mini|PT2-Glied im Strukturbild Als PT2-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit einer Verzögerung 2. Ordnung aufweist. Bedingt durch seine konjugiert komplexen Pole antwortet das PT2-Glied (auch -Glied bezeichnet) gegenüber einer Eingangssignal-Änderung mit einem oszillatorisch gedämpften Ausgangssignal.
Der Dämpfungsgrad bestimmt mit dem Zeitverhalten die Schwingeigenschaften des Systems. Bei einem Dämpfungsgrad lässt sich das PT2-Glied in zwei PT1-Glieder zerlegen. Bei einem Dämpfungsgrad entsteht Instabilität mit steigenden Schwingamplituden.
Schwingfähige lineare Übertragungsglieder entstehen durch Energieaustausch seiner verkoppelten Einzelelemente. Besteht ein Regelkreis mit einer Regelstrecke aus zwei -Gliedern und einer P-Verstärkung von ca. entsteht bereits nach einer Eingangserregung ein gedämpft schwingendes Ausgangsverhalten.
In der Regelungstechnik ist ein schwaches Überschwingverhalten eines Regelkreises in der Größenordnung von ca. 10 % des Sollwertes häufig erwünscht, weil die Regelgröße schneller den Sollwert erreicht.
Differentialgleichung und Übertragungsfunktion Gebräuchliche Beispiele eines PT2-Gliedes sind in der Elektrotechnik der R-L-C-Schwingkreis und im Maschinenbau das gedämpfte Federmassependel.
Die allgemeine Form der zugehörigen Differentialgleichung mit der Eingangsvariable und der Ausgangsvariable lautet in den verschiedenen Schreibweisen:
.
und sind die Koeffizienten (Gewichte) der Differentialglieder.
Wird die Differentialgleichung eines Übertragungssystems mittels des Laplace-Differentiationssatzes in den s-Bereich (auch Bildbereich) transformiert, entsteht aus einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion in Polynom-Darstellung. Sie ist ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Lösung von Differentialgleichungen.
Laplace-Transformation der oben genannten Differentialgleichung: .
Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz :
Die Übertragungsfunktion wird in eine Normalform des -Gliedes gebracht, indem alle Terme durch dividiert werden. Weiter soll gelten: sowie . Damit entsteht die Normalform der Übertragungsfunktion der -Gliedes mit als Eigenkreisfrequenz: {| class="wikitable"
oder mit :
{| class="wikitable"
Hierbei bezeichnet:
die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor,
die Kennkreisfrequenz oder Eigenkreisfrequenz und
die dimensionslose Dämpfung (der Dämpfungsgrad). Häufig wird auch für Dämpfung verwendet.
ist die unabhängige Laplace-Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit als RealteilAutor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Hauptkapitel: Übertragungsfunktion, Unterkapitel: Pole und Nullstellen. und als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale.
Bestimmung der Pole Die Nullstellen des Nennerpolynoms (= Pole) einer Übertragungsfunktion bestimmen ausschließlich das Zeitverhalten eines Übertragungssystems.
Die Pole bewirken folgendes globales Systemverhalten: Pol reell, Die Sprungantwort eines Übertragungssystems höherer Ordnung mit nur reellen Polen hat ein globales asymptotisches Systemverhalten. Es enthält lauter -Glieder. Pole konjugiert komplex, . Unter Konjugation versteht man in der s-Ebene einen um die reelle Achse gespiegelten Doppelpol. Bei -Gliedern mit Schwinganteilen sind die Pole konjugiert komplex. Die Sprungantwort eines Übertragungssystems höherer Ordnung mit nur einem konjugiert komplexen Doppelpol hat ein globales gedämpftes Schwingverhalten. Pol entspricht einem fehlenden Abschlussglied der Übertragungsfunktion. Koeffizient Die Sprungantwort eines Übertragungssystems höherer Ordnung ohne Abschlussglied bildet die Teilübertragungsfunktion und bewirkt ein globales integrales Systemverhalten.
Sind die Realteile von Nullstellen und Polstellen negativ, handelt es sich um ein stabiles System. Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilität des Teilsystems.
Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) lassen sich nun bestimmen, indem das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion gleich Null gesetzt wird.
