:
Links vom Hochpunkt steigt der Funktionsgraph an. Die Steigung ist positiv. Im Hochpunkt selbst verläuft die Tangente waagerecht. Die Steigung ist 0. Rechts vom Hochpunkt fällt der Funktionsgraph. Die Steigung ist negativ.
Entsprechendes, nur umgekehrt, gilt für Tiefpunkte.
sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall definiert und differenzierbar ist.
Gilt an einer Stelle zugleich , für und für , so hat an dieser Stelle ein relatives Minimum.
Gilt an einer Stelle zugleich , für und für , so hat an dieser Stelle ein relatives Maximum.
Beispiel:
Nullsetzen der Ableitung () liefert als Stelle mit waagerechter Tangente und damit als Kandidaten für eine Extremstelle . Beim VZW-Test betrachtet man -Werte, die kleiner bzw. größer als 0 sind. für für zeigt, dass ein Tiefpunkt vorliegt.
Ein Problem des VZW-Tests besteht darin, dass das Vorzeichen der Ableitung nicht nur für eine einzige Stelle ermittelt werden muss, sondern für ein ganzes Intervall. In der Schulmathematik bestimmt man daher oft nur für eine einzelne Stelle des Intervalls das Vorzeichen und schließt daraus, dass dieses Vorzeichen im ganzen Intervall gilt. Diese Vorgehensweise ist erlaubt, wenn die Funktion im Intervall stetig differenzierbar ist und die Intervalllänge hinreichend klein ist.
Historische Randbemerkung: Die Bestimmung der Extrema aus der Tangentensteigung wurde erstmals von Fermat in einem Brief an Descartes vorgeschlagen – bevor es den Ableitungsbegriff gab.
Wendepunkte
Als Wendepunkte bezeichnet man diejenigen Punkte, in denen der gegebene Funktionsgraph zwischen Links- und Rechtskrümmung wechselt. Die Art der Krümmung lässt sich – unter gewissen Voraussetzungen – am Vorzeichen der zweiten Ableitung erkennen. Positives Vorzeichen lässt auf Linkskrümmung schließen, negatives Vorzeichen auf Rechtskrümmung. Beim Standardverfahren zur Bestimmung der Wendepunkte setzt man daher die zweite Ableitung gleich 0. Die Lösungen der Gleichung (siehe notwendige Bedingung) kommen als Wendestellen in Frage. Mit einer der unten aufgeführten hinreichenden Bedingungen weist man anschließend nach, dass tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.
Notwendige Bedingung sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall definiert und zweimal stetig differenzierbar ist. Hat der Graph von an der Stelle einen Wendepunkt, so gilt
Hinreichende Bedingung: Wert der dritten Ableitung Die zuletzt genannte Bedingung ist nicht hinreichend, sodass weitere Untersuchungen durchzuführen sind. Eine häufig zum Nachweis von Wendepunkten verwendete hinreichende Bedingung beruht auf der dritten Ableitung: