Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift und Streuungskoeffizient ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus invers normalverteilt mit den Parametern . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.
Definition mini|Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen Eine stetige Zufallsvariable genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern (Ereignisrate) und (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Eigenschaften
Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion ist gegeben als
Erwartungswert Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert .
Varianz Die Varianz ergibt sich analog zu .
Standardabweichung Daraus erhält man für die Standardabweichung
Variationskoeffizient Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten .
Schiefe Die Schiefe ergibt sich zu .
Wölbung (Kurtosis) Die Wölbung ergibt sich zu . Die Exzess-Kurtosis ist .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion hat die Form .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist .
Reproduzierbarkeit Sind Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern und , dann ist die Größe wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern und .
Laplacetransformation Die Laplacetransformation der inversen Normalverteilung ist
Anwendungen Diffusionsapproximationen In der Versicherungsmathematik kann zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit die zeitliche Verteilung der Schäden mithilfe des Satzes von Donsker durch eine Brownsche Bewegung approximiert werden. Die dadurch approximierten Ruinwahrscheinlichkeiten basieren auf speziellen Parametrisierungen der inversen Normalverteilung.
Literatur Hansjörg Asmussen, Søren Albrecher. Ruin Probabilities (Second Edition). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010, ISBN 978-981-320-361-7, Kapitel 5, S. 136–145. William Feller. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Volume II (Second Edition). New York, NY: Dover Publications, 1971, ISBN 978-0-471-25709-7, Kapitel VIII, S. 436–437, 463.
Weblinks
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung