Die Chi-Quadrat-Verteilung bzw. -Verteilung (ältere Bezeichnung: Helmert-Pearson-Verteilung, nach Friedrich Robert Helmert und Karl Pearson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Üblicherweise ist mit „Chi-Quadrat-Verteilung“ die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen einzigen Parameter, nämlich die Anzahl der Freiheitsgrade . mini|hochkant=1.5|Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit unterschiedlicher Anzahl an Freiheitsgraden k Sie ist eine der Verteilungen, die aus der Normalverteilung abgeleitet werden können: Sind unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen. Solche Summen quadrierter Zufallsvariablen treten bei Schätzfunktionen wie der Stichprobenvarianz zur Schätzung der empirischen Varianz auf. Die Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht damit unter anderem ein Urteil über die Kompatibilität eines vermuteten funktionalen Zusammenhangs (Abhängigkeit von der Zeit, Temperatur, Druck etc.) mit empirisch ermittelten Messpunkten: Unter einer Auswahl von verschiedenen Modellen bietet dasjenige mit der besten Anpassungsgüte, dem kleinsten Chi-Quadrat-Wert, die beste Erklärung der Daten.R. Barlow: Statistics Wiley, 1989, S. 152 (Goodness of Fit).Kendall, Stuart: The Advanced Theory Of Statistics Vol. 2 Third Edition, London, 1973, S. 436 (Goodness of Fit). So stellt die Chi-Quadrat-Verteilung durch die Quantifizierung der zufälligen Schwankungen die Auswahl verschiedener Erklärungsmodelle auf eine numerische Basis. Außerdem erlaubt sie, wenn man die empirische Varianz bestimmt hat, die Schätzung des Vertrauensintervalls, das den (unbekannten) Wert der Varianz der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einschließt. Diese und weitere Anwendungen sind weiter unten und im Artikel Chi-Quadrat-Test beschrieben.
Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde 1876 eingeführt von Friedrich Robert Helmert, die Bezeichnung stammt von Karl Pearson (1900).F. R. Helmert. In: Zeitschrift fuer Math. und Physik 21, 1876, S. 192–219. Karl Pearson: On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling. In: Philosophical Magazine 5, Band 50, 1900, S. 157–175. Zitiert nach L. Schmetterer: Mathematische Statistik. Springer, Wien 1966, S. 93
Definition mini|Dichte und Verteilung von mehreren Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen
Sind stochastisch unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so heißt die Verteilung der Zufallsvariablen mit
Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden. Hierfür schreibt man symbolisch
und sagt, dass sie -verteilt ist.
Hinweis: In der Statistik werden oftmals Stichprobenfunktionen, die unter gewissen Bedingungen chi-Quadrat-verteilt sind, mit bezeichnet.
Eigenschaften Dichtefunktion Die Summe quadrierter Größen kann keine negativen Werte annehmen. Deshalb hat die Dichte der -Verteilung für den Wert null. Für lässt sie sich darstellen als
Dabei steht für die Gammafunktion. Die Werte von kann man rekursiv aus
berechnen.
Spezialfall: Für die Dichte der -Verteilung mit Freiheitsgraden gilt für
Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion kann man mit Hilfe der regularisierten unvollständigen Gammafunktion ausdrücken:
Wenn eine natürliche Zahl ist, dann kann die Verteilungsfunktion wie folgt dargestellt werden:
wobei die Fehlerfunktion bezeichnet.
Spezialfall: Für die Verteilungsfunktion der -Verteilung mit Freiheitsgraden gilt für
Reproduktivität Ist die Summe der Quadrate von unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen und die Summe der Quadrate von unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen, so gilt
und .
Die Summe ist dann aber die Summe der Quadrate von unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen, also gilt
.
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist also reproduktiv.
Erwartungswert Der Erwartungswert einer chi-quadrat-verteilten Zufallsvariable mit Freiheitsgraden ist .
Varianz Die Varianz einer chi-quadrat-verteilten Zufallsvariable mit Freiheitsgraden beträgt .
Modus Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden hat den Modus . Die Dichte der Chi-Quadrat-Verteilungen mit einem und zwei Freiheitsgraden nimmt das Supremum auf dem offenen Intervall nicht an, die Dichten sind in diesen beiden Fällen aber monoton fallend. Man findet daher auch teils die Bezeichnung Modus 0 für die Chi-Quadrat-Verteilungen mit einem und zwei Freiheitsgraden.
Schiefe Die Schiefe der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist .
Die Chi-Quadrat-Verteilung besitzt eine positive Schiefe, d. h., sie ist linkssteil- bzw. rechtsschief. Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade , desto weniger schief ist die Verteilung.
Kurtosis Die Kurtosis (Wölbung) der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist gegeben durch
.
Der Exzess gegenüber der Normalverteilung ergibt sich damit zu .Wolfram Mathworld Daher gilt: Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade , desto geringer der Exzess.
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion für hat die FormA. C. Davison: Statistical Models, Cambridge University Press 2008, ISBN 1-4672-0331-9, Kapitel 3.2 .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion für ergibt sich aus der momenterzeugenden Funktion als: .
Entropie Die Entropie der Chi-Quadrat-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt
wobei die Digamma-Funktion bezeichnet.
Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes zentriert sind (d. h., wenn nicht alle sind), erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben den Nichtzentralitätsparameter .
Seien , so ist mit .
Insbesondere folgt aus und , dass ist.
