Ein Schnittpunkt ist in der Geometrie ein gemeinsamer Punkt von Kurven oder Flächen in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Diese Definition schließt auch die Möglichkeiten ein, dass sich die Kurven oder Flächen lediglich berühren oder dass die gesamte Schnittmenge selbst eine Kurve oder Fläche ist (wie etwa Schnittgeraden). Je nach Kontext oder Autor werden solche Möglichkeiten auch ausgeschlossen.So spricht man in der klassischen euklidischen Geometrie bei der Betrachtung von Geraden typischerweise nur dann von einem Schnittpunkt, wenn die Geraden nur einen gemeinsamen Punkt haben, also nicht gleich sind (vgl. Scheid, Schwarz: Elemente der Geometrie, S. 2).

In der Ebene können sich zwei Kurven schneiden, im einfachsten Falle handelt es sich dabei um zwei Geraden. Im dreidimensionalen Raum kann außerdem eine Kurve mit einer Fläche einen Schnittpunkt bilden, z. B. eine Gerade mit einer Ebenen, oder es können sich zwei Flächen schneiden.

Allgemein versteht man in der Mathematik unter einem Schnittpunkt von zwei Mengen einen Punkt, der in den beiden Mengen enthalten ist. Diese Definition schließt auch Schnittpunkte von höherdimensionalen Objekten wie Hyperebenen ein, die sich der Anschauung entziehen.

In der modernen Mathematik werden Kurven und Flächen typischerweise mithilfe von Gleichungen beschrieben. Die Bestimmung von Schnittpunkten läuft dann auf das Lösen von Gleichungssystemen hinaus. Bei den Schnittpunkten von Geraden, Ebenen oder Hyperebenen handelt es sich um linearen Gleichungssystemen, die mit den Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. 200px|mini|Schnittpunkt zweier Geraden Im Allgemeinen führt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nichtlineare Gleichungen, die man in der Praxis mit einem Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen, zum Beispiel der Regula falsi, dem Sekantenverfahren, dem Newtonverfahren oder dem Householder-Verfahren löst. Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt (Kreis, Hyperbel, Ellipse, Parabel) oder einer Quadrik (Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, …) führen auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht lösbar. Für den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene, einer Kugel, einem Zylinder oder einem Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden, um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen.Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 35, 73, 74.

Schnittpunkt in der Ebene Schnittpunkt zweier Geraden Häufig wird der Schnittpunkt von Geraden gesucht, die in Normalform, allgemeiner Koordinatenform oder Parameterform vorliegen. Sind die Geraden in anderer Form gegeben, so bringt man sie zunächst in eine dieser Formen und wendet dann die im Folgenden beschriebenen Lösungsverfahren an.

Geraden in Normalform Im einfachsten Fall sind zwei (nicht senkrechte) Geraden in Normalform gegeben, .

Falls , so verlaufen die beiden Geraden nicht parallel und es gibt genau einen Schnittpunkt . Die -Koordinate des Schnittpunkts erhält man dann durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen und Auflösen nach . Einsetzen von in eine der beiden Ausgangsgleichungen liefert die zugehörige -Koordinate des Schnittpunkts.

Beispiel Gesucht wird der Schnittpunkt der Geraden und . Gleichsetzen liefert die lineare Gleichung . Durch elementare Termumformungen erhält man die Lösung . Einsetzen in eine der beiden Ausgangsgleichungen liefert sofort Also ist .

Geraden in allgemeiner Koordinatenform Sind die beiden Geraden in allgemeiner Koordinatenform gegeben, ,

so führt die Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts auf das lineare 2×2-Gleichungssystem

Falls , so verlaufen die Geraden nicht parallel und das System hat eine eindeutige Lösung.

Beispiel Gesucht wird der Schnittpunkt der Geraden und . Das zugehörige lineare Gleichungssystem

lässt sich zum Beispiel bequem mit dem Additionsverfahren lösen und hat die Lösung und . Also ist .

Geraden in Parameterform Sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben,

,

so führt Gleichsetzen zur vektoriellen Schnittpunktgleichung

bzw. . Legt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde und stellt die Vektoren mithilfe ihrer Komponenten dar, so ist die Schnittpunktgleichung äquivalent zum linearen 2×2-Gleichungssystem

in den Unbekannten und . Schneiden sich die beiden Geraden, so hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung . Einsetzen von bzw. in die Geradengleichung für bzw. liefert die Koordinaten des Schnittpunkts.

Beispiel Gesucht wird der Schnittpunkt der Geraden

.

Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man das Gleichungssystem

Dieses System hat die eindeutige Lösung , d. h. die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Die Koordinaten des Schnittpunkts erhält man, indem man z. B. in die Geradengleichung von einsetzt: .

Schnittpunkt zweier Strecken 300px|mini|Schnitt zweier Strecken Zwei nicht parallele Strecken und mit den Endpunkten müssen sich nicht unbedingt schneiden. Denn der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein (siehe Abbildung). Um letzteres zu klären, stellt man beide Strecken in Parameterform dar und setzt sie gleich. Dies führt zum linearen Gleichungssystem

in den Unbekannten und . Schneiden sich die Strecken, so muss für die Lösung dieses Gleichungssystem gelten. Ist dies der Fall, so erhält man den Schnittpunkt durch Einsetzen von oder in die zugehörige Parameterdarstellung.

Beispiel

Die Strecken und zwischen den Punkten und bzw. und lassen sich parametrisieren durch

und.

Durch Gleichsetzen erhält man das Gleichungssystem

welches die Lösung besitzt. Da diese Parameterwerte die Bedingungen erfüllen, schneiden sich die Strecken. Einsetzen z. B. von in die zugehörige Parameterdarstellung liefert die Schnittpunktskoordinaten und .

Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis Um die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises zu bestimmen, muss das nichtlineare Gleichungssystem

gelöst werden. Das geht zum Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren. Dazu wird die Geradengleichung nach oder aufgelöst und der erhaltene Term in die Kreisgleichung eingesetzt. Man erhält dann eine quadratische Gleichung in einer Unbekannten. Je nachdem die Gerade den Kreis in keinem Punkt (Passante), genau einem Punkt (Tangente) oder zwei Punkte (Sekante) schneidet, hat diese quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen. Setzt man die gefundenen Lösungen für bzw. in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, so erhält man die zweite Koordinate des oder der Schnittpunkte.

Die Schnittpunkte einer Gerade mit den übrigen Typen von Kegelschnitten (Parabel, Hyperbel oder Ellipse) lassen sich auf analoge Weise bestimmen.

Schnittpunkte zweier Kreise mini|hochkant=1.2|Die Schnittpunkte zweier Kreise sind die Schnittpunkte der Kreise mit der Potenzgeraden . Die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kreise

lässt sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen auf das Problem zurückführen, die Schnittpunkte der Potenzgeraden

mit einem der beiden Kreise zu finden.

Schnittpunkte zweier Kegelschnitte mini|Schnitt Kreis-Ellipse Die Aufgabe, die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte zu bestimmen, führt bei Elimination einer Koordinate im Allgemeinen auf eine Gleichung vierten Grades, die nur in speziellen Fällen leicht lösbar ist. Die Schnittpunkte lassen sich allerdings auch iterativ mit Hilfe des 1- bzw. 2-dimensionalen Newton-Verfahrens bestimmen, je nachdem man a) beide Kegelschnitte implizit (→ 2-dim. Newton) oder b) einen implizit und den anderen parametrisiert darstellt (→ 1-dim. Newton). Siehe hierzu den nächsten Abschnitt.

Schnittpunkt zweier Kurven 250px|mini|Schnittpunkte zweier Kurven: transversales Schneiden 350px|mini|Schnittpunkt zweier Kurven: berührendes Schneiden bzw. Berührung Zwei in der Ebene liegende, stetig differenzierbare Kurven (also Kurven ohne „Knick“) haben einen Schnittpunkt, wenn sie einen Punkt der Ebene gemeinsam haben und die beiden Kurven in diesem Punkt entweder a) unterschiedliche Tangenten aufweisen (transversales Schneiden), oder b) gemeinsame Tangenten haben und sich in dem Punkt kreuzen (berührendes Schneiden, siehe Bild).

Falls die beiden Kurven zwar einen gemeinsamen Punkt und dort eine gemeinsame Tangente haben, aber sich nicht kreuzen, berühren sie sich in .

Da berührendes Schneiden eher selten vorkommt und rechnerisch sehr aufwendig zu behandeln ist, wird im Folgenden stets transversales Schneiden vorausgesetzt. Außerdem werden auch die jeweils nötigen Differenzierbarkeits-Bedingungen vorausgesetzt. Die Bestimmung von Schnittpunkten führt immer wieder auf das Problem, eine Gleichung mit einer bzw. zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen zu müssen. Die Gleichungen sind im Allgemeinen nichtlinear und können dann beispielsweise mit dem 1- oder 2-dimensionalen Newton-Verfahren numerisch gelöst werden. Im Folgenden werden die einzelnen Fälle und die zu lösenden Gleichungen beschrieben: mini|Schnittpunkt: parametrisierte Kurve / implizite Kurve mini|Schnittpunkt: implizite Kurve / implizite Kurve Falls beide Kurven explizit durch und vorliegen, liefert Gleichsetzen die Gleichung

Falls beide Kurven parametrisiert vorliegen, durch und durch , so liefert Gleichsetzen zwei Gleichungen in zwei Unbekannten:

Falls eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben ist, durch und durch , so muss man nur die Parameterdarstellung von in die Gleichung von einsetzen und erhält die Gleichung

Falls beide Kurven implizit gegeben sind, durch und durch , so ist ein Schnittpunkt die Lösung des im Allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystems

Die für das jeweilige Newton-Verfahren nötigen Startwerte lassen sich aus einer Visualisierung der beiden Kurven gewinnen. Eine parametrisiert oder explizit gegebene Kurve lässt sich leicht visualisieren, da man zu vorgegebenem Parameter bzw. direkt einen Punkt berechnen kann. Für implizit gegebene Kurven ist dies nicht so einfach. Hier muss man im Allgemeinen mit Hilfe von Startpunkten und einem Iterationsverfahren Kurvenpunkte berechnen.Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 69.

Beispiele 1: und Kreis (siehe Bild). Es ist die Newton-Iteration für durchzuführen. Als Startwerte kann man −1 und 1,5 wählen. Die Schnittpunkte sind (−1,1073; −1.3578) und (1,6011; 4,1046). 2: (siehe Bild). Es ist die Newton-Iteration durchzuführen, wobei die Lösung des linearen Gleichungssystems an der Stelle ist. Als Startpunkte kann man (−0,5; 1) und (1; −0,5) wählen. Das lineare Gleichungssystem löst man am einfachsten mit der Cramerschen Regel. Als Schnittpunkte ergeben sich (−0.3686; 0,9953) und (0,9953; −0,3686).

Schnittpunkt zweier Polygone 300px|mini|Schnitt zweier Polygone: Fenstertest Falls man Schnittpunkte zweier Polygone sucht, kann man jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons auf Schnittpunkte untersuchen (siehe oben: Schnitt zweier Strecken). Für Polygone mit vielen Teilstrecken ist diese einfache Methode sehr zeitaufwändig. Durch sogenannte Fenstertests lässt sich die Rechenzeit deutlich reduzieren. Dabei fasst man mehrere Teilstrecken zu einem Teilpolygon zusammen und berechnet das zugehörige Fenster, das ist das minimale achsenparallele Rechteck, das das Teilpolygon enthält. Bevor aufwändig ein Schnittpunkt zweier Teilpolygone berechnet wird, werden die zugehörigen Fenster auf Überlappung getestet.Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 79.

Schnittpunkte im Raum Im 3-dimensionalen Raum kann man Kurven und Flächen auf Schnittpunkte untersuchen. Im Folgenden werden nur (wie oben) transversale Schnitte behandelt.

Schnittpunkt zweier Geraden im Raum Analog zum Fall zweier Geraden in der Ebene schneiden sich zwei Geraden

im Raum genau dann, wenn die Schnittpunktgleichung