Galoistheorie

Die Galoistheorie ist ein Teilgebiet der Algebra. In klassischer Sicht beschäftigt sich die Galoistheorie mit den Symmetrien der Nullstellen von Polynomen. Diese Symmetrien können grundsätzlich durch Gruppen von Permutationen, also Untergruppen der symmetrischen Gruppe, beschrieben werden. Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. In moderner Sicht werden Körpererweiterungen mit Hilfe ihrer Galoisgruppe untersucht.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa „Welche regelmäßigen Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?“, „Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?“ (wieder nur mit Zirkel und Lineal), „Warum kann zu einem Würfel nicht die Seite eines Würfels mit doppeltem Volumen konstruiert werden?“ (auch „Delisches Problem (der Kubusverdopplung)“ genannt), „Warum kann man zu einem Kreis kein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren, das heißt, warum ist die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich?“ und „Warum gibt es keine allgemeingültige Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?“ (Der Satz von Abel-Ruffini).

Klassische Definition einer Galoisgruppe Eine „Symmetrie der Nullstellen von Polynomen“ ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen mittels der Permutation vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Permutationen. Durch Untersuchen dieser algebraischen Gleichungen und Permutationen lässt sich die Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht.

Bestimmung der Galoisgruppe über alle Permutationen im Ausschlussverfahren Die Galoisgruppe des Polynoms soll über dem Körper der rationalen Zahlen bestimmt werden. Durch zweifaches Wurzelziehen, zusammen mit der Beziehung , ergeben sich die Nullstellen, die selbst keine rationalen Zahlen sind:

, , , .

Es gibt Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren (zu vertauschen): + Nr. Permutation Nr. Permutation Nr. Permutation Nr. Permutation 1 7 13 19 2 8 14 20 3 9 15 21 4 10 16 22 5 11 17 23 6 12 18 24

Aber nicht alle diese Permutationen gehören auch zur Galoisgruppe. Dies liegt daran, dass alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen , , und enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren müssen. Betrachtet man beispielsweise , so ist diese Gleichung nicht für alle Vertauschungen der Nullstellen erfüllt. Unter der Permutation, die und gleich lässt und und vertauscht, entsteht bei der Gleichung eine falsche Aussage, denn ist ungleich . Deshalb gehört diese Permutation (Nr. 2) nicht zur Galois-Gruppe. Entsprechendes gilt für die Permutationen Nr. 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23 in der Tabelle, denn als Summe von zwei der vier Nullstellen sind lediglich die Gleichungen und richtig.

Eine weitere algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, die die Nullstellen erfüllen, ist . Deshalb können zusätzlich die Permutationen Nr. 3, 11, 14 und 22 ausgeschlossen werden, denn es ist , , und .

Übrig bleiben vier Permutationen: Nr. 1, 8, 17 und 24. Da es sich bei dem Polynom um ein über irreduzibles Polynom 4. Grades handelt, besteht die Galoisgruppe aus mindestens vier Elementen. Also bilden diese vier Permutationen die Galoisgruppe des Polynoms :

oder in Zyklenschreibweise: (Identität), , und . Diese Gruppe ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

Bestimmung der Galoisgruppe mit Hilfe eines primitiven Elementes Alternativ kann die Galoisgruppe auch mit Hilfe eines primitiven Elementes bestimmt werden. Hier liegt ein Spezialfall vor, denn die Nullstelle ist – ebenso wie die Nullstelle oder – bereits solch ein primitives Element. Mit , und erhält man die Gleichungen: und . Damit lassen sich und als Polynom mit der Variablen ersetzen: und . Somit ergeben sich auch die vier Nullstellen als Polynome mit der Variablen : , , , . Im allgemeinen Fall müssen zu dem primitiven Element das zugehörige Minimalpolynom sowie dessen weitere Nullstellen bestimmt werden. Bei diesem Beispiel ist jedoch das Minimalpolynom von das Ausgangspolynom mit den bereits bekannten weiteren Nullstellen und . (Zum allgemeinen Vorgehen: siehe Beispiel zum Satz vom primitiven Element.) Ersetzt man nun in den Polynomen die Variable durch oder , so ergeben sich wiederum die Nullstellen des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen bilden die Galoisgruppe.Nieper-Wißkirchen, Universität Augsburg: "Galoissche Theorie", S. 126, Proposition 4.8 und Beispiel, Einsetzen von liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen: , , , . {} ist damit die Galoisgruppe des Polynoms .

Berechnung der Galoisgruppe mit Hilfe der Galois-Resolvente Die Galoisgruppe eines Polynoms ist in der Regel nicht leicht zu bestimmen. Insbesondere im Standardfall eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten können allerdings genügend genaue numerische Näherungen der Nullstellen dazu verwendet werden, die Galoisgruppe zu berechnen.

Heute übliche Definition einer Galoisgruppe Seit den 1920er-Jahren definiert man die Galoisgruppe auf Basis des Körper-Begriffs, der auf Richard Dedekind zurückgeht: Ausgehend von einer Körpererweiterung definiert man die Galoisgruppe als die Gruppe aller Körperautomorphismen von , welche die Elemente von einzeln festhalten.