Sind Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in der Polynomdarstellung gegeben, können mit verschiedenen Methoden, wie mit der pq-Formel, die Pole für Systeme zweiter Ordnung bestimmt werden. Im Internet stehen verfügbare Programme bis 4. Ordnung mit dem Aufruf „Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen“ zur Verfügung.
Für Systeme mit Polynomen 2. Ordnung der Form errechnen sich die Nullstellen bzw. die Pole:
.
Bestimmung der Kreisfrequenz ω des PT2-Gliedes Man unterscheidet bei gedämpften und ungedämpften Übertragungssystemen: = Kennkreisfrequenz des ungedämpften Übertragungssystems. = Eigenkreisfrequenz des gedämpften Übertragungssystems. Die Eigenkreisfrequenz eines gedämpften Übertragungssystems und deren Schwingamplituden sind stets kleiner als die Kennkreisfrequenz und deren Schwingamplituden des ungedämpften -Gliedes.
Aus der Normalform der Übertragungsfunktion eines gedämpften -Gliedes kann die Kennkreisfrequenz aus dem Koeffizienten gebildet werden.
Bei einer gegebenen Übertragungsfunktion sind die Koeffizienten wie auch je Zahlenwerte.Gerd Schulz: Regelungstechnik 1. 2007, Kapitel „Schwingfähige -Strecken“.
Aus dem Koeffizienten wird die Kennkreisfrequenz des dämpfungslosen Systems bestimmt. .
Aus dem Zahlenwert des Koeffizienten für wird die Dämpfung errechnet.
Mit steigendem Dämpfungswert verringert sich die Schwingfrequenz und die Amplitude der Systemantwort (Übergangsfunktion). Bei geht die gedämpfte Schwingung in einen aperiodischen Verlauf zweiter Ordnung bzw. bei weiter steigendem in einen Kriechfall über.
Die Eigenkreisfrequenz des gedämpft schwingenden System wird bestimmt durch:
Die Schwingfrequenz des gedämpften Systems lautet:
Die Periodendauer des gedämpft schwingenden Systems lautet:
Bestimmung der Übertragungsfunktion eines PT2-Gliedes aus einer gegebenen graphischen Darstellung der Sprungantwort
Stabiles schwingfähiges System 0 < D < 1 Ist die Sprungantwort dieses Systems grafisch gegeben, kann die Übertragungsfunktion des -Gliedes (Schwingungsglied) aus dem Amplitudenverhältnis der zwei ersten Halbwellen errechnet werden.
Mit wird die Amplitude in positiver Richtung und mit die Amplitude in negativer Richtung der ersten Schwingung bezeichnet.
Zunächst wird die Dämpfung der Schwingung berechnet:
Der Koeffizient errechnet sich aus der Periodendauer der 1. Schwingung und aus der Dämpfung :
Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion mit den errechneten Werten von , und zu:
Anwendungsbeispiel zur Bestimmung der Parameter eines PT2-Gliedes mini|250px|Sprungantwort eines -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen. {| class="wikitable" | Gegeben Übertragungsfunktion mit Nennerpolynom für
Gesucht: Pole, Dämpfung, EigenKreisfrequenzen , , Periodendauer . Polynom: , , Ergebnis: Das -Glied lässt sich nicht in weitere -Glieder zerlegen.
Ermittlung der Dämpfung : Durch Faktorenvergleich aus der gegebenen Normalform der Übertragungsfunktion ergibt sich die Beziehung: . .
Bestimmung der gedämpften Eigenkreisfrequenz nach einem Eingangssprung :
Die ungedämpfte Kennkreisfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet: .
Die gedämpfte Eigenkreisfrequenz der Sprungantwort des -Gliedes lautet:
Die Schwingfrequenz des gedämpften Systems lautet:
Die Periodendauer der gedämpften Schwingung lautet:
Ergebnis: Siehe Periodendauer der Grafik! Bei schwacher Dämpfung sind und ähnlich.
Bestimmung der Übertragungsfunktion für reelle Pole :
Gegeben: Übertragungsfunktion
Gesucht: Zerlegung in weitere -Glieder: Polynom: .
Das zu Null gesetzte Polynom wurde oben durch den Faktor dividiert und muss berücksichtigt werden.