Eine zweite Möglichkeit, eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung zu erzeugen, ist als Mischverteilung der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist , wenn aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.
Dichtefunktion Die Dichtefunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung hat für den Wert null und für ist .
Die Summe über j führt auf eine modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung . Damit erhält die Dichtefunktion folgende Form: für .
Der Erwartungswert und die Varianz der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung gehen ebenso wie die Dichte für in die entsprechenden Ausdrücke der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung über.
Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung kann mit Hilfe der Marcum-Q-Funktion ausgedrückt werden:Albert H. Nuttall: Some Integrals Involving the QM Function. In: IEEE Transactions on Information Theory. Nr. 21, 1975, S. 95–96, .
Beispiel Gegeben sind Messungen einer Größe , die aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Sei der empirische Mittelwert der gemessenen Werte und
die korrigierte Stichprobenvarianz.
Dann lässt sich z. B. das Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit angeben:
Die Grenzen ergeben sich daraus, dass wie verteilt ist.
Konkretes Beispiel: Stichprobe mit Werten, Varianz , 95-%-Konfidenzintervall:
95 % der Werte sollen sich innerhalb des Intervalls befinden. Es wird also davon ausgegangen, dass je 2,5 % der Werte die obere bzw. untere Intervallgrenze überschreiten dürfen. In diesem Fall wird daher durch und durch bestimmt.
Bei der Berechnung der Grenzen des Konfidenzintervalls in Programmen wird üblicherweise die Inverse Funktion verwendet (Kehrwert der kumulierten Chi-Quadrat-Verteilung): z. B. in Excel oder Numbers die Funktion CHIINV(p,n-1) :
Die untere Intervallgrenze ergibt sich mit aus:
= 99 * s^2 / CHIINV(0,025; 99) = 0.7709
Die obere Intervallgrenze ergibt sich aus:
= 99 * s^2 / CHIINV(0,975; 99) = 1,3495
Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz Sei eine Stichprobe von Messwerten, gezogen aus einer normalverteilten Zufallsvariablen mit empirischen Mittelwert und Stichprobenvarianz als Schätzfunktionen für Erwartungswert und Varianz der Grundgesamtheit.
Dann lässt sich zeigen, dass verteilt ist wie .
Dazu werden nach HelmertHelmert. In: Astronomische Nachrichten, 88, 1876, S. 113–132 die mittels einer orthonormalen Linearkombination in neue Variablen transformiert. Die Transformation lautet:
Die neuen unabhängigen Variablen sind wie normalverteilt mit gleicher Varianz , aber mit Erwartungswert beides aufgrund der Faltungsinvarianz der Normalverteilung.
Außerdem gilt für die Koeffizienten in (falls , ist ) wegen der Orthonormalität (Kronecker-Delta) und damit
Deshalb ergibt sich nun für die Summe der Abweichungsquadrate
und schlussendlich nach Division durch
Der Ausdruck auf der linken Seite ist offenbar verteilt wie eine Summe von quadrierten standardnormalverteilten unabhängigen Variablen mit Summanden, wie für gefordert.
Demnach ist also die Summe Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden , während laut Definition der Chi-Quadrat-Summe . Ein Freiheitsgrad wird hier „verbraucht“, denn aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des empirischen Mittels ist die letzte Abweichung bereits durch die ersten bestimmt. Folglich variieren nur Abweichungen frei und man mittelt die empirische Varianz deshalb, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade dividiert.
Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Gammaverteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist , so gilt
Beziehung zur Normalverteilung mini|Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung
Seien unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann ist deren Quadratsumme chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden:
.
Für ist näherungsweise standardnormalverteilt.
Für ist die Zufallsvariable näherungsweise normalverteilt, mit Erwartungswert und Standardabweichung bzw. bei einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung .
Beziehung zur Exponentialverteilung Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung mit dem Parameter .
Beziehung zur Erlang-Verteilung Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung mit Freiheitsgraden und .
Beziehung zur F-Verteilung Seien und unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen mit bzw. Freiheitsgraden, dann ist der Quotient
F-verteilt mit Zählerfreiheitsgraden und Nennerfreiheitsgraden.George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York / Chichester / Brisbane / Toronto / Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 51.
Beziehung zur Poisson-Verteilung Die Verteilungsfunktionen der Poisson-Verteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung hängen auf folgende Weise zusammen:
Die Wahrscheinlichkeit, oder mehr Ereignisse in einem Intervall zu finden, innerhalb dessen man im Mittel Ereignisse erwartet, gleicht der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von ist. Es gilt nämlich ,
mit und als regularisierte Gammafunktionen.
Beziehung zur stetigen Gleichverteilung Ist gleichverteilt auf dem Intervall , dann gilt , denn
Sind unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit , dann gilt somit
Herleitung der Dichtefunktion Die Dichte der Zufallsvariable , mit unabhängig und standardnormalverteilt, ergibt sich aus der gemeinsamen Dichte der Zufallsvariablen . Diese gemeinsame Dichte ist das -fache Produkt der Standardnormalverteilungsdichte:
Für die gesuchte Dichte gilt:
mit
Im Grenzwert ist die Summe im Argument der Exponentialfunktion gleich . Man kann zeigen, dass man den Integranden als vor das Integral und den Limes ziehen kann.
Das verbleibende Integral
entspricht dem Volumen der Schale zwischen der Kugel mit Radius und der Kugel mit Radius ,