Dabei ist ein Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms, also ein kleinster Erweiterungskörper von , in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Er heißt normaler oder Galoisscher Erweiterungskörper von . Die Galoisgruppe, bestehend aus denjenigen Automorphismen von , die den Unterkörper elementweise fest lassen, lässt damit notwendig auch jeden Term fest, dessen Wert ein Element aus ist.

Der Bezug zum klassischen Vorgehen von Galois ergibt sich, wenn man einen Automorphismus der Galoisgruppe auf eine Nullstelle des entsprechenden Polynoms anwendet: . . Weil ein Körperhomomorphismus ist und außerdem die Koeffizienten des Polynoms als Elemente des Körpers fest lässt, ergibt sich: . Also ist ebenfalls eine Nullstelle des Polynoms . Dies bedeutet, dass der Automorphismus die Nullstellen vertauscht. Die Galoisgruppe operiert somit auf der Menge der Nullstellen des Polynoms und wirkt dort als Permutationsgruppe.

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede Körpererweiterung gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von der Ordnung ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung, und die Elemente von können als die -ten Wurzeln eines Elements aus aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet, und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise ) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes ein Polynom mit Grad existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für die symmetrische Gruppe einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält.

Bestimmung der Galoisgruppe als Automorphismengruppe Für das oben angegebene Beispiel sollen die Elemente der Galoisgruppe nun als Körperautomorphismen bestimmt werden. Die Nullstellen des Polynoms sind , , , .

Der Zerfällungskörper ist somit . Eine Basis für als Vektorraum über ist , d. h. jedes Element aus ist von der Form mit aus . Es handelt sich somit bei um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad 4 über . Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein, ihre Elemente permutieren – wie oben gezeigt – die Nullstellen des Polynoms folgendermaßen:

(als Permutation) bleibt die Identität, wird nun allerdings zu einem Körperautomorphismus von : . Man sieht, dass unter bei der Permutation der vier Nullstellen stets und vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus lautet somit: . Dabei bleibt der Körper elementweise fest. Entsprechendes gilt bei für und . Unter ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die entsprechenden Körperautomorphismen sind: mit dem Fixkörper und mit dem Fixkörper . , und sind zu sich selbst invers, bilden also zusammen mit der Identität jeweils eine Untergruppe der Galoisgruppe. Mehr echte Untergruppen gibt es nicht, denn die Hinzunahme eines weiteren Elementes würde bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen. Die Hintereinanderausführung von und ergibt , damit ist die Galoisgruppe isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und insbesondere kommutativ. Deshalb sind alle Untergruppen der Galoisgruppe auch Normalteiler. Also sind nach dem Hauptsatz der Galoistheorie , und die einzigen Zwischenkörper der Körpererweiterung . Die Zwischenkörper selbst sind Körpererweiterungen vom Grad 2 über .

Bestimmung der Galoisgruppe durch Matrizenrechnung Im Falle eines Polynoms, das zu einem normalen oder Galoisschen Körper gehört, ist die Bestimmung der Galoisgruppe auch mit Hilfe der Matrizenrechnung möglich.

Ist ein Polynom vom Grade irreduzibel über und die Gleichung normalB. L. van der Waerden, Algebra I, 8. Auflage 1971, § 41, Ende. Normal bedeutet hier, dass der durch Adjunktion einer Nullstelle des Polynoms entstehende Körper schon normal ist, d. h. dass in ihm vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Ein Beispiel für ein Polynom, das nicht normal ist, findet man im Artikel Galoisgruppe, Abschnitt Galoisgruppe eines kubischen Polynoms. über , so liefert jede Nullstelle des Polynoms mit ihren Potenzen eine Basis des Erweiterungskörpers (nämlich des Zerfällungskörpers von ), der aus durch Adjunktion nur einer dieser Nullstellen entstehtB. L. van der Waerden, Algebra I, 8. Auflage 1971, § 40, Beispiel, in Verbindung mit § 46, Folgerung („Jede separable endliche Erweiterung ist einfach“). Siehe auch einfache Körpererweiterung.. Sind die Nullstellen bekannt, so kann man auch ihre Potenzen ermitteln. Stellt man diese in Matrixform bezüglich einer gemeinsamen Basis dar, so lässt sich damit die Automorphismengruppe berechnen.

Für das oben angegebene, über irreduzible und normale Polynom mit den Nullstellen erhält man , , , ,

Alle Potenzen sind Linearkombinationen von , , und . Diese sind linear unabhängig, daher wählt man als gemeinsame Basis. Mit ihrer Hilfe erzeugt man nun Matrizen , deren Zeilenvektoren der Reihe nach die Elemente jeweils in Abhängigkeit von den Elementen der gemeinsamen Basis darstellen.

(die Zeilen stellen , , und in Abhängigkeit von , , und dar)

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