Ein Fixpunktsatz ist in der Mathematik ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes mit .
Überblick In vielen Teilgebieten der Mathematik sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach. Mit dessen Hilfe kann der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter gewöhnlicher Differentialgleichungen sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.
Der Fixpunktsatz von Schauder ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der Topologie und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den Satz von Peano herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis. So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare kompakte Operatoren formulieren.
Liste von Fixpunktsätzen Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.
Analysis und Funktionalanalysis Fixpunktsatz von Banach Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk Fixpunktsatz für ganze Funktionen Fixpunktsatz von Kakutani Fixpunktsatz von Krasnoselski Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski Fixpunktsatz von Schauder Fixpunktsatz von Weissinger
Differentialgeometrie Atiyah-Bott-Fixpunktsatz
Gruppentheorie Fixpunktsatz (Endliche Gruppen) Borelscher Fixpunktsatz
Verbandstheorie Fixpunktsatz von Tarski und Knaster
Logik Fixpunktsatz von Gödel
Topologie Fixpunktsatz von Brouwer Fixpunktsatz von Lefschetz Leray-Schauder-Alternative
Informatik Fixpunktsatz von Kleene
Kategorientheorie Fixpunktsatz von Lawvere
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Mathematik)