Übertragungsfunktion in Pol-Darstellung und Zeitkonstanten-Darstellung:
Stabiles nicht schwingfähiges PT2-System, D > 1 Zur Identifikation der Zeitkonstanten und Verstärkung eines nicht schwingenden -Systems bieten sich mehrere Verfahren an: Identifikation über die Impulsantwort für Übertragungssysteme beliebiger Ordnung, siehe Artikel Regelstrecke Zeit-Prozent-Kennwert-Verfahren (Schwarze) nach der Sprungantwort mit Zeitwerten von [Prozent]. Dieses Verfahren gilt auch für nichtschwingende Übertragungsglieder höherer Ordnung. Siehe Artikel Regelstrecke Falls ein selbst erstelltes oder kommerzielles Rechenprogramm für grafische Sprungantworten vorliegt: empirische Lösung durch Versuch und Irrtum.
Das folgende Verfahren und die Gleichungen wurden durch numerische Simulation und der Optimierung von Funktionen bestimmt.
Vorgehensweise: alternativtext=|mini|300x300px|PT2 Sprungantwort. Messung von , und
Messung der Sprungantwort des Systems mit dem Eingangssprung und der Sprungantwort des Systems . Bestimme die Zeiten und ausgehend vom Sprungzeitpunkt bis zu dem Zeitpunkt, wo die Sprungantwort bzw. vom stationären Ausgangswert erreicht hat. Bestimme die stationäre Verstärkung Berechne folgende Zwischengrößen:
Berechne die beiden Zeitkonstanten und mit
Darstellung der identifizierten Übertragungsfunktion
{| class="wikitable" | Berechnungsbeispiel der Identifizierung einer Übertragungsfunktion aus der Sprungantwort: Ablesung der Daten aus dem y(t)-Diagramm
Anhand der Gleichungen ergibt sich für: Errechnete Zeitkonstanten: . |} Anmerkung: Durch eine genaue numerische Berechnung (Auflösung ) der Sprungantwort eines -Gliedes wurde festgestellt, dass vorgegebene Soll-Zeitkonstanten nicht genau mit den errechneten Zeitkonstanten (Abweichung ca. 6 %) übereinstimmt, dennoch ein brauchbares Ergebnis brachten.
Die Ursache: Das Ergebnis der berechneten Zeitkonstanten ist offensichtlich eine gute Annäherung an die tatsächliche Funktion der Sprungantwort. Es wurde empirisch festgestellt, dass in einem Bereich von maximal % der kleineren Zeitkonstante die Beziehung der Soll-Zeitkonstanten zu den errechneten Zeitkonstanten gilt:
Gilt für einen Bereich von maximal % der kleineren Zeitkonstante .
Daraus lässt sich beispielsweise für die dargestellte Grafik ableiten, dass die vermutete ursprüngliche Übertragungsfunktion wie folgt lautete: .
In der grafischen Darstellung der Sprungantworten in einem Diagramm 10 * 10 [cm] ist der Verlauf der beiden Funktionen praktisch deckungsgleich. Die unnötige hohe Stellenzahl (bis 7 Ziffern einschließlich Dezimalstellen) der Faktoren (Konstanten) kann auf 4 Ziffern einschließlich der Dezimalstellen begrenzt werden, ohne dass sich am Ergebnis der Zeitkonstanten etwas ändern würde.
Methoden der Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungsgliedern G(s) Lösung aus der gewöhnlichen Differentialgleichung bis maximal zweiter Ordnung (sehr umständlich). Lösung aus der Übertragungsfunktion: durch Partialbruchzerlegung in einfache additive Terme, die sich leicht in den Zeitbereich transformieren lassen. durch Anwendung von Laplace-Transformationstabellen, welche die korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich enthalten. Die Berechnung des Zeitverhaltens eines -Gliedes aus der Übertragungsfunktion wird üblicherweise für normierte Eingangssignale durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal wird der Übertragungsfunktion der Term multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort. Anmerkung: enthält ein Übertragungssystem Schwingungsanteile, ergeben sich laut Transformationstabellen aufwendige trigonometrische Gleichungen. Benutzung fertiger kommerzieller Programme, wie Matlab und Simulink.